高等数学：4-4弧微分与曲率

1、一、弧微分一、弧微分NRTA0 xMxxx .),()(内具有连续导数内具有连续导数在区间在区间设函数设函数baxfxyo),(:00yxA基基点点,),(为任意一点为任意一点yxM规定：规定：;)1(增大的方向一致增大的方向一致曲线的正向与曲线的正向与x,)2(sAM .,取负号取负号相反时相反时取正号取正号一致时一致时的方向与曲线正向的方向与曲线正向当当ssAM4.4 弧微分与曲率弧微分与曲率).(xss 单调增函数单调增函数),(yyxxN 设设如图，如图，NTMTMNMN ,0时时当当 x22)()(yxMN xxy 2)(1,12dxy sMN ,ds22)()(dydxMT ,12

2、dxy dyyNT , 0.12dxyds 故故,)(为单调增函数为单调增函数xss .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTRA0 xxxx xyo二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1.曲率的定义曲率的定义1 ) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，.0是是基基点点M

3、, sMM （. 切切线线转转角角为为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss .dsdK 2.曲率的计算公式曲率的计算公式注意注意: (1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yydsdk ,arctany 有有.12dxyds (1),),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx .)()()()()()(2322tttttt ,)(

4、)(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd (2)232)1(yyk (3),),(二阶可导二阶可导设设 rr .2232222rrr rrrdsdk ,sincos ryrx:,)()(tan,得得借助于借助于又又 rr ddd drrdydxds2222)()( 而而 drrd )(arctan drrr rrr22222 例例1 1?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 显然显然,2时时当当abx .最最大大k,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物线的顶点又又aacbab .最最大大抛

5、抛物物线线在在顶顶点点处处的的曲曲率率点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停).(1),(,的半径的半径为圆弧轨道为圆弧轨道到到率连续地由零过渡率连续地由零过渡使曲使曲如图如图缓冲段缓冲段弯道之间接入一段弯道之间接入一段稳，往往在直道和稳，往往在直道和驶平驶平容易发生事故，为了行容易发生事故，为了行的曲率突然改变的曲率突然改变道时，若接头处道时，若接头处铁轨由直道转入圆弧弯铁轨由直道转入圆弧弯RR例例2 2.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的曲率近似为的曲率近似为时，在终端时，在终端很小很小并且当并且当为零为零的曲率的曲率在始端在始端的长度，验证缓冲段的长度

6、，验证缓冲段为为，其中，其中缓冲段缓冲段作为作为，通常用三次抛物线通常用三次抛物线 xyoR),(00yxA)0 ,(0 xClxyoR),(00yxA)0 ,(0 xC证证如图如图的的负负半半轴轴表表示示直直道道，x.,是是圆圆弧弧轨轨道道是是缓缓冲冲段段 ABOA（在缓冲段上在缓冲段上,212xRly .1xRly , 0, 0,0 yyx处处在在. 00 k故故缓缓冲冲始始点点的的曲曲率率实际要求实际要求,0 xl l20210 xRlyxx 有有221lRl ,2Rl 010 xRlyxx lRl1 ,1R 的曲率为的曲率为故在终端故在终端A0232)1(xxAyyk 2322)41(

7、1RlR , 1Rl.1RkA 得得,422Rl略去二次项略去二次项xyoR),(00yxA)0 ,(0 xCl三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径定义定义D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲率半径曲率半径 xyo1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数

8、曲率互为倒数.1,1 kk即即注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).例例3 3xyoQP.,.70,/400,)(40002压力压力飞行员对座椅的飞行员对座椅的到原点时到原点时求俯冲求俯冲千克千克飞行员体重飞行员体重秒秒米米处速度为处速度为点点在原在原俯冲飞行俯冲飞行单

9、位为米单位为米飞机沿抛物线飞机沿抛物线 vOxy解解如图如图,受力分析受力分析,PQF 视飞行员在点视飞行员在点o作匀速圆周运动作匀速圆周运动,.2 mvF O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率为得曲率为.200010 xxk曲率半径为曲率半径为.2000 米米 2000400702 F),(4 .571)(5600千克千克牛牛 ),(4 .571)(70千克力千克力千克力千克力 Q).(5 .641千克力千克力 即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为641.5千克力千克力.四、小结四、小结运用微分学的理论运用微分学

10、的理论,研究曲线和曲面的性研究曲线和曲面的性质的数学分支质的数学分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).思考题思考题 椭圆椭圆 上哪上哪些点处曲率最大？些点处曲率最大？,cos2tx tysin3 思考题解答思考题解答232)(1|yyk 2322)cos9sin4(6tt 232)cos54(6t 要使要使 最大，最大，k232)cos54(t 必有必有 最小，最小，23,2 t此时此时 最大，最大，k一、一、 填空题：填空题：1 1、 曲率处处为零

11、的曲线为曲率处处为零的曲线为_；曲率处处相等；曲率处处相等的曲线为的曲线为_._.2 2、 抛 物 线抛 物 线342 xxy在在 (2,-1)(2,-1) 处 的 曲 率 为处 的 曲 率 为_；曲率半径为；曲率半径为_._.3 3、 曲 线曲 线)1ln(2xxy 在在 (0,0)(0,0) 处 的 曲 率 为处 的 曲 率 为_._.二、二、 求曲线求曲线)ln(secxy 在点在点),(yx处的曲率及曲率半处的曲率及曲率半径径. .三、三、 求曲线求曲线 taytax33sincos在在0tt 处的曲率处的曲率 . .四、四、 证明曲线证明曲线axaycosh 在任何一点处曲率半径为在任何一点处曲率半径为ay2. .练练 习习 题题五五、 曲曲线线弧弧xysin )0( x上上哪哪一一点点处处的的曲曲率率半半径径最最小小？求求出出该该点点处处的的曲曲率率半半径径 . .六六、 曲曲线线上上曲曲率率最最大大的的点点称称为为此此曲曲线线的的顶顶点点，试试求求指指数数曲曲线线xey