关于幂级数逐项积分积分下限讨论

1、关于無级数逐项积分积分下限讨论摘要：求幕级数和函数的方法与技巧是多种多样 的，它的难度较大、技巧较髙，对学生来说是一个难点，其 中利用逐项积分法计算幕级数和函数的方法，学生在学习 时，对积分下限选为0感到困惑，本文讨论了积分下限选为 0的原因和积分下限的选取范围。abstract： methods and techniques of calculating power series and function are diverse. it is a more difficult and higher skillful task for students. in the method for c

2、alculating the power series sum function, there is an interestin£ method of using the termwise integration. the students are confused about the lower limit of the integral selected as 0 in this method. this article discussed the reasons of the lower limit of integration is selected as 0 and the

3、 selectting scope of the lower limit of integration.关键词：逐项积分；和函数；积分下限key words： termwise integration； sum function； the lower limit of integrotion中图分类号:0172文献标识码：a文章编号:1006-4311(2014) 09-0213-020引言级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中 有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质, 也是进行数值计算的一种工具，它在自然科学、工程技术和 数学本身都有广泛的作用。無级数是数学分析的重要

4、概念之 一，是一类最简单的函数项级数，在幕级数理论中，对给定 幕级数分析其收敛性，求收敛無级数的和函数是重要内容之 o但学生往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个 重要原因是教材中对这一问题讨论较少，仅有一两个例题， 使得学生对無级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。很 多专家学者研究了幕级数的求和问题，如邓俊兰和李鑫的 無级数求和函数的类型与解法1,孙艾明的利用解 微分方程求無级数的和函数2,彭凯军，孙胜先，苏灿 荣的利用微积分算子求幕级数的和函数3等。学生在 学习用逐项积分方法求未知幕级数和函数时，对积分下限的 选取存在困惑，目前这一问题的讨论甚少，本文的研究就是 针对这一问题。1無级

5、数ax求和的逐项积分法形如(x-x ) =ah+ah (x-x ) +a(x-x) +a( xxh )+ 或 ax 二a0+alx+a2x2+anxn+的函数项级数称为無级 数。已知幕级数ax的和函数，用逐项积分法求未知彖 级数的和函数时，其方法和步骤如下4：设幕级数-q-x在收敛区间(-r, r)上的和函数为f(x),若x为(-r, r)上任意一点，则f (x)在0与x之间的这个区间上可积，且f (t) dt=hhxho由此，若已知 ax二f (x), xw (-r, r),用逐项 积分法求幕级数x的和函数s (x)的步骤：将所求 無级数通过逐项求导后整理为已知和函数的無级数，即s'

6、(x)二x二x二ax二f(x),其中 xg (-r,r);通过逆运算，求出所求潟级数的和函数。即x二s(x) -s (0) =bs/ (x) dt=bf (t) dt,其中 xu (-r, r)；验证x=r和x二-r处的敛散性，从而得到所求潟级数的和 函数。2逐项积分法使用中的两个问题首先，已知無级数ax的和函数，用逐项积分法求未知無级数的和函数时，积分上下限的选取问题。两个问题：1、积分下限为什么选取为0； 2、积分下限还可以在什么范围选取？对于问题1,原因有两个，原因一：由微积分学基本定理(原函数存在定理)4知若f (x)在a, b上连续，则 由(x)二f (t) dt, xea, b所定

7、义的函数(x) 在a, b上处处可导，且'(x) = if (t) dt=f (x), xwa, b o这样(x)为f (x)的一个原函数，f (t) dt二(x) -(&)。如果(a) =0,则f (t) dt二(x)o 幕级数ax的和函数f (x)是收敛区间(-r, r)上的 连续函数，且x二s (x),如果s (0) =0,则s (x) =hf(t) dto在利用逐项积分法求幕级数的和函数的大多数情 况，有s (0) =0,即s (x)=f (t) dt,故通常情况下， 选取积分下限为0。原因二：由阿贝尔定理知無级数 的收敛区间是以原点为中心的区间(-r, r)。只要积分

8、下限 选为0,对任意的xe (-r, r),都有0，xe (-r, r)。 从而幕级数在0, x上一致收敛且每一项ax都 连续，即满足逐项积分的条件；如果下限不为0,对任意的 xw (-r, r),不能保证0, x丘(-r, r)o对于问题2,只要满足逐项积分的条件，即可用逐项积 分法求幕级数的和函数，所以，选取积分下限a,只需满足 对任意的 xu (-r, r),都有a, x £ (_r, r),即 xu (-r, r)o所求無级数的和函数二s (x) =hf (t) dt+s (a)o 通过下面的例题，验证一下，当选取积分下限为0和积分下 限为ae (-r, r)计算幕级数和函数

9、时，得到结果一样。 例1：试求幕级数的和函数。解：幕级数的收敛半径r=b=1,收敛区间为(-1, 1)。易知在x二-1处收敛，而在x=1发散，故的收 敛域为t, 1)。 取积分下限为0时，设其和函数为s(x),经逐项求导得到：s' (x) =bxn=b, xe (-1, 1),再通过积分,还原得:s (x)-s (0)二dt二tn (l-x), xe -1, 1)这里 s (0) =0,于是求得：s (x) =-ln (1-x), xw -1, l)o 取积分下限为aw (-1, 1),不妨设a=b,设其和函 数为s (x)o经逐项求导得到：s' (x) =hxn=b, xe

10、(-1, 1),再通过积分，还原得：s (x) -sb = hdt=-ln (lx) +lnb, xw (-1, l)o这里 s二+=-于是求得：s(x)=-ln(l-x), x w -1, l)o由例1可以看出，虽然结果一样，但是选取积分下限为 0,计算比较简单。根据以上的讨论，可知，当已知幕级数(x-xo) n 的和函数，用逐项积分法求未知幕级数的和函数时，积分上 下限的选取。3幕级数(x-xo) n求和的逐项积分法若已知(x-xo) n=f (x), xw (xo-r, xo+r),用 逐项积分法求需级数 (x-x0) 的和函数s (x)的步骤: 令xxo=t,将所求無级数5+1通过逐项

11、求导整 理为已知和函数的幕级数antn，即f， ( t ) 二二二其中 tw (-r, r)； 通过逐项积分，求出所求幕级数的和函数。t二f(t) -f (0)二f，(u) du=bf (u) du,其中 te (-r, r)o即(xx0) 二an (txo) ndt=hf (t) dt； 验证x=xo-r和x=xo+r处的敛散性，从而得到所求無 级数的和函数。下面，通过例2,演示一下计算过程。例2：试求幕级数的和函数。解：無级数的和函数为s (x),其收敛半径r=b=1, 易知在x=-l+l=0和x=l+l=2均处收敛，故的收敛 域为0, 2经逐项求导得到：s， (x) = (-1) n (

12、x-1) 2n=b,(0, 2),再通过积分，还原得：s (x) -s (1) =bsz(t) dt=bbcltarctan (xt), x£ (0, 2),又 s (1) =0, 求得：s (x) =arctan (xt), xu (0, 2) o4总结本文讨论了利用逐项积分法求無级数和函数时积分下 限选取为0的原因，一个原因是通常情况下，和函数s (x) 当x=0时值为0；另一个原因是無级数anxn的收敛区间是 以原点为中心的对称区间，即0为对称中心，故任意取自收 敛区间的x, 0, x都是可积区间。最后，本文给出，积分 下限的选取范围不仅仅为0点，可以在收敛区间内任一点。 并通过例题，验证其正确性。通过这样的讲解，突破了学习 的一个难点，使学生在学习逐项积分法的时候，更容易