概率论与数理统计：chapter2-2 连续型随机变量及概率密度

1、教学要求：教学要求：1. 理解连续型随机变量的概率密度及性质理解连续型随机变量的概率密度及性质;2. 掌握正态分布、均匀分布和指数分布掌握正态分布、均匀分布和指数分布; 3. 会应用概率密度计算有关事件的概率会应用概率密度计算有关事件的概率. .密度密度连续型随机变量的概率连续型随机变量的概率一一 .几种常用的连续型分布几种常用的连续型分布二二 .正态分布正态分布三三 .注意事项及课堂练习注意事项及课堂练习四四一、连续型随机变量的概率密度一、连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间所有可能取值充满一个区间, 对这对这种类型的随机变量种类型的随机变量, 不

2、能象离散型随机变量那样不能象离散型随机变量那样, 以以指定它取每个值概率的方式指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而而是通过给出所谓是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式的方式.1. 连续型连续型r.v及其密度函数的定义及其密度函数的定义.,)(,)()( ,),(),(简称概率密度简称概率密度概率密度函数概率密度函数的的称为称为其中函数其中函数为连续型随机变量为连续型随机变量则称则称有有使对于任意实数使对于任意实数函数函数存在非负存在非负的分布函数的分布函数如果对于随机变量如果对于随机变量XxfXdttfxXPxFxxfxFXx 2. 概率密度函数的性质

3、概率密度函数的性质; 0)( )1( xf; 1)( )2( dxxf这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.vX的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件. f (x)xo面积为面积为1;)()()( )3(211221 xxdxxfxFxFxXxP);()(,)( )4(xfxFxf 的连续点处的连续点处在在;)(,)(不存在不存在的不连续点处的不连续点处在在xFxf )()(lim)(0000证明证明用用xxFxxFxFx ; 0)0()(, )5( aFaFaXPa对任意实数对任意实数.)( 2121212121 xxdxxfxXxPxXxP

4、xXxPxXxP从而从而注意注意: (1) F(x)为连续函数为连续函数; (2) 概率为概率为0的事件，不一定是不可能事件；同样地的事件，不一定是不可能事件；同样地 概率为概率为1的事件，不一定是必然事件的事件，不一定是必然事件. (3) 对于连续型随机变量，求区间上的概率时可以不对于连续型随机变量，求区间上的概率时可以不 考虑端点的情况，而离散型随机变量得特别注意考虑端点的情况，而离散型随机变量得特别注意. (4) 可由分布函数求分布密度，对于可由分布函数求分布密度，对于 不存在不存在 的点可人为的补充定义的点可人为的补充定义. . )(xF ex1.设设X的分布函数为的分布函数为,1 1

5、10 0 0)(2 xxxxxF求求:(1)概率概率P0.3X0.7; (2) X的分布密度的分布密度).(xf解解)3 . 0()7 . 0(7 . 03 . 0)1(FFXP , 4 . 03 . 07 . 022 ),()()2(xFxf 且端点处情况可人为规定且端点处情况可人为规定. 其它其它 010 2)(xxxf. 010 2)( 其它其它xxxforex2.设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为 其它其它 , 043 ,2230 ,)(xxxkxxf.271)3(),()2( ,)1( XPxFk求求解解得得由由1)()1( dxxfdxxdxkx 4330)22(141

6、29 k.61 k; 00)(,0)2( dxxFxx时时当当dxxfxFxx )()(,30时时当当;12620 xdxxx dxxfxFxx )()(,43时时当当dxxdxxx 330)22(6;4232xx dxxfxFxx )()(,4时时当当. 1)22(64330 dxxdxx 4 143 42330 120 0)(22xxxxxxxxF,4841)1()27(271)3( FFXPdxxfXP 271)(271或或.4841)22(627331 dxxdxx二、几种常用的连续型分布二、几种常用的连续型分布 1. 均匀分布均匀分布 若若 r.vX的概率密度为：的概率密度为：其它,

7、 0,1)(bxaabxf)(xfab则称则称X服从区间服从区间( a, b)上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作： X U(a, b)它的实际背景是：它的实际背景是： r.v X 取值在区间取值在区间(a, b) 上，并且上，并且取值在取值在(a, b)中任意小区间内的概率与这个小区间的中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比长度成正比. 则则 X 具有具有(a,b)上的上的均匀分布均匀分布.其分布函数为其分布函数为: bxbxaabaxaxxF , 1 , , 0)(2. 指数分布指数分布 若若 r.vX的概率密度为：的概率密度为： 0 , 00 ,1)(xxexfx .,0的指数分

8、布的指数分布服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中 X ).( EX记为记为其分布函数为其分布函数为: 0 , 00 ,1)(xxexFx 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.ex3.若随机变量若随机变量X在在(1，6)上服从均匀分布，求方程上服从均匀分布，求方程012 Xxx有实根的概率有实根的概率.解解 其它其它 061 51)(xxfX 有实根有实根方程方程012Xxx042 X2242 XPXPXP.5400512662 dxdxdxex4.某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起时起,每每15分钟来一班车分钟来一班车,

9、即即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达此站等时刻有汽车到达此站,如果乘客如果乘客到达此站时间到达此站时间X是是7:00到到7:30之间的均匀随机变量之间的均匀随机变量,试试求他候车时间少于求他候车时间少于5分钟的概率分钟的概率.解解),30, 0(, 000:7UX则则以分为单位以分为单位为起点为起点以以 其它其它 0300 301)(xxf为使候车时间为使候车时间X少于少于5分钟分钟,乘客必须在乘客必须在7:10到到7:15之间之间,或在或在7:25到到7:30之间到达车站之间到达车站,故所求概率为故所求概率为30251510 XPXP.3130130130251510

10、dxdxex5.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计以分计)服服 从指数分布，其密度函数为从指数分布，其密度函数为 其它其它 00 51)(51xexfx某顾客等待时间超过某顾客等待时间超过10分钟，他就离开分钟，他就离开.一个月他去银一个月他去银行行5次次.以以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，表示一个月内他未等到服务而离去的次数，写出写出X的分布律并求的分布律并求 .1 XP解解以以Y表示顾客在某银行的窗口等待服务的时间，表示顾客在某银行的窗口等待服务的时间， 则顾客未等到服务而离去的概率为则顾客未等到服务而离去的概率为 10 YPp.5121

11、051 edxex的的分分布布律律为为X).5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0( )1(5225 keeCkXPkkk011 XPXP5205)1(1 eC.)1(152 e三、正态分布三、正态分布 1. 正态分布的定义正态分布的定义 如果连续型随机变量如果连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 )( 21)(222)( xexfx .,)0(,分布或高斯分布分布或高斯分布的正态的正态服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中 X ).,(2 NX记为记为得得令令特别地特别地1, 0, )( 21)(22 xexx 称称X服从标准正态分布服从标准正态分布.).1 , 0( NX

12、记为记为2. 正态分布的分布函数正态分布的分布函数 .d21)( ),(222)(2 xttexFXNX 的分布函数为的分布函数为则则若若.d21)( ),1 , 0(22 xttexXNX 的分布函数为的分布函数为则则若若3. 正态分布的简单性质正态分布的简单性质 ;, 0)( )1(数数且具有各阶连续的导函且具有各阶连续的导函 xf,),(,),()( )2(上严格下降上严格下降在在上严格上升上严格上升在在 xf,点处达到最大值点处达到最大值在在 x; 0)(xfxx时时或或当当;)( )3( xxf的两个拐点的横坐标为的两个拐点的横坐标为),()(,0,)( )4(xxxx 即即对称对称

13、关于关于为偶函数为偶函数);()(,)(xfxfxxf 即即对称对称关于关于; 5 . 0)0( )5( );(1)( )6(xx 证证dtexxt 2221)( dyexyyt 2221 令令 xxxdyexy 22211 ).(1x );()( )7( xxF证证dtexFxt 222)(21)( dzexzzt 2221).( x注意注意则则若若),(2 NX)()(aFbFbXaP ).()( ab用于利用标准正态分布表计算事件的概率用于利用标准正态分布表计算事件的概率.);(1)( )8( xxf);1 , 0(,),( )9(2NYXYNX则则若若 (10) 分布密度函数图形中分布

14、密度函数图形中,越大越大,曲线越平坦曲线越平坦; 越小越小,曲线越尖陡曲线越尖陡. ),3 ,108()9 ,108(. 62NNXex 设设;6 .1171 .101)1( XP求求;9 . 0)2( aXPa使使求求.01. 0|)3( aaXPa使使求求解解)1 .101()6 .117(6 .1171 .101)1(FFXP )31081 .101()31086 .117( )3 . 2()2 . 3( .9886. 00107. 09993. 0 查查表表)()2(aFaXP , 9 . 0)3108( a,28. 13108 a查查表表得得.84.111 a02|)3( XPaXP

15、aaXP)0()2(1FaF )3108()31082(1 a,01. 0)31082(1 a,99. 0)31082( a,33. 231082 a查表得查表得.495.57 a则则设设),(. 72 NXex XPXP)()( FF)()( )1()1( 1)1(2 .6826. 0 同理同理, 1)2(22 XP.9544. 0 1)3(23 XP.9974. 0 .)3,3(,之中之中落在落在的取值几乎总是的取值几乎总是在一次试验中随机变量在一次试验中随机变量由此可见由此可见 X.3规则规则这就是这就是 4. 分位点分位点 . 10),1 , 0( NX设设; ,)1(分位点分位点为标准正态分布的上侧为标准正态分布的上侧则称则称满足条件满足条件若若 zzXPz . ,)2(222分位点分位点为标准正态分布的双侧为标准正态分布的双侧则称则称满足条件满足条件若若 zzXPz .,21)(1)(22 zzzz与与可分别求得可分别求得与与利用利用 说明说明: , zXP dxxz)(即即 zx)(x O )(1z且且 1)(z从而从而,2 zXP dxxdxxzz22)()(即即2 2 zx)(x O2 2 z )()(122zz且且21)(2 z从而从而.05. 0. 8位点位点的上侧分位点与双侧分的上侧分位点与双