复变函数：第6章 保形映射

1、1第六章 保形映射2 z 平面内的任一条有向曲线C可用 z=z(t), atb表示, 它的正向取为t增大时点z移动的方向, z(t)为一条连续函数. 如果z (t0)0,at0b, 则表示z (t)的向量(把起点放取在z0. 以下不一一说明)与C相切于点z0=z(t0).z(t0)z(a)z(b)z (t0)1 保形映射的概念3 事实上, 如果通过C上两点P0与P的割线P0P的正向对应于t增大的方向, 则这个方向与表示ttzttz)()(00的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)当点P沿C无限趋向于点P0, 割线P0P的极限位置就是C上P0处的切线. 因此, 表示ttztt

2、ztzt)()(lim)(0000的向量与C相切于点z0=z(t0), 且方向与C的正向一致.z (t0)4我们有1)Arg z (t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;2)相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角Ox(z)z01C2C51.解析函数的导数的几何意义 设函数w=f (z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且f (z0)0. 又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线: z=z(t), atb,且z0=z(t0), z (t0)0, at00映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成|w|0映射成单位圆|w|

3、1且满 足w(2i)=0, arg w(2i)=0的分式线性映射.2.2iziwezi24( )e,(2 )iiw zzi故有(2 ).4iiwiearg(2 )0,.22wi从而得所求的映射为2.2ziwizi解：由条件w(2i)=0知, 所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0. 所以由(6.3.3)得49例5 求将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线 性映射.x1y(z)OOuv(w)1aa150解 设z平面上单位圆|z|1内部的一点a映射成w平 面上的单位圆|w|1的中心w=0. 这时与1| 1(0).,1,0,.zwwzwzwaaaa 点 对称于单位圆周的

4、点应该被映射成平面上的无穷远点 即与对称的点 因此当时而当时满足这些条件的分式线性映射具有如下的形式,111zzkzzkzzkwaaaaaaaakk其中51由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点, 所以当|z|=1,|w|=1. 将圆周|z|=1上的点z=1代入上式, 得|,1 |1 |1|11| |aaaa又因wk所以 |k|=1, 即k=ei. 这里是任意实数.因此, 将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射的一般表示式是e. (| 1)(6.3.5)1izwzaaa52. 1eee1ee|aaaaiiiiiw 反之, 形如上式的映射必将单位圆|z|1映射成单位圆

5、|w|1. 这是因为圆周|z|=1上的点z=ei (为实数)映射成圆周|w|=1上的点:同时单位圆|z|1内有一点z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|0的分式线性映射.21211 1111422 22e,ee12311122iiizzzzwwzz解 由条件w(1/2)=0知, 所求的映射要将z=1/2 映射成|w|0映射成|w2i|2且满足条件w(2i)=2i, arg w(2i)/2的分式线性映射.2221ee(2 )2e,2224iiiziwiziwizizii解 容易看出, 映射=(w2i)/2将|w2i|2映射成|0映射成|1且满足(2i)=0的映

6、射易知为55arg(2 )arg(2e )arg(4 ).arg(2 ),0.222222(1).222iwiiwiwizizwizizi 由得于是所求映射为或2i(z)O()2i(w)izziw22)1 (2iziz22w=2(i+)564 几个初等函数所构成的映射1. 幂函数 w=zn(n2为自然数)在z平面内处处可导, 它的导数是1d,dnwnzzd0.dwz因而当z0时, 所以, 在z平面内除去原点外, 由w=zn所构成的映射处处保形.,nnw ziirzrewenrr 圆周圆周；射线射线。映射的特点是: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域, 但张角变成了原来的n倍.57

7、O(z)0O(w)n0w=zn(z)(w)OOn2上岸下岸w=zn002)n000角形域:角形域:n(由单值性可知002特别，沿实轴剪开的w平面:2 .n580002: 00()nnnnn根式函数z= w于是w=z 和z= w的映射特点是扩大与缩小角形域。例1 求把角形域0arg z/4映射成单位圆|w|1 的 一个映射.解 =z4将所给角形域0arg z0. 又从上节的例2知, 映射44| 1.iwwiziwzi将上半平面映射成单位圆因此所求映射为59(z)O4O( )1(w) z4iiwizizw4440arg01.4izzImwwi 6001210arg2zwz例 求映为单位园的一个映射

8、.2222222201010arg0arg2Im01Im0Re01111.11zzzttststzizsiwwwsiziz 解：61例3 求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为a的月牙域映射成角形域0arg w0+a的一个映射.a0(w)O1C1C2a(z)Oii62aO()a0(w)O1C1C2a(z)Oiiizizi0eiwizizewi)2(0163解 令C1,C2的交点z=i与z=i分别映射成平面中的=0与=, 将所给月牙域映射成平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数:izizk其中k为待定的复常数.111111,.izkikkiiziiCzi 令。这样就把映射成 平面上的

9、正实轴00()2,0arg.iiziziwieezizia根据保角性 所给的月牙域映射成角形域由此得所求的映射为642. 指数函数 w = e z由于在z平面内w= e z 0。所以, 由 w = e z所构成的映射是0y2上的保形映射.设z =x+iy, w =r e i, 则w = e z =e x+iy =r e i 推出 r= e x ：z平面上垂直线x映射成w平面上圆周r；（x0单位圆周,x0 单位圆外） = y： z平面上水平直线y映射成w平面上射线 。 带形域0Im(z)a映射成角形域0arg wa. 特别是带形域0Im(z)2 映射成沿正实轴剪开的w平面:0arg w2.它们间

10、的点是一一对应的.65aiOxy(z)arg w=auOv(w)2iOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw66由指数函数w = e z 所构成的映射的特点是: 把水平的带形域0Im(z)a(a)映射成角形域0arg wa. 例4 求把带形域0Im(z)映射成单位圆|w|1的 一个映射. w=e ziwieezziwi zi67例4 求映射把如图所示的半带状域映成上半单位圆。i zi z 1-1i t1-1i wtewt zwe 68O(z)ab(w)Oi()Otbaw=e()iz ab aweO(s)b-asz a tis例5 求把带形域aRe(z)0 的一个 映射.O(t)(b-a)i6

11、9例6 求把具有割痕Re(z)=a, 0Im(z)h的上半 平面映射成上半平面的一个映射.xOy(z)C(a+ih)B DaOuv(w)aha a+hBCD70 xOy(z)C(a+ih)B DaOuv(w)aha a+hBCDO(z1)CB Dihh2CO BD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBDh+hz1=zaz2=z12z3=z2+h234zz w=z4+aahazw22)(71解 不难看出, 解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平. 由于映射w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍, 所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的.首先, 把上半z平面向左平移一个距离a:z1=za. 第二, 由映射z2=z12, 得