与三角形有关的存在性问题

1、1 中考数学专题: 存在性问题考点（1）与三角形有关的存在性问题一、考点扫描：存在性问题是近年来全国各地中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强， 题型构思精巧， 解题方法灵活， 对考生分析问题和解决问题的能力要求较高，其特点是在一定条件下探究发现某些数学结论和规律是否存在，由于结论有存在和不存在两种可能，所以具有开放性。 求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系和结论存在，再经过分析、 归纳、演算、推理、找出最后的答案。二、典型例题：（2008 年山东临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于 a（ 1，0） 、b（3，0）两点，与y 轴交于点 c（0，3） 。求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为d

2、，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点p，使得 pdc 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 p的坐标 ;若不存在，请说明理由; 若点 m 是抛物线上一点，以b、c、d、m 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点m 的坐标。友情提示：问题（ 1）易求，在问题（2）中，假设存在点p、使得 pdc 是等腰三角形，由于没有说明哪两条边相等，所以应分成cd 为一腰和cd 为以边两种情况进行讨论，而解决问题（ 3）时应抓住b、 c、d 三点为固定点，分别考虑以bc、cd、bd 分别为梯形一底时的情况，注意要按照顺序依次讨论，以做到不重复和不遗漏。26抛物线与y 轴交于点 c（0，3） ，设抛物线解析式为)

3、0(32abxaxy1 分根据题意，得,0339,03baba，解得.2,1ba抛物线的解析式为322xxy2 分存在。3 分由322xxy得， d 点坐标为（ 1，4） ，对称轴为x1。 4 分若以 cd 为底边，则pd pc，设 p点坐标为 (x,y)，根据勾股定理，得2222)4()1()3(yxyx，即 y4x。5 分又 p 点(x,y)在抛物线上，3242xxx，即0132xx 6 分解得253x，1253，应舍去。253x。7 分第 26 题图xyampdobc2 2554xy，即点 p 坐标为255,253。8 分若以 cd 为一腰，因为点p 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称

4、性知，点p 与点 c关于直线x1 对称，此时点p 坐标为（ 2，3） 。符合条件的点p坐标为255,253或（ 2，3） 。9 分由 b（3， 0） ，c（0，3） ，d（1，4） ，根据勾股定理, 得 cb23,cd2,bd52,10 分20222bdcdcb, bcd90,11 分设对称轴交x 轴于点 e，过 c 作 cm de，交抛物线于点m，垂足为f，在 rtdcf 中，cfdf 1, cdf45, 由抛物线对称性可知，cdm 245 90,点坐标 m 为（ 2，3） ，dm bc, 四边形 bcdm 为直角梯形 , 12 分由 bcd90及题意可知，以 bc 为一底时，顶点m 在抛物

5、线上的直角梯形只有上述一种情况; 以 cd 为一底或以bd 为一底，且顶点m 在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点m 的坐标为（ 2，3） 。13 分温馨小贴士：存在性问题探究的结果有两种：一种是存在，一种是不存在。在解决这类题目时的一般思路是：假设存在推理论证得出结论。即首先猜想或者假设问题的某种关系和结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理，如果得出的结论和关系与已知条件和某个定理，公理等相符，则表明原来猜想或者假设问题的某种关系存在或结论存在，如果得出的结论和关系与已知条件和某个定理，公理等相矛盾，则表明原来猜想或者假设问题的某种关系存在或结论不存在，e xyampdobc

6、f 3 三、名题精练：1、 （ 2007 福建龙岩）（14 分）如图，抛物线254yaxax经过abc的三个顶点，已知bcx轴，点a在x轴上，点c在y轴上，且acbc（1）求抛物线的对称轴；（2）写出 abc，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点p是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在pab是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点p坐标；不存在，请说明理由解： （1）抛物线的对称轴5522axa（2）(3 0)a，( 5 4 )b，( 04 )c，把点a坐标代入254yaxax中，解得16a215466yxx（3）存在符合条件的点p共有 3 个以下分三类情形探索设抛物线对称轴

7、与x 轴交于 n ，与 c b 交于m过点b作bqx轴于q，易得4bq，8aq，5.5an，52bm以ab为腰且顶角为角a的pab有 1 个：1p ab222228480abaqbq在1r tanp中，222221119980(5.5)2p napanaban1519922p，以ab为腰且顶角为角b的pab有 1 个：2p ab在2r tbm p中，222222252958042m pbpbmabbma c b y x 0 1 1 a c b x 0 1 1 2p1p3py 4 25829522p，以ab为底，顶角为角p的pab有 1 个，即3p ab画ab的垂直平分线交抛物线对称轴于3p，此

8、时平分线必过等腰abc的顶点 c 过点3p作3p k垂直y轴，垂足为k，显然3rtrtp ckbaq312p kbqc kaq32.5p k5ck于是1ok3(2.51)p，注：第（ 3）小题中，只写出点p的坐标，无任何说明者不得分2、 （ 2008 年海南）（本题满分14 分） 如图 13，已知抛物线经过原点o 和 x 轴上另一点a,它的对称轴x=2 与 x 轴交于点c，直线y=- 2x-1 经过抛物线上一点b(- 2, m) ，且与y轴、直线 x=2 分别交于点d、e. （1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证：cb=ce ；d 是 be 的中点；（3）若 p( x，y)是

9、该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点p, 使得 pb=pe, 若存在，试求出所有符合条件的点p 的坐标；若不存在，请说明理由. 解. （1）点 b(- 2, m)在直线 y=-2x- 1 上， m=- 2(- 2)- 1=3. b(- 2, 3) 抛物线经过原点o 和点 a，对称轴为x=2， 点 a 的坐标为 ( 4, 0) . a b c o d e xyx=2图 13 5 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a( x- 0)( x- 4). 将点 b(- 2, 3) 代入上式，得3=a(- 2- 0)(- 2- 4)，41a. 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41xxy，即xxy241

10、. （ 6 分）（2）直线y=- 2x- 1 与 y 轴、直线x=2 的交点坐标分别为d( 0,- 1) e( 2,- 5). 过点 b 作 bgx 轴，与 y 轴交于 f、直线 x=2 交于 g，则 bg直线 x=2， bg=4.在 rt bgc 中， bc=522bgcg. ce=5， cb=ce=5. 过点 e 作 ehx 轴，交 y 轴于 h，则点 h 的坐标为h( 0,- 5). 又点 f、d 的坐标为 f( 0, 3) 、d( 0,- 1) ， fd=dh =4，bf=eh=2， bfd=ehd=90. dfb dhe （ sas） ， bd=de. 即 d 是 be 的中点 .

11、（3）存在 . 由于 pb=pe，点 p 在直线 cd 上， 符合条件的点p 是直线 cd 与该抛物线的交点. 设直线 cd 对应的函数关系式为y=kx+b. 将 d( 0,- 1) c( 2, 0) 代入，得021bkb. 解得1,21bk. 直线 cd 对应的函数关系式为y=21x-1. 动点 p 的坐标为 ( x，xx241) ，21x-1=xx241. 解得531x，532x. 2511y，2511y. 符合条件的点p 的坐标为 (53，251) 或(53，251) 。( 注：用其它方法求解参照以上标准给分.)3、 （ 2010 年福建龙岩）在平面直角坐标系中，点a、b的坐标分别为（10，0） ， （2， 4）. （1）若点c是点b关于 x 轴的对称点，求经过o 、c、a三点的抛物线的解析式；（2）若p为抛物线上异于c的点，且oap是直角三角形，请直接写出点p的坐标；（3）若抛物线顶点为d，对称轴交x 轴于点m, 探究：抛物线对称轴上是否存在异于d的点q ，使aqd是等腰三角形，若存在，请求出点q的坐标；若不存在，请说明理由a b c o d e xyx=2g f