概率论与数理统计：chapter4-1 数学期望

1、教学要求：教学要求：1. 理解数学期望的概念，掌握其性质与计算理解数学期望的概念，掌握其性质与计算;2. 会计算随机变量函数的数学期望会计算随机变量函数的数学期望. .期望期望离散型随机变量的数学离散型随机变量的数学一一 .期望期望连续型随机变量的数学连续型随机变量的数学二二 .望望随机变量函数的数学期随机变量函数的数学期三三 .数学期望的性质数学期望的性质四四一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 引例引例 (1)某一科研小组由五个青年组成，他们的年龄分别某一科研小组由五个青年组成，他们的年龄分别 是是19岁、岁、20岁、岁、21岁、岁、22岁、岁、23岁，求平均年龄岁，求

2、平均年龄. 引入随机变量引入随机变量X表示年龄，则概率分布表为表示年龄，则概率分布表为 Xip19202122235/15/15/15/15/1则平均年龄为则平均年龄为 .215232221201951 iiipxx(2)某一个班级有某一个班级有30个学生，他们的年龄分布为个学生，他们的年龄分布为19岁岁 的的2人，人，20岁的岁的6人，人，21岁的岁的15人，人，22岁的岁的4人，人， 23岁的岁的3人，求平均年龄人，求平均年龄. 同样有概率分布表为同样有概率分布表为 Xip192021222330/230/630/1530/430/3则平均年龄为则平均年龄为 .21303233042230

3、1521306203021951 iiipxx集中在概率较大的地方集中在概率较大的地方. . 定义定义 ,),(), 2 , 1( 的数学期望的数学期望为随机变量为随机变量则称则称收敛收敛即即绝对收敛绝对收敛若若的分布律为的分布律为设离散型随机变量设离散型随机变量XpxpxpxkpxXPXkkkkkkkkkkk .)( kkkpxXE记为记为注意注意 (1)数学期望又称为均值或简称期望数学期望又称为均值或简称期望. .,)2(的数学期望不存在的数学期望不存在则称则称发散发散若若Xpxkkk (3)数学期望即为数学期望即为“求平均值求平均值”,故要求故要求xi可任意改变次序可任意改变次序.,有可

4、能不收敛有可能不收敛收敛而收敛而因为因为是否绝对收敛非常重要是否绝对收敛非常重要所以验证所以验证要求要求就是为了保证这一点的就是为了保证这一点的绝对收敛绝对收敛要求要求 kkkkkkkkkkkkpxpxpxpx(4)数学期望是我们常见的平均数概念的拓广数学期望是我们常见的平均数概念的拓广. . (5)数学期望由概率分布唯一确定，故也常称为某概数学期望由概率分布唯一确定，故也常称为某概 率分布的数学期望率分布的数学期望. . 二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 已知已知X的概率密度函数为的概率密度函数为f(x),利用离散型的情况来解决利用离散型的情况来解决.对于对于(,)上

5、每一点处的概率为上每一点处的概率为0，于是把，于是把(,)分分成成n个小区间，其中第个小区间，其中第i个区间记为个区间记为xi=xi+1 xi，只要，只要f(x)连续，可用连续，可用f(xi)近似代替近似代替xi上的概率密度，从而上的概率密度，从而 1 iiixXxPp 1)(iixxdxxf,)(iixxf 故用故用pi作为对应于作为对应于xi点的概率点的概率. niiipxXE1)(,)(1 niiiixxfx, 0max iix 取取 niiiixxfxXE10)(lim)( 则则.)( dxxxf(定积分定义定积分定义)定义定义 ,)(),)()(),(的数学期望的数学期望为随机变量为

6、随机变量则称则称收敛收敛即即绝对收敛绝对收敛若若的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量XdxxxfdxxfxdxxxfxfX .)()( dxxxfXE记为记为).(),(. 12XENXex求求设设 解解dxxxfXE )()(dxxex 222)(21 dtetttx 22)(21 dttedtett 2222221 .01 三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 结论结论1: ,)(),)(), 2 , 1( 绝对收敛绝对收敛若若是连续实函数是连续实函数的分布律为的分布律为设离散型随机变量设离散型随机变量 kkkkkpxggXgYkpxXPX.)()()(

7、 kkkpxgXgEYE则则结论结论2: ,)()(),)(),(绝对收敛绝对收敛若若是连续实函数是连续实函数的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量 dxxfxggXgYxfX.)()()()( dxxfxgXgEYE则则结论结论3: ,),(),)(,(), 2 , 1,(, ),(绝对收敛绝对收敛若若是连续实函数是连续实函数的分布律为的分布律为设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 ijijjiijjipyxggYXgZjipyYxXPYX.),(),()( ijijjipyxgYXgEZE则则结论结论4: ,),(),(),)(,(),(),(绝对收敛绝对收敛若若是连

8、续实函数是连续实函数的概率密度为的概率密度为设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 dxdyyxfyxggYXgZyxfYX.),(),(),()( dxdyyxfyxgYXgEZE则则特别地特别地, 对于二维连续型随机变量对于二维连续型随机变量(X,Y), 有有 ,),()( dxdyyxxfXE.),()( dxdyyxyfYEex2.设设X服从分布律服从分布律X123ip2 . 03 . 05 . 0).(),(),(:2XeEXEXE求求解解 31)(iiipxXE, 3 . 25 . 033 . 022 . 01 3122)(iiipxXE, 9 . 55 . 033 . 022

9、. 01222 31)(iixXpeeEi5 . 03 . 02 . 032 eee.1053232eee ex3.已知已知X,Y的联合分布为的联合分布为),(YX)0 , 0()1 , 0()0 , 1()1 , 1()0 , 2()1 , 2(,jiyYxXP 1 . 015. 025. 020. 015. 015. 0求：求：(1)X的概率分布；的概率分布；(2)X+Y的概率分布；的概率分布； .2)(sin)3(的数学期望的数学期望YXZ 解解(1)X的概率分布即边缘概率分布为的概率分布即边缘概率分布为 X012ip25. 045. 03 . 0(2)X+Y的概率分布为的概率分布为 Y

10、X 0123ip1 . 04 . 035. 015. 0 2)(sin)()3(YXEZE 15. 023sin35. 022sin4 . 021sin1 . 020sin .25. 0 .1 , 020 83)( . 422的的数数学学期期望望求求其其它它的的概概率率密密度度为为设设XYxxxfXex 解解 21)(XEYEdxxfx)(12 .438312202 dxxx?,.1 ,;3 , ,4000,2000),:(. 5才才能能使使国国家家收收益益最最大大织织多多少少货货源源问问应应组组万万元元则则每每吨吨商商品品需需贮贮存存费费若若销销售售不不出出去去元元万万可可为为国国家家赚赚取

11、取外外汇汇每每销销售售出出一一吨吨该该种种商商品品匀匀分分布布上上的的均均它它服服从从区区间间吨吨单单位位是是随随机机变变量量量量国国某某种种出出口口商商品品的的需需求求设设国国际际市市场场上上每每年年对对我我Xex解解,40002000, yy显显然然有有吨吨设设应应组组织织货货源源),():(XgYXY 的的函函数数是是万万吨吨单单位位则则国国家家收收益益, ,3 ),(3)( yXyyXXyXXgY且且, ,3 ,4 yXyyXyX 其其它它的的概概率率密密度度为为而而 , 040002000 ,20001)( xxfX)()(XgEYE dxxfxg)()( 40002000)(200

12、01dxxg 400020002000320004yydxydxyx)108140002(2000162 yy.)(,3500 取取得得最最大大值值时时显显然然当当YEy ex6.已知已知(X,Y)的联合分布密度为的联合分布密度为).(, 00 ,0 ),()(XYEEYEXyxeyxfyx求求其其它它 解解dxdyyxxfEX ),(dxdyxeyx 00)(, 100 dyedxxeyxdxdyyxyfEY ),(同同理理, 100)( dxdyyeyxdxdyyxxyfXYE ),()(dxdyxyeyx 00)(. 100 dyyedxxeyx四、数学期望的性质四、数学期望的性质 性质性质1: .)(,CCEC 则则为常数为常数设设性质性质2: ).()(,XCECXECX 则则为常数为常数是一个随机变量是一个随机变量设设.)()(,bXaEbaXE 从而从而性质性质3: ).()()(,YEXEYXEYX 则则是任意两个随机变量是任意两个随机变量设设推广得推广得:).()()(,111121nnnnnXECXECXCXCEnXXX 则则个随机变量个随机变量是任意是任意设设性