六大基本初等函数图像及其性质

1、1 / 13 六大根本初等函数图像与其性质一、常值函数也称常数函数 y =c 其中 c 为常数；常数函数cy0c0c平行于 x 轴的直线y 轴本身定义域 r定义域 r二、幂函数xy，x是自变量，是常数；1. 幂函数的图像：2. 幂函数的性质；性质函数xy2xy3xy21xy1xy定义域r r r 0,+ ) x|x 0 值域r 0,+ ) r 0,+ ) y|y 0 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增0,+ ) 增增增(0,+ ) 减(- ,0 减(- ,0) 减公共点1,1 x y o xy2xy21xy1xy3xyo 0yx cyo x y y 2 / 13 1当为正整数时，函数的定义域为区间

2、为),(x，他们的图形都经过原点，并当1 时在原点处与x 轴相切。且为奇数时，图形关于原点对称；为偶数时图形关于y 轴对称；2当为负整数时。函数的定义域为除去x=0 的所有实数；3当为正有理数nm时， n 为偶数时函数的定义域为0, + ， n 为奇数时函数的定义域为-,+ ，函数的图形均经过原点和1 ,1 ；4如果 mn图形于 x 轴相切，如果mn,图形于 y 轴相切，且m为偶数时，还跟y 轴对称； m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5当为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 以外的一切实数。三、指数函数xay(x是自变量 ,a是常数且

3、0a，1a)，定义域是 r ； 无界函数 1. 指数函数的图象：2. 指数函数的性质；性质函数xay)1(axay)10(a定义域r 值域(0 ，+) 奇偶性非奇非偶公共点过点(0，1) ，即0 x时，1y单调性在），（是增函数在），（是减函数1 当1a时 函 数 为 单 调 增 , 当10a时 函 数 为 单 调 减 ；2 不 管x为 何 值 ,y总 是 正 的 , 图 形 在x轴 上 方 ；3 当0 x时 ,1y, 所 以 它 的 图 形 通 过 (0,1)点 。1yo (0,1) x y xay)10(ax xay)1(a1yo (0,1) y 3 / 13 3. 选，补充指数函数值的大

4、小比拟*na；a. 底数互为倒数的两个指数函数xaxf)(，xaxf1)(的函数图像关于y 轴对称。1a时，a 值越大，xay的图像越靠近 y 轴；10a时，a值越大，xay的图像越远离 y 轴。4. 指数的运算法那么公式；a. 整数指数幂的运算性质),0(qnma；(1) nmnmaaa(2) nmnmaaa(3) mnnmnmaaa(4) nnnbaabb. 根式的性质；(1)aann； (2) 当 n 为奇数时，aann当 n 为偶数时，)0(0)(aaaaaannc. 分数指数幂；(1)1,0(*nznmaaanmnm(2) 1,0(11*nznmaaaanmnmnmy xaxf)(x

5、axf1)(o (0,1) x x o (0,1) y xxf2)(xxh3)(o (0,1) y xxq21)(xxg31)(4 / 13 四、对数函数xyalog(a是常数且1,0 aa) ，定义域),0(x 无界 1. 对数的概念：如果 a(a 0，a1) 的 b 次幂等于 n，就是nab，那么数b 叫做以 a 为底 n的对数，记作bnalog, 其中 a 叫做对数的底数，n叫做真数，式子nalog叫做对数式。对数函数xyalog与指数函数xay互为反函数，所以xyalog的图象与xay的图象关于直线xy对称。2. 常用对数：n10log的对数叫做常用对数，为了简便，n的常用对数记作nl

6、g。3. 自然对数： 使用以无理数7182.2e为底的对数叫做自然对数，为了简便，n的自然对数nelog简记作nln。4. 对数函数的图象：5. 对数函数的性质；性质函数xyalog)1(axyalog)10(a定义域(0 ，+) 值域r 奇偶性非奇非偶公共点过点(1，0)，即1x时，0y单调性在(0,+ ) 上是增函数在(0,+ ) 上是减函数1对数函数的图形为于y 轴的右方，并过点(1,0) ；2当1a时，在区间 (0,1) ，y 的值为负，图形位于x 的下方；在区间(1, +) ，y 值为正，图形位于x 轴上方，在定义域是单调增函数。1a在实际中很少用到。y o x (1,0) 1xxy

7、alog) 1(ao x (1,0) y 1xxyalog) 10(a5 / 13 6. 选，补充对数函数值的大小比拟*na；a. 底数互为倒数的两个对数函数xyalog，xya1log的函数图像关于x 轴对称。b.1. 当1a时， a 值越大，xxfalog)(的图像越靠近x 轴；b.2. 当)10(a时， a 值越大，xxfalog)(的图像越远离x 轴。7. 对数的运算法那么公式；a. 如果 a 0，a1，m 0，n0，那么：nmmnaaalogloglognmnmaaalogloglogmnmanaloglogb. 对数恒等式：nanalog)010(naa，且c. 换底公式：(1)b

8、nnaablogloglog1,0 aa，一般常常换为e或 10为底的对数 , 即bnnblnlnlog或bnnblglglog(2) 由公式和运算性质推倒的结论：bmnbananloglogd. 对数运算性质(1)1的对数是零，即01loga；同理01ln或01lg(2) 底数的对数等于1，即1log aa；同理1ln e或110lgy o x (1,0) xyalogxya1logy o x (1,0) xxf2log)(xxf3log)(y o x (1,0) xxf21log)(xxf31log)(6 / 13 五、三角函数1. 正弦函数xysin, 有界函数，定义域),(x，值域 1

9、,1y图象：五点作图法：0，2，23，22. 余弦函数xycos，有界函数，定义域),(x，值域 1, 1y图象：五点作图法：0，2，23，23. 正、余弦函数的性质；性质函数xysin)(zkxycos)(zk定义域r 值域-1,1 -1,1 奇偶性奇函数偶函数周期性2t2t对称中心)0,(k)0 ,2(k对称轴2kxkx单调性在22,22kkx上是增函数在232,22kkx上是减函数在kkx2,2上是增函数在kkx2,2上是减函数最值22kx时，1maxy22kx时，1minykx2时，1maxykx2时，1miny7 / 13 4. 正切函数xytan，无界函数，定义域)( ,2zkkx

10、x，值域),(yxytan的图像5. 余切函数xycot，无界函数，定义域zkkxx,),(yxycot的图像6. 正、余切函数的性质；性质函数xytan)(zkxycot)(zk定义域2kxkx值域rr奇偶性奇函数奇函数周期性tt单调性在)2,2(kk上都是增函数在)1( ,(kk上都是减函数对称中心)0,2(k)0,2(k零点)0 ,(k)0,2(k2o 2322532232253y x 2o 23225223225y x 8 / 13 7. 正割函数xysec，无界函数，定义域)(,2zkkxx，值域1secx8. 余割函数xxysin1csc，无界函数，定义域)( ,zkkxx，值域1

11、cscx9. 正、余割函数的性质；性质函数xysec)(zkxycsc)(zk定义域kxx2kxx值域), 11(，), 1 1(，奇偶性偶函数奇函数周期性2t2t单调性)232,2()2,22(kkkk减)2,22()22 ,2(kkkk增)22 ,232()22,2(kkkk减)232,2()2,22(kkkk增2o 232252232253y x -1 1 2o 232252232253y x -1 1 xysec的图像xycsc的图像9 / 13 续表：性质函数xysec)(zkxycsc)(zk对称中心)0 ,2(k)0,(k对称轴kxkx2渐近线kx2kx六、反三角函数1. 反正弦

12、函数xyarcsin，无界函数，定义域-1,1，值域,0a.反正弦函数的概念：正弦函数xysin在区间2,2上的反函数称为反正弦函数，记为xyarcsin2. 反余弦弦函数xyarccos，无界函数，定义域-1,1，值域,0b. 反余弦函数的概念：余弦函数xycos在区间,0上的反函数称为反余弦函数，记为xyarccosxyarcsin的图像xyarccos的图像3. 反正、余弦函数的性质；性质函数xyarcsinxyarccos定义域-1,1 -1,1 值域,0,0奇偶性奇函数非奇非偶函数单调性增函数减函数o x y 1 -1 22o x y 1 -1 210 / 13 4. 反正切函数xy

13、arctan，有界函数，定义域),(x, 值域2,2c.反正切函数的概念：正切函数xytan在区间2,2上的反函数称为反正切函数，记为xyarctan5. 反余切函数xarcycot，有界函数，定义域),(x, 值域,0d. 反余切函数的概念：余切函数xycot在区间, 0上的反函数称为反余切函数，记为xarcycotxyarctan的图像xarcycot的图像6. 反正、余弦函数的性质；函数性质xyarctanxarcycot定义域r 值域2,2,0奇偶性奇函数非奇非偶单调性增函数减函数x y o 22x y o 211 / 13 三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角的终边上任取一点),

14、(yxp，记：22yxr。正弦：rysin余弦：rxcos正切：xytan余切：yxcot正割：xrsec余割：yrcsc二、同角三角函数的根本关系式倒数关系：1cscsin，1seccos，1cottan商数关系：cossintan，sincoscot平方关系：1cossin22，22sectan1，22csccot1三、诱导公式x轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限；y轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。四、和角公式和差角公式sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(tantan1tanta

15、n)tan(tantan1tantan)tan(五、二倍角公式cossin22sin2tan1tan22tan2222sin211cos2sincos2cos二倍角的余弦公式常用变形：规律：降幂扩角，升幂缩角2cos22cos12sin22cos12)cos(sin2sin12)cos(sin2sin112 / 13 22cos1cos2，22sin1sin2，2cos12sin2sin2cos1tan六、三倍角公式)3sin()3sin(sin4sin4sin33sin3)3cos()3cos(cos4cos3cos43cos3)3tan()3tan(tantan31tantan33tan23七、和差化积公式2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos八、辅助角公式)sin(cossin