2022年阿氏圆

1、1 cobap母子型相似（共角共边）cabp中考数学压轴之阿氏圆模型专题训练阿氏圆 (阿波罗尼斯圆 ) ：已知平面上两定点c、b，则所有满足pckpb ( k 不等于 1)的点 p的轨迹是一个圆， 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。 在初中的题目中往往利用逆向思维构造斜 a型相似 (也叫母子型相似 )+ 两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。在几何画板上观察下面的图形，当p在在圆 a上运动时， pc 、pb的长在不断的发生变化，但pcpb的比值却始终保持不变。解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。如图，在 apb的边 ab上找一点 c ，使

2、得apacabap，则此时 apc abp 。那么如何应用 阿氏圆 的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目 : 例：已知 aob=90 ，ob=4,oa=6 ，c半径为 2，p为圆上一动点 . (1) 求12apbp的最小值为(2) 求13apbp的最小值为第（1）问解题基本步骤：构造opc obp, 则pcopockbpobop（相似比）分别连接圆心 o与系数不为 1 的线段 bp的两端点，即 op ，ob; 计算opob的值，则12opkob（半径圆心到定点的距离）计算 oc的长度，由ockop得：12ocop（相似比半径）连接 ac ，当 a、p、c三点共线时，12

3、apbpappcac计算 ac的长度即为最小值 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -2 yxocbapdcboapxyboap实战练习：1、已知 o半径为 1，ac 、bd为切线， ac=1 ，bd=2 ，p为弧 ab上一动点，试求22pcpd的最小值2、已知点 a（4，0） ，b（4，4） ，点 p在半径为 2 的o上运动，试求12ap

4、bp的最小值3、已知点 a(-3,0) ，b（0,3 ） ，c （1,0 ） ，若点 p为c上一动点，且 c与 y 轴相切，（1）14apbp的最小值 ; （2）pabsv的最小值 . 4、如图 1，在平面直角坐标系xoy 中，半 o交 x 轴与点 a、b(2,0) 两点，ad 、bc均为半 o的切线， ad=2 ，bc=7. (1) 求 od的长；（2）如图 2，若点 p是半 o上的动点， q为 od 的中点 . 连接 po 、pq. 求证： opq odp; 是否存在点 p，使2pdpc有最小值，若存在，试求出点p的坐标；若不存在，请说明理由 . 精品学习资料 可选择p d f - - -

5、 - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -3 5、 （1）如图 1，已知正方形 abc的边长为 4，圆 b 的半径为 2，点 p是圆 b 上的一个动点，求12pdpc的最小值和12pdpc的最大值 . (2) 如图 2，已知正方形 abcd 的边长为 9，圆 b的半径为 6，点 p是圆 b上的一个动点，那么23pdpc的最小值为；23pdpc的最大值为（3）如图 3，已知菱形 abcd 的

6、边长为 4，b=60，圆 b 的半径为 2. 点 p是圆 b上的一个动点. 那么12pdpc的最小值为；12pdpc的最大值为6、 （2016 年济南 28 题）如图1，抛物线 yax2(a 3)x3（a 0）与 x 轴交于点a（4，0） ，与y 轴交于点b，在 x 轴上有一动点e（ m，0） （0m4） ，过点 e 作 x 轴的垂线交直线ab 于点 n，交抛物线于点 p，过点 p 作 pmab 于点 m（ 1）求 a 的值和直线ab 的函数表达式；（ 2）设 pmn 的周长为c1， aen 的周长为c2，若12cc65，求 m 的値；（ 3）如图 2，在（ 2）的条件下，将线段oe 绕点 o

7、 逆时针旋转得到oe，旋转角为 (0 90 )，连接 e a、e b，求 e a23eb 的最小值第 28 题图 2 xymnpbaoee第 28 题图 1 xymnpbaoe精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -4 7、 （2017 年 遵义 27 题） 如图，抛物线y=ax2+bxab（a0，a、 b 为常数）与x 轴交于 a、c两点，与

8、y 轴交于 b点，直线 ab的函数关系式为y=89x +163（1）求该抛物线的函数关系式与c点坐标；（2）已知点m （m ，0）是线段oa上的一个动点，过点m作 x 轴的垂线l 分别与直线ab和抛物线交于d、e两点，当m为何值时， bde 恰好是以de为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下， 当bde恰好是以 de为底边的等腰三角形时，动点 m相应位置记为点m ，将 om 绕原点 o顺时针旋转得到on （旋转角在0到 90之间）；i ：探究：线段ob上是否存在定点p （ p不与 o、b重合） ，无论 on如何旋转，npnb始终保持不变，若存在，试求出 p点坐标；若不存在，请说明理由；ii ：试求出此旋转过程中，（na+34nb ）的最小值精品学习资料 可选择p d f -