信号与系统：第3章 系统的时域分析2

1、 在系统初始状态为零的条件下，以冲激信号d(t)激励系统所产生的输出响应，称为系统的冲激响应，以符号h(t)表示。N 阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足 )()( )()()()( )()( 01)1(1)(01)1(1)(tbtbtbtbthathathathmmmmnnndddd初始状态满足：h(i)(0-)=0, i=0,1, , n-1由于t 0+后, 方程右端为零, 故 nm 时)()e()(1tuKthnitsiinm 时, 为使方程两边平衡, h(t)应含有冲激及其高阶导数，即)()()e()()(01tAtuKthjjnmjnitsiid 将h(t)代入微分方程，使方程

2、两边平衡，确定系数Ki ， Aj假定特征根均为单根0),(2)(3d)(dttftytty解解： 当f (t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即 )(2)(3d)(dtthtthd动态方程式的特征根s = 3, 且nm, 故h(t)的形式为 )(e)( 3tuAtht)(2)( e3+ )( edd33ttuAtuAtttd解得A=2)(e2)( 3tutht例例1 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。例例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。0),( 3)(2)(6d)(dttftftytty解解： 当f (t) = d (t)时，y(t

3、) = h(t)，即 )( 3)(2)(6d)(dttthtthdd动态方程式的特征根s = 6, 且n=m, 故h(t)的形式为 )()(e)( t6tBtuAthd解得A= 16, B =3)( 3)(2)()( e6+ )()( edd66tttBtuAtBtuAtttdddd)(e16)(3)( t6tutthd)()()e()()(01tAtuKthjjnmjnitsiid1) 由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式（齊次方程的通解）。2) 由动态方程右边d (t)的最高阶导数与方程 左边h(t)的最高阶导数确定d (j)(t)项。 )()( )()()()( )()( 01)1(

4、1)(01)1(1)(tubtubtubtubtgatgatgatgmmmmnnn1) 求解微分方程2) 利用冲激响应与阶跃响应的关系ttgthd)(d)(thtgd)()(例例3 3 求例1所述系统的单位阶跃响应 g(t)。 例1 已知某线性时不变系统的动态方程式为 0),(2)(3d)(dttftytty例1 系统的冲激响应为利用冲激响应与阶跃响应的关系，可得h(t) = 2e3t u(t)()e1 (323tutthtg)d()(t03de2=0， t 0 d)()()()()(thfthtfty)()()()(ththhht平移翻转1. 将f(t)和h(t)中的自变量由t改为；2. 把

5、其中一个信号翻转得h()，再平移t；3. 将f() 与h( t)相乘；对乘积后信号的积分。4. 不断改变平移量t，计算f() h(t )的积分。)(tft)(tht)(e)(),()(),(*)(tuthtutfthtft计算)(f)(h 例例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。)()(11tpp0.5t5 . 0t 5 . 01t1t5 . 0t 5 . 0)()(11tpp01t1a) t 1b) 1 t 0tttyt1d)(5 . 05 . 0)(1tp0.5-0.51t)(1py (t) = 0 t 5 . 0t5 . 0)()(11tpp10 t1t5 . 0t 5 .

6、 0)()(11tpp1t1c) 0 1tttyt1d)(5 . 05 . 0y (t) = 0 例例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。)(1tp0.5-0.51t)(1pc) 0 1tttyt1d)(5 . 05 . 0y (t) = 0 a) t 1b) 1 t 0 tttyt1d)(5 . 05 . 0y (t) = 011-1)()(11tptpt 例例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。 练习练习1：u(t) u(t) 练习练习2：计算：计算 y (t) = f (t) h(t) )(tft101)(tht201 练习练习1：u(t) u(t) 练习练习

7、2：计算：计算 y (t) = f (t) h(t) )(tft101)(tht201)(tyt20113tt3= r(t)1) 交换律交换律 f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t) 2) 分配律分配律 ( f1(t) + f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * f3(t) + f2(t) * f3(t) 3) 结合律结合律 ( f1(t) * f2(t) ) * f3(t) = f1(t) * ( f2(t) * f3(t) ) 4) 平移特性平移特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 则 f1(t t1) * f2(t t2) = y(t t1

8、 t2) 5) 展缩特性展缩特性)(1)()(21atyaatfatf6)7)8)平移特性平移特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 则 f1(t t1) * f2(t t2) = y(t t1 t2)()(2211ttfttfd)()(2211ttftfxxtttfxfxtd)()(21211)(21ttty展缩特性展缩特性 已知 f1(t) * f2(t) = y(t) 则 )(1)()(21atyaatfatf)()(21atfatfd)()(21tafafxxatfxfaxad)()(121)(1atya 例例 利用平移特性及u(t) u(t)= r(t) ，计算y(t)

9、 = f(t) h(t)。 )(tft101)(tht201)(tyt20113tt3y(t) = f(t) h(t) = u(t) u(t1) u(t) u(t2) =u(t)u(t) u(t1)u(t) u(t)u(t2) u(t1)u(t2)= r(t) r(t 1) r(t2) + r(t3)1) 延时特性延时特性 f (t) * d (t T) = f (t T) 2) ) 微分特性微分特性 f (t) * d (t) = f (t) 3) ) 积分特性积分特性 )(d)()()()1(tfftutft已知 y(t) = f1(t) f2(t) ，求y(t)和 y(1)(t)解：解：

10、利用卷积的微分特性利用卷积的微分特性 y(t) = y(t) d (t) = f1(t) f2(t) d (t)y(1)(t) = y(t) u(t) = f1(t) f2(t) u(t)= f1(t) f2(t) = f1(t) f2(t) = f1(1)(t) f2(t) = f1(t) f2(1)(t)利用卷积的结合律利用卷积的积分特性利用卷积的积分特性利用卷积的结合律 例例 利用等效特性，计算y(t) = f (t) h(t)。 )(tht201)(tyt20113tt3)(tft101) 1()(ththt201311f (t) = d (t) d (t1) tththtytd)1()()(0f (t) h(t)= h(t) h(t1) 例例 计算下列卷积积分。 )(e3)(e22tututt)2(e3) 1(e2)2()1(2tututt)2(e3) 1(e22tututt( (1) )( (2) )( (3) )(e3)(e22tututt( (1) )d)(e3)(e2)(2tuut)()ee (62tutt)(e)(etututt)(e)()ee (1tuttuattt 例例 计算下列卷积积分。 ( (1) )( (2) )( (3) )( (2) )2(e3) 1(e2)2() 1(2tututt利用卷积的平移性质和题(1)的结论 ) 3()e