2022年陕西高考试题

1、201x 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（理科）一、选择题1. 集合| lg0mxx，2|4nx x，则mn（）a(1,2)b1,2)c(1,2d1,2【解析】1xxm，22xxn，则21xxnm，故选 c 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）a1yxb3xyc1yxd|yx x【解析】选项中是奇函数的有b、c、d，增函数有d，故选 d 3. 设,a br，i是虚数单位，则“0ab”是“复数bai为纯虚数”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【解析】“0ab”则0a或0b， “复数bai为纯虚数”则0a且0b，则“0ab”是“复数b

2、ai为纯虚数”的必要不充分条件，故选b 4. 已知圆22:40c xyx，l过点(3,0)p的直线，则（）al与c相交bl与c相切cl与c相离d以上三个选项均有可能【解析】点(3,0)p在圆内，则l必与c相交，故选a 5. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111abca bc，12cacccb，则直线1bc与直线1ab夹角的余弦值为（）a55b53c2 55d35【解析】设1cb，则1 ,2 ,21ab，1, 2, 01bc，则55,cos111111bcabbcabbcab，故选 a 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 1

3、1 页 - - - - - - - - -6. 从甲乙两个城市分别随机抽取16 台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示） ，设甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为m甲，m乙，则（）axx甲乙，m甲m乙bxx甲乙，m甲m乙cxx甲乙，m甲m乙dxx甲乙，m甲m乙【解析】经计算得：x甲=21.5625，x乙=28.5625，m甲=20，m乙=29，故选 b 7. 设函数( )xf xxe，则（）a1x为( )f x的极大值点b1x为( )f x的极小值点c1x为( )f x的极大值点d1x为( )fx的极小值点【解析】( )xf xxe，1xefxx，0 x

4、e恒成立，令0 xf，则1x当1x时，0 xf，函数单调减，当1x时，0 xf，函数单调增，则1x为( )fx的极小值点，故选d 8. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）a10 种b15 种c20 种d30 种【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的，所以假设甲赢的情况如下：若两人进行3 场比赛，则情况只有是甲全赢1 种情况；若两人进行4 场比赛， 第 4场比赛必为甲赢前3 场任选一场乙赢为313c种情况；若两人进行5 场比赛，第 5 场比赛必为甲赢前4 场任选一场乙赢为624c种情况；综上，甲赢有10 种情况，同理，乙

5、赢有10 种情况，则所有可能出现的情况共20 种，故选c 9. 在abc中角a、b、c所对边长分别为, ,a b c，若2222abc，则cosc的最小值为（）a32b22c12d12精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -【解析】2122cos2222222baccabcbac，故选 c 10. 右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，p表示估计结果，则图中空白框内应填入（）a1000npb41000npc1000mpd41000mp【解析】 m 表示落入扇形的点的个数，1000 表示落

6、入正方形的点的个数，则点落入扇形的概率为1000m，由几何概型知，点落入扇形的概率为4，则10004mp，故选 d 二 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分）11. 观察下列不等式213122231151233，474131211222，照此规律，第五个不等式为【答案】6116151413121122222【解析】观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边=2221131211nl，右边 =1112nn，所以第五个不等式为6116151413121122222. 12. 5()ax展开式中2x的系数为10， 则实数a的值为【答案】 1 精

7、品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -【解析】rrrrxact551，令2r，则23253xact，又2x的系数为10，则10325ac，1a13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 米，水面宽 4 米，水位 下降 1 米后，水面宽米【答案】62【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点o 的坐标为（ 0,0） ，设 l 与抛物线的交点为a、b，根据题意知a（-2，-2） ，b（2，-2）设抛物线的解析式为2axy，则有222a，21a抛物线的解析式为221xy水位下降

8、1 米，则 y=-3，此时有6x或6x此时水面宽为62米。14. 设函数ln ,0( )21,0 xxf xxx，d是由x轴和曲线( )yf x及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2zxy在d上的最大值为【答案】 2 【解析】当2x时，xxf1，11f，曲线在点(1,0)处的切线为1xy则根据题意可画出可行域d 如右图：目标函数zxy2121，当0 x，1y时， z 取得最大值2 15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）a （不等式选做题）若存在实数x使|1|3xax成立，则实数a的取值范围是【答案】42a【解析】|1|3xax表示在数轴上

9、，a 到 1 的距离小于等于3，即31a，则42ab （几何证 明选做题）如图，在圆o 中，直径ab 与弦 cd 垂直，垂足为e，efdb，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -垂足为 f，若6ab，1ae，则dfdb【答案】 5 【解析】6ab，则圆的半径为3，连接 od，则 od=3 又1ae，则 oe=2 在直角三角形oed 中，5222oeoded根据射影定理，在直角三角形edb 中，52eddbdfc （坐标系与参数方程）直线2cos1与圆2cos相交的弦长为【答案】3【解析

10、】2cos1是过点0 ,21且垂直于极轴的直线，2cos是以0 , 1为圆心， 1 为半径的圆，则弦长=321122. 三、解答题16. （本小题满分12 分）函数( )sin()16f xax（0,0a）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2，（1）求函数( )f x的解析式；（2）设(0,)2，则()22f，求的值【解析】（）函数fx的最大值是3，13a，即2a。函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2，最小正周期t，2。故函数fx的解析式为( )2sin(2)16f xx。（）()2f2sin()126，即1sin()62，02，663，66，故3。17.（本小题满分12 分）

11、设na的公比不为1 的等比数列，其前n项和为ns，且534,a a a成等差数列（1）求数列na的公比；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -（2）证明：对任意kn，21,kkksss成等差数列【解析】（1）设数列na的公比为q（01qq，） 。由534aaa， ，成等差数列，得3542aaa，即2431112a qa qa q。由100aq，得220qq，解得12q，21q（舍去），所以2q。（2）证法一：对任意kn，（lby lfx）21212kkkkkkksssssss121kk

12、kaaa11220kkaa，所以，对任意kn，21,kkksss成等差数列。证法二：对任意kn，12121kkaqsq，21kkss21111111kkaqaqqq21121kkaqqq，1212121kkkkaqsssq21121kkaqqq2112 121kkkaqqqq21201ka qqqq，因此，对任意kn，21,kkksss成等差数列。18. （本小题满分12 分）（1）如图，证明命题“a是平面内的一条直线，b是外的一条直线（b不垂直于） ，c是直线b在上的投影，若ab，则ac”为真（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）精品学习资料 可选择p d f - - - -

13、 - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -【解析】（）证法一如图，过直线b上一点作平面的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面 . 根据平面向量基本定理，存在实数，使得nbc，则)()()(nabanbaca，因为ba，所以0ba，又因为a，n，所以0na，故0ca，从而ca .证法二如图，记abc,p为直线b上异于点a的任意一点，过p作po, 垂足为o, 则co.apo,，直 线apo， 又ba，b平 面pao,pbpo,a平 面pao， 又c平 面pao，ca.（） 逆命题为：a是平面内的一条

14、直线，b是平面外的一条直线（b不垂直于） ，c是直线b在上的投影，若ab，则ac. 逆命题为真命题19. （本小题满分12 分）已知椭圆221:14xcy，椭圆2c以1c的长轴为短轴，且与1c有相同的离心率（1）求椭圆2c的方程；（2）设 o 为坐标原点，点a，b 分别在椭圆1c和2c上，2oboa，求直线ab的方程【解析】（）由已知可设椭圆2c的方程为214222axay，其离心率为23，故2342aa，则4a，故椭圆2c的方程为141622xy精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -

15、（）解法一ba,两点的坐标分别为bbaayxyx,，由oaab2及（）知，bao,三点共线且点ba,不在y轴上，因此可设直线ab的方程为kxy. 将kxy代入1422yx中，得44122xk，所以22414kxa，将kxy代入141622xy中，得16422xk，所以22416kxb，又由oaab2，得224abxx，即224116416kk，解得1k，故直线ab的方程为xy或xy解法二ba,两点的坐标分别为bbaayxyx,，由oaab2及（）知，bao,三点共线且点ba,不在y轴上，因此可设直线ab的方程为kxy. 将kxy代入1422yx中，得44122xk，所以22414kxa，又由o

16、aab2，得224116kxb，2224116kkyb，将22,bbyx代入141622xy中，得141422kk，即22414kk，解得1k，故直线ab的方程为xy或xy20.（本小题满分13 分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间（分）1 2 3 4 5 频 率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 从第 一个顾 客开始办理业务时计时（1）估计第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务的概率；（2）x表示至第2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求x的分布列及数学期望【解析】设y表示顾客办理业

17、务所需的时间，用频率估计概率，的y的分布如下：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -y 1 2 3 4 5 p 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 (1) a表示事件“第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务” ，则时间 a对应三种情形：一个谷歌办理业务所需时间为1 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3 分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；（lbylfx）第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟。所以)2()2()1()3(

18、)3()1()(ypypypypypypap22.04.04 .01 .03.03.01.0（2）解法一： x 所有可能的取值为：0,1,2. x=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2 分钟，所以5.0)2()0(ypxp；x=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为1 分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1 分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2 分钟，所以)2()1()1()1(ypypypxp49.04.09.01.0；x=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为1 分钟，所以01.01.01 .0)1()1()2(ypypxp；所以 x 的分布列为x 0 1 2 p 0.5 0.4

19、9 0.01 51.001.0249.015 .00ex. 解法二： x 所有可能的取值为0,1,2.x=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2 分钟，所以5 .0)2()0(ypxp；x=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为1 分钟，所以01.01.01 .0)1()1()2(ypypxp；49.0)2()0(1)1(xpxpxp；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -所以 x 的分布列为x 0 1 2 p 0.5 0.49 0.01 51.001.0249.015 .00ex

20、。21 （本小题满分14 分）设函数( )(, ,)nnfxxbxcnnb cr（1）设2n，1,1bc，证明：( )nfx在区间1,12内存在唯一的零点；（2）设2n，若对任意12,x x 1,1，有2122|()() | 4fxfx，求b的取值范围；（3）在（ 1）的条件下，设nx是( )nfx在1,12内的零点，判断数列23,nxxx的增减性【解析】（1）1)(2, 1, 1xxxfncbnn时，），在（121)(, 01)2121() 1()21(xfffnnnn内存在零点。又当,01)()1 ,21(1nnnxxfx时，）内存在唯一零点。，在（）上是单调递增的，在（121)(121)(xfxfnn（2）当 n=2 时，cbxxxf22)(对任意 1 , 1)(4)()( 1 , 1,2221221在等价于都有xfxfxfxx上的最大值与最小值之差4m, 据此分类讨论如下：()时，即当2, 12bb与题设矛盾,42)