高等数学：3-3 高阶导数

1、一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的变化率的变化率对时间对时间是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta定义定义.)() )(,)()(lim) )(,)()(0处的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 3.3 高阶导数高阶导数记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的

2、的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称为一阶导数称为一阶导数称为零阶导数称为零阶导数相应地相应地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf二、二、 高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1 1（1 1）).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2x

3、x )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导由高阶导数的定义逐步求高阶导数数.例例2 2.),ln(22yaxxy 求求设设解解 22221axxaxxy)1(22 axy23222）（axx xaxaxx221112222221ax 例例3 3.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再

4、对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy例例4求由下列方程所确定的函数的二阶导数求由下列方程所确定的函数的二阶导数. .解解).ln()(2yxyxxy ,1)()ln()1(2yxyyxyxyy )ln(211yxy )ln(21)(yxyy2)ln(2 )ln(2yxyx 2)ln(2)(1yxyxy .)ln(2)(13yxyx 代入代入y 例例5解解xyyx11 xyyx11lnln ；yxyln1ln1 yxyyln1ln1)(2)ln1()1)(ln1()ln1(1yyyxyx 所确定的函数

5、的二阶导数所确定的函数的二阶导数.求方程求方程,ln1ln1yxxy ,lnlnxxyy 代入代入y .)ln1()ln1()ln1(322yxyxxyy ,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt 注：注：设设 )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)( t 可可知知)()(ttyx ，对对吗吗？例例6解解不对不对 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tt

6、tt )(1)()()()()(2tttttt 例例7 7解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 dxdtdtdxdyd )(dtdxdtdxdyd1)( ydydx 1;)(322yydyxd .)()(35233yyyydyxd 例例8：试从：试从导出：导出：解：解：ydydx 1dyyddydxdyddyxd 122dydxdxyd

7、1 yyy 12 ;3yy dydxdxdyxdddyxd 2233 yyyyyyy 13623.)()(352yyyy 例例9 9.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为为自自然然数数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 例例1010.),1ln()(nyxy求求设设 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3

8、或或4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法证明数学归纳法证明)例例1111.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得例例1212.),(sin)(naxybabxey求求为常数为常数设设 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(

9、22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab 2. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:则则阶导数阶导数具有具有和和设函数设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式例例1313.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0

10、)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex3.3.间接法间接法: :常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则1)(!)1()1(

11、 nnnxnx运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.例例1414.,11)5(2yxy求求设设 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx例例1515.,cossin)(66nyxxy求求设设 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn三、小结三、小结高阶导数的定义及物理意义高阶导

12、数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法阶导数的求法;1.直接法直接法;2.间接法间接法.思考题思考题设设 连续，且连续，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af 思考题解答思考题解答)(xg可导可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求)(af )(af axafxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设tetysin 则则y =_.=_.2 2、 设设xytan , ,则则y = =_._.3 3、 设设xxyarctan)1(2 ，则，则y = =_._.4 4、 设设2xxey , ,则则y = =_._.5 5、 设设)(2xfy , ,)(xf 存在，则存在，则y = =_. .6 6、 设设6)10()( xxf, ,则则)2(f =_.=_.7 7、 设设nnnnnaxaxaxax 12211 ( (naaa,21都是常数都是常数) )，则，则)(ny= =_. .8 8、设、设)()2)(1()(nxxxxxf , , 则则)()1(xfn = =_._.练练 习习 题题一、