关于求数列的通项公式方法

1、编号瘙什解翁哮盹学士学位论文关于求数列的通项公式方出学生姓名：学 号：系 部： 数学系专 业： 数学与应用数学年 级：指导教师：副教授完成日期：2014年5月日摘要数列是高考中的重点内容之一，在很多与数学有关的内容中都可以接触到， 而作为给出数列的一种形式一通项公式，在求数列问题中尤其重要正数列的通 项公式是近年高考的热点问题，这类问题具有灵活多变，综合性强的特点.为使 学牛较好的掌握这类问题的解题方法，同学们结合自己的教学实践，积累了数列 通项公式的几种常用方法，并在教学实践中会取得较好的成功在学习数列时， 如果我们把一个数列的各项之间的内在规律搞清楚，那么我们就能抓住最重要的 信息来把握整

2、个数列木论文先提出数列，数列的通项公式，等差数列，等比数 列的定义，然后举一些具体的例子，进一步叙述等差数列，等比数列的通项公式 以及求数列的通项公式的常见方法.关键词:数列；通项公式；项；求法；系数；待定摘要i目录ii引言11.基本概念21.1等差数列的通项公式21.2等比数列的通项公式32求数列通项公式的常见方法32. 1观察法32.2定义法42.3公式法52.4待定系数法52. 5换元数62.6取倒数法82. 7累加法92.8累乘法102.9分类法112. 10归纳，猜想法12总结14参考文献15致谢16引言数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的-种重要方法数列通 项公式具备两大

3、功能，第一，可以通过数列通项公式求岀数列中任意一项；第 二，可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题. 数列是现行高中数学教材中的重要内容.由数列递推公式求数列通项公式的解 题方法是数学中针对性较强的一种数学解题方法是培养学生思维深刻性的极好 的范例数列的通项公式揭示了项与项序号的关系掌握此规律有助于学生理解 数列的概念以及数列与函数的关系，加强学生对知识的横向联系，促进学生对 知识进一步掌握；有利于培养学生的创造力，观察力和思维能力，提高学生学 习教学的兴趣数列是高一数学教与重点和难点，求数列通项公式是“数列” 一 章研究的主要问题，在求数列通项公式是，因为-般数列没有

4、统一的通项公式, 同学们常因不得解题要领而束手无刺这是中学数学教学的一大难点，还需要我 们去进一步的研究.1基本概念定义1:按一定次序排列的一列数叫做数列数列中的每一个数都叫做这个数 列的项.数列的一般形式可以写成4 ,色，他，q”，简记作陽，其中g”是数列 的第项.定义2:如果数列色的第”项与项数间的关系可以用一个公式来表 示，那么这个公式就叫做数列的通项公式.定义3：如果一个数列，从第二项起，每一项减去它前一项所得的差都等于 一个常数，这个数列就叫做等差数列这个常数叫做这个等差数列的公差，通常 用字母d表示.定义4：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常 数，这个数列就

5、叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q来表示.数列不仅有着广泛的实际应用，而口它与中学数学的许多内容有着密切联 系所以掌握数列的通项公式的求法，有助于学生理解数列的概念以及数列与函 数关系，有利于培养学生的创造力，观察力和思维能力，提高学生学习数学的兴 趣.下面探求等差数列和等比数列的通项公式以及求数列通项公式的几种常见方 法.1.1等差数列的通项公式根据等差数列的定义，对于公差为的等差数列坷卫2，。3，有勺=q + da3 = a2 +d = （a】 +d） + d = ax + 2d他=色 + d =（q + 2d） + d = q + 3d依次类推，就可以得到等差数

6、列的通项公式：q=q+s-l)d12等比数列的通项公式对于公比为q的等比数列%,有。2 =。旳2a3 = a2q = (cqq)q = a、qa4 = a3q = (aq2)q = a 才依次类推，就得到等比数列的通项公式a尸叩“.2求数列通项公式的常见方法2.1观察法观察各项的特点，观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部 分与不变化部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律 写岀通项公式，关键是找出各项与项数之间的关系.例1：写岀下列数列的通项公式：(1) 0,3 , 8 , 15, (2) 2-3 , -3-4 ,4-5, -5-6，(3) 1,-1,1,-1

7、,1,-1,.1解：(1)原数列可以写成1-1,4-1 ,9-1 ,16-1 ,既可以写成 ft, 22 -1,32 -1,42 -1，-故其通项公式为afl=n2-l(2) 原数列可以写成(-1厂(1 + 1)(1 + 2)，(-1 尸(2 + 1)(2 + 2),(-1厂(3 + 1)(3 + 2),(-1严(4 + 1)(4 + 2), 故此数列的通项公式为an = (_1)"+】(力+1)(/1 + 2)(3) 因为可看出各项的符号，是一正一页，所以原数列可改写为(一1尸， (-1)3 , (-1(-1几把它可以写成(-1)3, (-1)2+, (-1产，(-1)3,故此数列

8、的一个通项公式为色=(-1)"“2. 2定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项公式的方法叫做定义法.例2：己知等差数列色的等5项是0,第10项是10,求它的通项公式.2fo = di+(5_l)d解：设首项为q,公差为d,则有、10 = q|+(10_l)d解得 e = -8 , d = 2因此数列的通项公式为：色=-8(兀-1)2二210例3：已知数列仏为等比数列，為5=32 ,他+為=18,且公比§>1， 求通项公式a”a.q2, a.q1 =32解：设首项为，公比为9,则8aq + a" = 1 8由§>1,及解方程组，得q=l

9、, q = 4i所以通项公式为=(v2p'2. 3公式法若已知数列的前«项和s”与q”的关系，求数列%的通项色可用例4：已知数列&的前斤项和£=(-1)5 求数列匕的通项公式3 解：当 n = l 时，atl = sj = 1当 /i n 2 吋，an sfj sn_ = ( l)n+1 - n ( l)n (71 1)(_1)"(一2 + 1)= (-l)n+1(2n-l)由于斤=时，an =(-l),+1(2n-l) = l所以 =(-ir+,(2n-l)例5：已知s=2n2+/7 + 3 ,求数列&的通项公式.3解：当你 n = 1

10、时，cin = s =2 + 14-3 = 6当农2 吋，an = sn -sn_ =(2才+3)2(一l)2+(一1)+3二物一1由于当 n = 吋，an =4h-1 = 366,71 = 1所以注一 1, n>22. 4待定系数法有给定条件通项公式中的待定系数，这种法称为待定系数法.例6：在等比数列色中，勺=1&。4=8，求通项公式5 7解：因为等比数列的通项公式为二4产=18将已知02=18,4=8代入得："g广二82 解此方程组，得.=±27，q = ±-/ °、t/ °、川tq=q广丄(±27)x ±

11、-=(±l)”x27x -例7：已知数列&满足陥严2d”+3x5”w=6,求数列色的通项公式.解：设色+兀5曲=2(色+兀5)将色小=2% + 35"代入式,得2+35"+”5刈=绍+2兀5"等成两边消去2陽，得35"+兀5"+i =2兀5"两边除以5",得3 + 5兀=2兀，则x=-l代入式，得色+厂5曲二2(色5”)_斥打+1由q_5】=6-5=lh0则 曲=2，子数列色-5是以坷一5"=1为首项，以2 an 5为公比等比数列，则陽一5“=2"_ 故 =2心+52. 5换元数当给岀递

12、推关系求时，主耍掌握通过引进辅助数列能转化为等差数或等 比数列的形式.例8：已知数列&的递推关系为色+严2%+1,且°严1,求通项公式色4解: = 2a” +1 +1 = 2（陽 +1） 令 bn = an 4- 1"”+i _ d”+i + 1 _ 2bn g+l则辅助数列&是公差为2的等比数列/. btj =即 +l = （q+l）qz=22z/.an=2n-l例9：已知数列%满足色+严丄（1 + 4色+ 24陽）,绚=1,求数列色 1o的通项公式.解：令如j1+2他,则色=£（肘一1）故=£仇7-1），代入%二召1+电+2包）劣1o

13、得 £©_1）=£1+4><£©2-1）+如即 4v =4+3）2因为汗j1 + 24色,故仇+严j1 + 24% 2 0|3则2乞+|=4+3 , 即如=尹勺可化为如-3冷©_3）所以仏厂3是-3=71+24/.-3=4+24-3=2为首项，以丄为公比的等 比数列./ 、心 / 丫-2因此，63 = 2 -=-"丿 7）丫-2则 bt = -+3、厶)/ | 丫_2即 j1 + 24色=-+3"丿2“ 丫a =3(4丿(2丿1+3'26取倒数法数列有形如/（色，"”） = 0的关系，

14、可在等式两边同乘以- anan-1 先求出,再求色.例 10：已知 q=l,色+i =，求8+31 31解：由已知可得丄=+1令-=btl,%色则 纭严3仇+1然后用等定系数法求解，可得：b产口2ci ” 3'1例11:已知数列色中=且当心时，呎春'求通项公式解：将a产严一 两边取倒数得：丄-=2 , 2%+1cln %即色是以丄=1为首项公式差为2的等差数列.即= l + (-l)x2 = 2/i-l5所以2. 7累力口法递推公式为an+i = an + /（n）,其中/（!） + /（2）+/（防 的和比较易求, 通常解法是把原递推公式转化为atl+i-an=f（n）f利用

15、累加法（逐差相加法） 求解.解：由已知得时例 12：已知数列色中，an =1 , an = an_ +1,求 an .5以上式子累加，利用!二丄一丄得/? (/? + 1) n n + 11 1 1 111cln clk 1112x3(n -2)(n-l) (n - l)/i nn + )2 n +1例13：已知数列仏满足 务=d”+2x3"+l , q=3,求数列的通项公式.解：由 q汁=q】+2x3"+l 得：an+l -an = 2x3n +b则an =（色一色-1）+（色-1 一色-2）+ +（冬一。2）+（。2 一坷）+ 坷= (2x3'+1) + (2x

16、32+1)+ +(2x32 + 1) + (2x3+1) + 1=2(3门+3"一2+ +32+3) + (/i-1) + 3=23(1-3心)1-3+ (一1) + 3=3"3 + 比一1 + 3二3" + 兄一1cin =3" + m _ 128累乘法推公式为all+i=anf(n).解法：把原递推公式转化为 如=/()，利用累乘法求解.%例14：已知数列色中，坷=3 , %=2(/i+l)5"xq,求数列色的通项公式.解：因为。卄=2(m + 1)5"x£ , a=3所以色h0,则也= 2(+ 1)55故组生生q=2(

17、 1 + 1)5w_, 2(h - 2 4- 1)5"一2 .2(2 + 1)522(1 + l)5'x 3=2,_1 /!(&_ 1) 3x 2x5(w",)+(,i_2)+ +2+, x 3"(n -1)=3x2,_, x5 f x/i!川("一 1)/. an = 3x2,z_1 x5 2 x ai!例15 ：已知数列色中，a，前农项和s”与色的关系是sn=n(2n-l)an ,求通项公式%解：由 sn =n(2n-l)an 得 為=(一1)(2几一3)%两式相减得:(2+%严(23)%an _ 2/1-3% 2/?+1 an- _

18、 2/t-5 a2 _ 1 '' an-2 2n-5将上面“-1个等式相乘得：乞=(2"一3)(2"-5)(2“-7”31 =3 a(in +1)(2/?- l)(2/i 一 3) 7 5 (2川 +1)(2 一 1)3h " (2/? +1)(2/? -1)29分类法数列&可以分成两类，一类是由奇数项组成的数列仏心；d , q3，°2?-1，八另一类是由偶数项组成的数列m；色，坷，吆，如果上述两个数列的通项公式可以求出，h分别为；仇l=f(01 = 1, 2, 3,) 險二g()5 = 1 ,2,3,)例16:在数列陽中,若 4

19、=1 且 an+i + an - n , 0 = 1,2,3，)求数列的通项公式.2解：+/=由和得an+ = 1 + an_n为奇数时,an - a2k_利用公式得：k = 2吋，m = 3 ,色+色_=斤一1陽=1 + d“_2(k > 2 )即如=1 + d| = 1 + 1 = 2；k = 3 时，n = 5 、 即 a5 = 1 + a3 =1 + 2 = 3;£ = 4 吋，n = 7 , 即 。7=1 +。5 =1 + 3 = 4;由此可知 an =k 又an = a2kn = 2k-if h + 1k=2.n +1 an -吆_1 = k =n为偶数时，an -

20、a2k(k>2)有公式得：色=(2-l)-q =0利用公式得：£ = 2吋，n =4,即ci = 1 + 偽=1 + 0 +1 ；£ = 3 时，n =6,即兔=1 + 匂=1 + 1 = 2；£ = 4 时，n =：8,即遍=1+% =1 + 2 = 3;由此可知an=k-lrj乂 ，：cln =cl2k 即 n=，k=-an =鸟_1=勺_1因此数列色得通项公式为："为奇数(=1, 2, 3,)“为偶数(77=1, 2,3, )210归纳，猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规 律，归纳才想出数列的通项公式，然

21、后再用数学归纳法证明之.摩士摩保枪夂bachelor 's thesis例17：在数列q中，q=2 , %=；-叫+ 1,求通项公式an .解：坷=2 , an+l = c£ 一叫+1由 l_l 知 nr lls 色=2 ,冬4 ,為=5猜想：an=n+总结本交讨论了关于求数列的通项公式的几种常见方法，这些方法我们可以按需 要选用，但这些方法不一定适合数列的所有类型，除了我着重讨论的这些方法之 为，还有别的求数通项公式的方法，需要我们的研究.可以看到求数列通项公式 的确具有很强的技巧性，与我们所学的基本知识与技能，基本思想与方法有很犬 关系，因而在平日教育学的过程中，既有加强基本知识，基本方法，基本职能和 基本思想的学习，又要注意培养和提高数学素质与能力和创新精神.这就要求无 论教师还是学生都必须提高课堂的教育学的效率这里要得说明数列的通项公式 不只是一个，一个数列可能有多个通项公式.