概率论与数理统计浙大四版 第二章4讲

1、 3.正态分布 (normal distribution ) 正态分布是应用最正态分布是应用最广泛的一种连续型分布广泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高高斯加以推广，所以通常称为高斯分布斯分布. .德莫佛德莫佛 德莫佛最早发现了二项概德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式率的一个近似公式，这一公式被认为是被认为是正态分布的首次露面正态分布的首次露面. 平时，我们很少有人会去关心小球平时，我们很少有人会去关心小球下落位置的规律性，人们可能不相信下落位置的规律性，人们可能不相信它是有规律的。一旦试验次数增多并它是有规律的。一旦

2、试验次数增多并且注意观察的话，你就会发现，最后且注意观察的话，你就会发现，最后得出的竟是一条优美的曲线得出的竟是一条优美的曲线。高高尔尔顿顿钉钉板板试试验验这条曲线就近似我们将要介这条曲线就近似我们将要介绍的绍的正态分布正态分布的密度曲线。的密度曲线。正态分布的定义是什么呢？正态分布的定义是什么呢？对于连续型随机变量，一般是给出对于连续型随机变量，一般是给出它的它的概率密度函数概率密度函数。 一、正态分布的定义一、正态分布的定义 若若r.v x的的概率密度为概率密度为),(2nx记作记作 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线所确定的曲线叫作正态曲线.xexfx,)()(22221 其中其中 和和

3、 都是常数，都是常数， 任意，任意， 0，则称则称x服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. 22正态分布有些什么性质呢？正态分布有些什么性质呢？ 由于连续型随机变量唯一地由它由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点。分布的密度函数有什么特点。 二、正态分布二、正态分布 的图形特点的图形特点),(2n 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线. .特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. . 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，

4、决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2n 能不能根据密度函数的表达式，能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？得出正态分布的图形特点呢？xexfx,)()(22221 容易看到，容易看到，f(x)0即整个概率密度曲线都在即整个概率密度曲线都在x轴的上方轴的上方; ;故故f(x)以以为对称轴，并在为对称轴，并在x=处达到最大处达到最大值值: :xexfx,)()(22221 令令x=+ +c, x=- -c (c0), 分别代入分别代入f (x), 可可得得f (+ +c)=f (- -c)且且 f (+ +c) f

5、(), f (- -c)f ()21)(f这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴。即轴。即f (x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。 xexfx,)()(22221 当当x 时，时，f(x) 0, ,用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，xexfx,)()(22221 为为f (x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x = 这是高等数学的内容，如果忘记了，课下这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。再复习一下。正态概率密度函数的几何特征总结正态概率密度函数的几何特征总结;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2(xfx取得

6、最大值取得最大值时时当当 ; 0)(,)3(xfx时时当当;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x ;,)(,)6(轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定xxf;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x.,)(,)7(图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定xf下面是我们用某大学男大学生的身高下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。的数据画出的频率直方图。红线是拟红线是拟合的正态合的正态密度曲线密度

7、曲线可见，某大学男大学生的身高可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。应服从正态分布。人的身高高低不等，但中等身材的占大人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特面反映了服从正态分布的随机变量的特点。点。请同学们想一想，实际生活中具有这请同学们想一想，实际生活中具有这种特点的随机变量还有那些呢？种特点的随机变量还有那些呢？ 除了我们在前面的身高外除了我们在前面的身高外, ,在正常条件在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；下各

8、种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布近似服从正态分布. .xexfx,)()(22221 服从正态分布服从正态分布 的随机变量的随机变量x的的概率密度是概率密度是),(2nx的分布函数的分布函数p(xx)是怎样的呢？是怎样的呢？ 设设x ,),(2nx的分布函数是的分布函数是xdtexfxt,)()(22221 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯唯一确定

9、，一确定， 当当和和不同时，是不同的正不同时，是不同的正态分布。态分布。标准正态分布标准正态分布standard normal distribution 下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布dtexxt2221)(三、标准正态分布三、标准正态分布1, 0的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .xexx,21)(22其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x)(x )(x 它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理： 标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个任何一个一般的正态分布都可以通过线性

10、变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布. . 根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题. .),(2nxxy, ,则则 n(0,1) 设设theorem1 书末附有标准正态分布函数数值表，有了书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表它，可以解决一般正态分布的概率计算查表. .四、正态分布表四、正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(表中给的是表中给的是x0时时, (x)的值的值.当当-x0时时

11、xx),(2nx若若xyn(0,1) 若若 xn(0,1),)(byap)(bxap)()()(abbxap)()(ab由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，x的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. .当当xn(0,1)(0,1)时，时，p(|x| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 p(|x| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544p(|x| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.9974五、五、3 3 准则准则将上述结论推广到一般的

12、正态分布将上述结论推广到一般的正态分布, , ),(2ny时，时，6826. 0)|(|yp9544. 0)2|(|yp9974. 0)3|(|yp可以认为，可以认为，y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在3,3区间内区间内. . 这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则” （三倍标准差原则）（三倍标准差原则）. . 例例4 公共汽车车门的高度是按男子与车门公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.01以下来设计的以下来设计的. .设男子设男子身高身高xn( (170, ,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ? 解解: : 设车门高度为

13、设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求p(x h)0.01或或 p(x h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h. .看一个应用正态分布的例子看一个应用正态分布的例子:因为因为xn( (170, ,62),),) 1 , 0(6170nx )6170(h故故 p(x0.996170h所以所以 = =2.33, ,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01. .p(x h ) 0.99求满足求满足的最小的的最小的 h .(1) 所求概率为所求概率

14、为89 xp)2(5 . 09089 )2(1 9772. 01 .0228. 0 解解例例5?,99. 080)2(.89,90)1().5 . 0,(,)(,.o2oo至少为多少至少为多少问问低于低于的概率不的概率不至少为至少为若要求保持液体的温度若要求保持液体的温度的概率的概率小于小于求求若若且且是一个随机变量是一个随机变量计计以以液体的温度液体的温度调节器整定在调节器整定在容器内容器内贮存着某种液体的贮存着某种液体的将一温度调节器放置在将一温度调节器放置在dcxddnxcxcd 99. 080)2( xp99. 0801 xp99. 0)80(1 f99. 05 . 0801 d ,0

15、1. 099. 015 . 080 d 327. 20.5-80 d即即.1635.81 d 这一讲，我们介绍了正态分布，这一讲，我们介绍了正态分布，它的它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道它打交道. 后面第五章中，我们还将介绍为什么后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布这么多随机现象都近似服从正态分布 .练习的概率不超过个月的平均月降水量都连续起的正态分布求从某月）（单位：，某地区的月降水量服从cmcm5010440毕达哥拉斯悖论（希帕索斯）与第一次数学危机（公元前5世纪）.,2,24,2,2, 211,1222222

16、2222矛盾必为偶数则设必为偶数，从而斯定理，毕达哥拉至少有一个是奇数，按既约整数，则是为的直角三角形的斜边长设两直角边为qrqqrrppppqpqpqpqp 希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作周髀算经中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。 在国外，最早给出这一定

17、理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。 毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2 的诞生。小小2的出现，却