2016年山东省高考数学试卷（文科）菁优网解析

1、2016年山东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的.1（5分）（2016山东）设集合U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，B=3，4，5，则U（AB）=（）A2，6B3，6C1，3，4，5D1，2，4，62（5分）（2016山东）若复数z=，其中i为虚数单位，则=（）A1+iB1iC1+iD1i3（5分）（2016山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5，25

2、），25，27.5），27.5，30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A56B60C120D1404（5分）（2016山东）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A4B9C10D125（5分）（2016山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（）A+B+C+D1+6（5分）（2016山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）（2016山东）已知圆M：x2+y22ay=0（a0）截直线x+y=0所

3、得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x1）2+（y1）2=1的位置关系是（）A内切B相交C外切D相离8（5分）（2016山东）ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1sinA），则A=（）ABCD9（5分）（2016山东）已知函数f（x）的定义域为R当x0时，f（x）=x31；当1x1时，f（x）=f（x）；当x时，f（x+）=f（x）则f（6）=（）A2B1C0D210（5分）（2016山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质下列函数中具有T性质的是（）Ay=sinxBy=lnxCy=exDy

4、=x3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（5分）（2016山东）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为12（5分）（2016山东）观察下列等式：（sin）2+（sin）2=×1×2；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=×2×3；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=×3×4；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=×4×5；照此规律，（sin）2+（sin）2+（sin）2+（sin）2=13（5分）（2016山东）已知向量=

5、（1，1），=（6，4），若（t+），则实数t的值为14（5分）（2016山东）已知双曲线E：=1（a0，b0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是15（5分）（2016山东）已知函数f（x）=，其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分16（12分）（2016山东）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数记两次记录的数分别为x，y奖励规则如下：若xy3，

6、则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动（）求小亮获得玩具的概率；（）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由17（12分）（2016山东）设f（x）=2sin（x）sinx（sinxcosx）2（）求f（x）的单调递增区间；（）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值18（12分）（2016山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB（）已知AB=BC，AE=EC，求证：ACFB；（）已知G，H分别

7、是EC和FB的中点，求证：GH平面ABC19（12分）（2016山东）已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且an=bn+bn+1（）求数列bn的通项公式；（）令cn=，求数列cn的前n项和Tn20（13分）（2016山东）设f（x）=xlnxax2+（2a1）x，aR（）令g（x）=f（x），求g（x）的单调区间；（）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围21（14分）（2016山东）已知椭圆C：+=1（ab0）的长轴长为4，焦距为2（）求椭圆C的方程；（）过动点M（0，m）（m0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过

8、点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B（）设直线PM，QM的斜率分别为k，k，证明为定值；（）求直线AB的斜率的最小值2016年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的.1（5分）（2016山东）设集合U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，B=3，4，5，则U（AB）=（）A2，6B3，6C1，3，4，5D1，2，4，6【考点】交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】计算题；规律型；集合【分析】求出A与B的并集，然后求解补集即可【解答】解：集合U=1，2，3，4，5，6

9、，A=1，3，5，B=3，4，5，则AB=1，3，4，5U（AB）=2，6故选：A【点评】本题考查集合的交、并、补的运算，考查计算能力2（5分）（2016山东）若复数z=，其中i为虚数单位，则=（）A1+iB1iC1+iD1i【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数【分析】根据复数的四则运算先求出z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可【解答】解：z=1+i，=1i，故选：B【点评】本题主要考查复数的计算，根据复数的四则运算以及共轭复数的定义是解决本题的关键比较基础3（5分）（2016山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了

10、如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5，25），25，27.5），27.5，30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A56B60C120D140【考点】频率分布直方图菁优网版权所有【专题】计算题；图表型；概率与统计【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.

11、7×200=140，故选：D【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目4（5分）（2016山东）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A4B9C10D12【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3），C（0，2），|OA|OC|，联立，解得B（3，1），x2+y2的最大值是10故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法

12、，是中档题5（5分）（2016山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（）A+B+C+D1+【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=故R=，故半球的体积为：=，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知

13、的三视图，判断几何体的形状是解答的关键6（5分）（2016山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有【专题】探究型；空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案【解答】解：当“直线a和直线b相交”时，“平面和平面相交”成立，当“平面和平面相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件，故选：A【点评

14、】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题7（5分）（2016山东）已知圆M：x2+y22ay=0（a0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x1）2+（y1）2=1的位置关系是（）A内切B相交C外切D相离【考点】直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】方程思想；定义法；直线与圆【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（ya）2=a2 （a0），则圆心为（0，a），半径R=a，圆心到直线x+y=0的距离d=，圆M：x2+y22ay=0（a0）截直线x+y=0所得线段的长度

15、是2，2=2=2=2，即=，即a2=4，a=2，则圆心为M（0，2），半径R=2，圆N：（x1）2+（y1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，则MN=，R+r=3，Rr=1，RrMNR+r，即两个圆相交故选：B【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键8（5分）（2016山东）ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1sinA），则A=（）ABCD【考点】余弦定理的应用；正弦定理菁优网版权所有【专题】方程思想；转化法；解三角形【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到1cosA=1sinA，即si

16、nA=cosA，进行求解即可【解答】解：b=c，a2=b2+c22bccosA=2b22b2cosA=2b2（1cosA），a2=2b2（1sinA），1cosA=1sinA，则sinA=cosA，即tanA=1，即A=，故选：C【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键9（5分）（2016山东）已知函数f（x）的定义域为R当x0时，f（x）=x31；当1x1时，f（x）=f（x）；当x时，f（x+）=f（x）则f（6）=（）A2B1C0D2【考点】抽象函数及其应用菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】求得函数的周期为1，再利

17、用当1x1时，f（x）=f（x），得到f（1）=f（1），当x0时，f（x）=x31，得到f（1）=2，即可得出结论【解答】解：当x时，f（x+）=f（x），当x时，f（x+1）=f（x），即周期为1f（6）=f（1），当1x1时，f（x）=f（x），f（1）=f（1），当x0时，f（x）=x31，f（1）=2，f（1）=f（1）=2，f（6）=2故选：D【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题10（5分）（2016山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质下列函数中具有T性质的是（）Ay=

18、sinxBy=lnxCy=exDy=x3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；导数的概念及应用【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，进而可得答案【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，当y=sinx时，y=cosx，满足条件；当y=lnx时，y=0恒成立，不满足条件；当y=ex时，y=ex0恒成立，不满足条件；当y=x3

19、时，y=3x20恒成立，不满足条件；故选：A【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（5分）（2016山东）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为1【考点】程序框图菁优网版权所有【专题】数形结合；定义法；算法和程序框图【分析】根据程序框图进行模拟计算即可【解答】解：若输入n的值为3，则第一次循环，S=0+1=1，13不成立，第二次循环，S=1+=1，23不成立，第三次循环，S=1+=1=21=1，33成立，程序终止，输出S=1，故答案为：1【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，进行模拟

20、运算是解决本题的关键12（5分）（2016山东）观察下列等式：（sin）2+（sin）2=×1×2；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=×2×3；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=×3×4；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=×4×5；照此规律，（sin）2+（sin）2+（sin）2+（sin）2=n（n+1）【考点】归纳推理菁优网版权所有【专题】规律型；对应思想；归纳法；推理和证明【分析】由题意可以直接得到答案【解答】解：观察下列等式：（sin）2+

21、（sin）2=×1×2；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=×2×3；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=×3×4；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=×4×5；照此规律（sin）2+（sin）2+（sin）2+（sin）2=×n（n+1），故答案为：n（n+1）【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键是找到相对应的规律，属于基础题13（5分）（2016山东）已知向量=（1，1），=（6，4），若（t+），则实数t的值为5【考点】数量积判断两个平面

22、向量的垂直关系菁优网版权所有【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可【解答】解：向量=（1，1），=（6，4），t+=（t+6，t4），（t+），（t+）=t+6+t+4=0，解得t=5，故答案为：5【点评】本题考查了向量的数量积的运算以及向量垂直的条件，属于基础题14（5分）（2016山东）已知双曲线E：=1（a0，b0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是2【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】可令x=c，

23、代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（c，），B（c，），C（c，），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2=32c，即为2b2=3ac，由b2=c2a2，e=，可得2e23e2=0，解得e=2（负的舍去）故答案为：2【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题15（5分）（2016山东）已知函数f（x）=

24、，其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+）【考点】根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4mm2m（m0），解之即可【解答】解：当m0时，函数f（x）=的图象如下：xm时，f（x）=x22mx+4m=（xm）2+4mm24mm2，y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4mm2m（m0），即m23m（m0），解得m3，m的取值范围是（3，+），故答案为：（3，+）【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到

25、4mm2m是难点，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分16（12分）（2016山东）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数记两次记录的数分别为x，y奖励规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动（）求小亮获得玩具的概率；（）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由【考点】几何概型菁优网版权所有【专题】应用题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（）确定基本事件的概率，利用古典概型的概

26、率公式求小亮获得玩具的概率；（）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论【解答】解：（）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），（4，4），共16个，满足xy3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个，小亮获得玩具的概率为；（）满足xy8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个，小亮获得水杯的概率为；小亮获得饮料的概率为1=，小亮获得水杯大于获得饮料的概率【点评】本题考

27、查概率的计算，考查古典概型，确定基本事件的个数是关键17（12分）（2016山东）设f（x）=2sin（x）sinx（sinxcosx）2（）求f（x）的单调递增区间；（）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】（）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间（）利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从

28、而求得g（）的值【解答】解：（）f（x）=2sin（x）sinx（sinxcosx）2 =2sin2x1+sin2x=21+sin2x=sin2xcos2x+1=2sin（2x）+1，令2k2x2k+，求得kxk+，可得函数的增区间为k，k+，kZ（）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x）+1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+1的图象，g（）=2sin+1=【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题18（12分）（2016山东）在如图

29、所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB（）已知AB=BC，AE=EC，求证：ACFB；（）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH平面ABC【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质菁优网版权所有【专题】数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（）由条件利用等腰三角形的性质，证得BDAC，EDAC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC平面EFBD，从而证得ACFB（）再取CF的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG平面ABC，OH平面ABC，可得平面OGH平面ABC，从而证得GH平面ABC【解答】（）证明：如图所示，D是AC的中点，AB=BC，AE=EC，

30、BAC、EAC都是等腰三角形，BDAC，EDACEFDB，E、F、B、D四点共面，这样，AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD，AC平面EFBD显然，FB平面EFBD，ACFB（）已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，则OGEF，OGBD，OGBD，而BD平面ABC，OG平面ABC同理，OHBC，而BC平面ABC，OH平面ABCOGOH=O，平面OGH平面ABC，GH平面ABC【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属于中档题19（12分）（2016山东）已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且an=bn+bn+1

31、（）求数列bn的通项公式；（）令cn=，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（）求出数列an的通项公式，再求数列bn的通项公式；（）求出数列cn的通项，利用错位相减法求数列cn的前n项和Tn【解答】解：（）Sn=3n2+8n，n2时，an=SnSn1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，an=6n+5；an=bn+bn+1，an1=bn1+bn，anan1=bn+1bn12d=6，d=3，a1=b1+b2，11=2b1+3，b1=4，bn=4+3（n1）=3n+1；（）cn=6（n+1）2n，Tn=6

32、22+322+（n+1）2n，2Tn=6222+323+n2n+（n+1）2n+1，可得Tn=622+22+23+2n（n+1）2n+1=12+6×6（n+1）2n+1=（6n）2n+1=3n2n+2，Tn=3n2n+2【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题20（13分）（2016山东）设f（x）=xlnxax2+（2a1）x，aR（）令g（x）=f（x），求g（x）的单调区间；（）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值菁优网版权所有【专题】分类讨

33、论；转化思想；转化法；导数的综合应用【分析】（）先求出g（x）=f（x）的解析式，然后求函数的导数g（x），利用函数单调性和导数之间的关系即可求g（x）的单调区间；（）分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论【解答】解：（）f（x）=xlnxax2+（2a1）x，g（x）=f（x）=lnx2ax+2a，x0，g（x）=2a=，当a0，g（x）0恒成立，即可g（x）的单调增区间是（0，+）；当a0，当x时，g（x）0，函数为减函数，当0x，g（x）0，函数为增函数，当a0时，g（x）的单调增区间是（0，+）；当a0时，g（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+）；（）f（x）在x=1处取得极大值，f（1）=0，当a0时，f（x）单调递增，则当0x1时，f（x）0，f（x）单调递减，当x1时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）在x=1处取得极小值，不合题意，当0a时，1，由（1）知，f（x）在（0，）内单调递增，当0x1时，f（x）0，当1x时，f（x）0，f（x）在（0，1）内单调递