《高等数学同济五版》讲稿WORD版-第04章不定积分

1、第四章不定积分教学目的：1、理解原函数概念、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。§4 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义 1如果在区间 I 上可导函数 F(x)的导函数为 f(x) 即对任一 x I 都有F (x) f( x)或 dF(x) f(x) dx那么函数 F(x)就称为 f(x)

2、( 或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数例如 因为 (sin x) cos x所以 sin x 是 cos x的原函数又如当 x(1) 时因为 (x)1所以x 是1 的原函数2x2x提问 :cos x 和1还有其它原函数吗？2x原函数存在定理如果函数 f(x)在区间 I 上连续 那么在区间 I 上存在可导函数 F(x)使对任一 x I 都有F (x)f(x)简单地说就是连续函数一定有原函数两点说明第一如果函数 f(x)在区间 I 上有原函数 F(x)那么 f(x)就有无限多个原函数 F(x)C 都是 f(x)的原函数其中 C 是任意常数第二f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数即如果 (

3、x)和 F(x)都是 f(x)的原函数则(x) F(x)C(C 为某个常数 )定义 2在区间 I 上 函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或 f(x)dx )在区间 I 上的不定积分 记作f ( x)dx其中记号称为积分号f(x)称为被积函数f(x)dx 称为被积表达式x 称为积分变量根据定义如果 F(x)是 f( x)在区间 I 上的一个原函数那么 F(x) C 就是 f(x)的不定积分即f (x)dxF (x)C因而不定积分f ( x) dx 可以表示f( x)的任意一个原函数例1因为 sin x 是 cos x 的原函数 cosxdx sin x C所以因为x 是1的原函

4、数所以2x1dxxC2 x例 2. 求函数 f (x) 1 的不定积分 x解：当 x>0 时(ln x)1x1 dx ln xC (x>0)x当 x<0 时 ln(x)1(1)1xx1 dxln( x)C ( x<0)x合并上面两式得到1 dxln | x| C ( x 0)x例3设曲线通过点 (12)且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线的方程解 设所求的曲线方程为y f(x)按题设曲线上任一点(x y)处的切线斜率为yf ( x) 2x,f(x)2x因为2xdxx2C故必有某个常数C 使 f(x) x2 C即曲线方程为y x 2 C因所求曲线通过点 (

5、12)故2 1 CC 1于是所求曲线方程为y x2 1积分曲线 函数 f(x)的原函数的图形称为 f(x)的积分曲线从不定积分的定义 即可知下述关系d f (x)dxf (x)dx或df ( x)dxf (x) dx又由于 F(x)是 F (x)的原函数所以F ( x)dxF (x)C或记作dF (x)F (x)C由此可见微分运算 （以记号 d 表示）与求不定积分的运算 （简称积分运算以记号表示）是互逆的当记号与 d 连在一起时或者抵消 或者抵消后差一个常数二、基本积分表(1)kdxkx C (k 是常数 )(2)x dx1x1C1(3)1 dxln |x | Cx(4)exdxex C(5)

6、a xdxaxCln a(6)cos xdx sin xC(7)sin xdxcos xC(8)1dx2tan xCcos2sec xdxx(9)1dx2cot xC2csc xdxsinx(10) 1 2 dx arctanx C1 x1(11) dx arcsinx C1 x2(12)secxtan xdxsecxC(13)cscxcot dxcscx C(14)sh x dxch xC(15)ch x dxsh xC例 41x3dx1x31C1C3 dx2x3 12xx25157C 2 x3 x C例 5xdxx2 dxx21C2 x251772dx4x411例 6x 3dx3C3x 3

7、 C3Cx34x13 x3三、不定积分的性质性质 1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和即 f ( x)g( x)dxf (x)dxg(x)dx这是因为 , f ( x)dxg(x)dxf (x)dxg( x)dxf( x) g(x).性质 2求不定积分时被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来即kf ( x)dxkf (x)dx (k 是常数 k 0)例 7.x(x2515)dx(x 25x 2 )dx5151x 2 dx5x2 dxx2 dx5 x2 dx732 x 252 x2C73(x 1)332例 8dxx3x3x1dx(x3312 )dx22xxxxxdx3 dx31d

8、x11x23x3 ln |x|1 Cxx2 dx2x例 9(ex 3cos x)dxexdx3 cos xdxex3sin x C例 102 xexdx(2e) xdx(2e)xC2x exCln(2e)1ln 2例 111 x x2 dxx (1 x2 )dx( 11)dxx(1x2 )x(1x2)1x2x111 dxarctanxln |xCx2 dxx|例 12x4 2 dxx4 12 1dx( x2 1)( x221) 1dx1x1x1x(x2112 )dxx2dxdx1 2 dx1 x1x1 x3xarctan xC3例 13tan2 xdx(sec2 x1)dxsec2 xdxdx

9、tan xxC例 14sin2 xdx1cos xdx1(1cos x)dx2221 (xsin x)C2例 151dx 41dx4 cot xC2 xsin2 xsin 2 x2cos2§4 2换元积分法一、第一类换元法设 f(u)有原函数F(u)u(x)且(x)可微那么根据复合函数微分法有d F(x) d F(u) F (u)d uF (x) d (x)F (x) (x)d x所以F (x)(x)dxF (x) d (x)F (u) d ud F(u) d F(x) 因此F ( x)(x)dxF (x)d(x)F (u)dudF (u)dF ( x)F (x)C即f (x) (x

10、)dxf ( x)d(x)f (u)duu(x)F(u)C u(x)F(x)C定理 1设 f(u) 具有原函数u(x)可导 则有换元公式f ( x)(x)dxf (x)d(x)f (u)duF (u)CF (x)C被积表达式中的dx可当作变量 x 的微分来对待从而微分等式(x)dxdu 可以应用到被积表达式中在求积分g( x)dx 时如果函数 g( x)可以化为 g(x)f(x)( x)的形式那么g( x)dxf ( x)(x)dx f (u)duu ( x)例 1.2 cos2xdxcos2x (2x) dxcos2xd(2x)cosudusin u C sin 2x C例 2.31dx11

11、(32 x) dx11d (32x)2x2 32 x232 x11 dx1 ln |u |C1 ln |32x|C2u22例 3.2xex2dxex2( x2 ) dxex2d (x2)euduux2CeC e例 4.x 1 x2 dx 11 x2 (x2) dx 11 x2 dx2221311 x2 d (1 x2)1 u 2 du1 u 2 C22331 (1 x2)2 C3例 5.tan xdxsin x dx1d cosxcosxcos x1 duln |u |Culn|cos x| C即tanx d xxCln |c o s|类似地可得cot xdxln |sin x| C熟练之后变

12、量代换就不必再写出了例 6.111dxa 2x2 dxa2(x)21a11d x1 arctan xCa1 ( x )2aaaa即1dx1xa2x2aa r c t a n Ca例 7.ch xdx a ch xd xa sh xCaaaa例 8.当 a0 时 ,1 1dxa2x2a1即dxa2x21 dx1 ( x )2aa r c s ixn C a1dxx1 ( x )2a r c s i n Caaa例 9.x2 1 a 2 dx1( 11)dx1 1dx1dx2axaxa2axaxa1x1d (xa)1d( xa)2aaxa1 ln | xa|ln |x a | C1 ln | xa

13、 | C2a2a xa11x a即x2 a2 dx2a ln | x a| C例10.dxd ln x1d (12ln x)x(1 2ln x)1 2 ln x212ln x1 ln |1 2ln x| C2例 11.e3 x dx 2 e3x dx2e3 xd 3 xx32 e3xC3含三角函数的积分例 12.sin3 xdx sin2 x sin xdx(1 cos2 x)d cosxd cosx cos2 xd cosxcosx 1 cos3 x C3例 13.sin 2 xcos5 xdx sin 2 xcos4 xd sin xsin 2 x(1sin 2 x)2 d sin x(s

14、in2 x2sin 4xsin 6 x)d sin x13 sin3 x25 sin5 x17 sin7xC例14.cos2 xdx1 cos2xdx1 ( dxcos2 xdx)2 21dx1cos2xd2x1 x1 sin 2 xC2424例 15.cos4 xdx(cos2 x)2 dx1(1cos2x)2dx21(12 cos2xcos2 2x)dx41( 32cos2x1 cos4x)dx4221 ( 3 xsin2x1 sin4x)C4283 x1 sin 2x1 sin 4xC8432例 16.cos3xcos2xdx1 (cos x cos5x)dx21 sin x1 sin

15、5x C210例 17.cscxdx1dx1dxsin x2sinxcosx22d xd tan xln |tan x |x22C ln |csc xcot x | Ctan2 xtanx22cos22即c s cx d xln |csc xcot x |C例 18.secxdxcsc(x2)dxln |csc(x)cot( x) | C22ln |sec xtan x |C即s e cx d xln |sec xtan x |C二、第二类换元法定理 2设 x(t)是单调的、可导的函数并且(t) 0又设 f (t)(t)具有原函数F(t)则有换元公式f (x)dxf (t)(t)dtF (t)

16、 F 1 (x) C其中 t(x)是 x (t)的反函数这是因为 F1( x) F (t) dtf (t)(t)1f (t )f (x)dxdxdt例19.求a2x2 dx (a>0)解 : 设 xa sin t2t那么a2x2a2a2 sin2 t a cost2dx a cos t d t于是a2x2 dxacost acostdta2cos2 tdta2( 1 t21 sin 2t)4C因为xxa2 x2t arcsin,sin2t2sint cost2 aa所以a2x2dx21t1sin2t) Ca2x 1xa22aa (24arcsina 2x C2解 : 设 x a sin

17、t2t2那么a2x2 dxacost acostdta222(1t1sin 2t) Ca2x 1xa22cos tdt a24arcsina 2x C2提示 :a2x2a2a2 sin2 ta costdx acos tdt提示 :tarcsin x ,sin2t2sint cost2 xa2 x2aaa例 20.求dx(a>0)2a2x解法一设 x a tan tt那么22x2 a 2a2a2 tan2 ta 1tan2 ta sec t dx a sec 2t d t 于是dxa2a sec2 tdtsectdtln |sec ttan t |Cx2asect因为 sectx2 a2

18、tantx所以aadxln |sec ttan t | Cln( xx2a2) Cln( xx2 a 2 ) C1x2a2aa其中 C1C ln a解法一设 xa tan tt那么22dxasec2 t dtsectdtln|sect tant| Cx2 a2a sectln( xx2 a2) C ln( x x2 a2 ) C1aa其中 C 1 C ln a提示 :x2a2a2a2 tan2 tasectdx a sec 2t dt提示 : sectx2a2tantxaa解法二 : 设 x a sh t那么dxa2ach t dtdt tCarsh xCx2ach talnx( x) 2 1

19、Cln(xx2 a 2 ) C1aa其中 C 1 C ln a提示 :x2a 2a2sh2ta 2a ch tdxa ch t d t例23.求dx(a>0)2a2x解 : 当 x>a 时设 x a sec t (0 t) 那么2x2 a2a 2 sec2 t a 2a sec2 t 1 a tan t于是dxasect tant dt sectdtln |sec ttan t |Cx2a2a tant因为 tantx2 a2sectx 所以aaxdxln |sec ttan t | C ln| xx2a2| Cln( xx2 a2 ) C12a2aa其中 C 1 C ln a当

20、x<a 时 令 x u 则 u>a 于是dxduln(u22Cx2 a2u2a2ua )ln( xx2a 2 ) Cln( xx2 a2 ) C1ln xx2a2Cln( x x2 a2 ) Ca21其中 C 1 C 2ln a综合起来有dxln| xx2a2 | Cx2a2解 : 当 x>a时设 xa sec t ( 0t2)那么dxa sect tant dtsect d tx2a2a tantln |s e tc t a nt|xx2a2) CC l n (aal n x(x2a 2 )C其中 C 1 C ln a当 x<a 时 令 x u则 u>a于是dx

21、dua2ln(uu2a2 )Cx2a2u2ln( x2a2)Clnxx2 a2xa2Cln(xx2a2 )C1其中 C 1 C 2ln a提示 : x2a2a2 sec2 ta2asec2 t1atant提示 : tantx2a2xasecta综合起来有dxln| xx2 a2 | Cx2a2补充公式(16)tan xdxln |cos x| Ccot xdxln |sin x| C(18) secxdx ln |secx tan x| C(19) cscxdx ln |cscx cot x| C(20)a21x2dx1 arctan xCaa(21)x212 dx1 ln | xa |Ca2

22、axa(22)1dxarcsinxCa2x2a(23)dxln(xx2a2 )Cx2a2(24)dxln |xx2a2|Cx2a2§4 3分部积分法设函数 u u(x)及 v v(x)具有连续导数那么两个函数乘积的导数公式为(uv)u v uv移项得uv(uv)u v对这个等式两边求不定积分得uv dxuvu vdx或udvuvvdu这个公式称为分部积分公式分部积分过程:uv dxudv uvvduuvu vdx例 1xcosxdxxd sin xxsin xsin xdxx sin x cos x C例 2xexdxxdexxexexdx xexexC例 3x2exdx x2dex

23、x2exexdx2x2 ex2xexdxx2ex2 xdexx2ex 2xex 2 exdx2 xxxCx22x 2 )Cx e2xe2ee (x例 4xln xdx1 ln xdx21 x2 ln x1x21 dx222x1 x2 ln x1xdx1 x2 ln x1 x2C2224例 5 arccosxdx x arccosxxd arccosxxarccosxx1x2 dx11x2 )1x2)1 x2 Cxarccosx(12d (1xarccosx2例 6xarctanxdx1arctanxdx21x2arctanx1x21dx2221 x21 x2 arctanx1(11)dx221

24、 x21 x2 arctan x1 x1 arctanxC222例 7求 ex sin xdx解 因为 exsin xdxsin xdexex sin xexd sin xex sin xex cos xdxex sin xcos xdexex sin xex cosxexd cos xex sin xex cosxexd cos xex sin xex cos xex sin xdx所以ex sin xdx 1 ex(sin xcosx)C2例 8 求sec3 xdx解 因为sec3 xdxsecx sec2 xdxsecxd tan xsecxtan xsecx tan2 xdxsecx

25、tanxsecx(sec2 x 1)dxsecxtan xsec3 xdxsecxdxsecx tan xln |secxtan x|sec3 xdx所以sec3 xdx例 9 求 I n(x2解I 1dxx2 a21(secxtan xln |secxtan x|)Cdx其中 n 为正整数a 2)n1 arctan x Caa当 n 1 时，用分部积分法有dxx2(n 1)x2n dx22)n122)n 122)( x a( xa( x ax1) (x21a2(x2a2)n 12(na2) n 1(x2a2)n dx即I n 1(x 2x2( n1)(I n 1a 2 I n )a 2 ) n1于是I n1x(2n3)I n 12a2 (n(x2a 2) n 11)以此作为递推公式并由 I11 arctan xC 即可得 I naa例 10 求 e xdx解 令 xt 2则dx 2tdt于e x dx2 tetdt2et (t 1)C2e x(x 1)Ce x dx e x d( x) 2 2 xe xd x2xde x2xe x2 e xdx2xe x 2e x C 2e x ( x 1) C第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑