初中数学解题思维定势若干思索

1、初中数学解题思维定势若干思索摘要：本文结合四道试题的分析与解答，从先入为 主的审题，模凌两可理解概念，生搬硬套地误用定理，墨守 成规的解题模式等方面探讨了解题时引起思维定势的各种 原因。关键词：思维定势；模式；试题中图分类号:g632文献标识码：e文章编号:1002-7661 (2013) 34-154-02国学大师王国维先生在人间词话中曾对诗文创作发 出这样的感叹"诗人对人生须入乎其内，又须出乎其外入 乎其内，故能写之；出乎其外，故能观之”张奠轴教授曾引 用这段话作为数学解题与数学欣赏的至理名言只有从题海 中跳出来，观之，我们才能感受到“冰冷美丽”后的“火热 思考”笔者在执教的过程

2、中碰到一些试题，表面上看是似曾相 识的经典题型，深入思考后感觉又与常规解法不一致，甚至 用常规无法解决而学生在这类题目当中往往陷入其中极易 造成思维定势，回答极不理想下面是笔者对这些试题的分析 与反思。一、“惹祸”的圆点1、试题呈现与初解例1已知菱形abcd的边长是8,点e在直线ad上，若 de二3，连接be与对角线ac相交于点m，则的值是例2如图1,四边形abcd是等腰梯形，adbc, bc=2 以线段bc的中点0为圆心，以0b为半径作圆，连结0a交 00于点mo(1) 若zab0=120° , a0是zbad的平分线，求(2) 若点e是线段ad的中点，ae二，0a二2,求证：直

3、线ad与00相切。初解例1如图2, 菱形abcd adbc/. acmbaame例2 (1)略；(2)证明：连结0e,则0e=0b=ltae二，0a二2, 即0e丄ad直线ad与©0相切2、正解与分析例1因为点e在直线ad上，所以点e的位置不确定而 初解只考虑了它在线段ad上的情形，所以只需补上点e在 线段ad的延长线上的情形即可。如图3同理 cmb-aame 所以线段是学生司空见惯的图形，生活中随处可见的其模 型；直线是由线段两端无限延伸得到，它是抽象思维的产物, 在现实生活中并没有实际模型。但学生在学习中所遇图形无 一不是以线段呈现的，如三角形的边，中线和高；四边形的 边与对角线

4、等。久而久之，学生对它们就不再加以区分，容 易造成思维定势，把它们混为一谈就不足为奇了。这也要求 我们在平常教学中规范自身的教学行为，要有前瞻意识，在 几何入门课上就应让学生分清“点c在线段ab±；点c在 射线ab上；点c在直线ab上”的图形的异同；而又要再后 续的学习中让学生学会在复杂图形中完善因不同位置关系 而产生的变形图。例2初解想当然把点e看作在00±,这种解法非常具 有迷惑性。如果能看穿这点，此题也就不难了。只需由sas 证明 aboadco,从而通过等腰aaod三线合一得到 0e丄ad,再由勾股定理证得0e是。0的半径，因而直线ad 与。0相切审题细心，避免先入

5、为主是解好此题的起点。其实，有 关直线与圆相切的问题学生是非常熟悉的，翻阅近年来各省 市的中考题，它的出镜率相当高。其解法几乎可以通过切线 的判定定理'经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线”加以解决。解题思路是常把问题转化为以下两种 情形：当交点出现在圆上时，辅助线是直接连结交点与圆心 得半径，再证这条半径与直线垂直（即连半径证垂直）；当 交点不出现在圆上时，辅助线是过圆心向直线作垂线段，再 证垂线段的长等于圆的半径(即作垂直证半径)。由此可见“判定定理”可以解决的是一种附加了一个条件下直线与 圆相切的问题，应用它更易形成操作的程序但此题并不能直 接转化为上述情形的任何一种

6、，若无法认识到这点就容易形 成思维定势。其实，判定定理是由“圆心到直线的距离等于 半径时直线与圆相切”直接得出的，我们只要抓住数量关系 d=r这个核心，一要说明d为垂线段与r为半径；二要证明 d=r,就能做到以不变应万变。二、“郁闷”的图形例3已知口abcd,对角线ac与bd相交于点0,点p在 边ad上，过点p分别作pe丄ac、pf1bd,垂足分别为e、f, pe=pf.(1) 如图4,若pe=, e0=l,求zepf的度数;(2) 若点p是ad的中点，点f是d0的中点， bf=bc+3-4,求 bc 的长.分析：特殊的平行四边形(矩形、菱形和正方形)的认 识，其实都是在平行四边形的前提下，通

7、过从边、角和对角 线这三个方面添加某些条件而形成的此题有类似之处，在平行四边形这个前提下，通过三个 特殊点p、e、f的位置关系以及对应线段的数量关系pe=pf, 进而感知dabcd为特殊的平行四边形。由pf为中位线知 pfao,即有0a丄0d,因而菱形abcd和矩形peof；再有数 量关系pe=pf与pf二of,判断oa二od即ac=bd,所以矩形abcd, 最终证得正方形abcd到此突破了原题给出的一般的平行四 边形的图形定势，终现特殊dabcd的本来面目一一正方形 abcd,使得bf与bc的比例关系一目了然，问题便能迎刃而 解解答：(1)略(2) j点p是ad的中点，点f是do的中点， a

8、0/pfpf±bd, ac丄bdabcd 是菱形 pe丄ac, peod aaepaaod do二2pe pf是zxdao的中位线， ao二2pf pf=pe, .i ao=od ac二20a二20d二bdc1abcd是矩形oabcd是正方形二bd二bct bf=bd,bc+3-4=bc 解得,bc二4为此讨论有关特殊的平行四边形的问题，既要考虑它的 特殊性，又不能忽视它的一般性因此考虑多角度、全方位， 可以从常规的边、角和对角线考虑，也可以从特殊的点或其 它特殊线段入手。唯有如此才可以既能巩固课本的识别方 法，又可发现新的判别方法，再能培养学生的发散思维，从 而突破思维定势三、“恼

9、人”的模式例4已知点p (m, n) (m>0)在直线y二x+b (00 pd>ab j pa2pd, pd>ab, pa2pd>ab,即 pa>ab a pa7ab 同理 pbabj apab是等腰三角形，pa=pb a (1-b, 0), b (1+b, 0) ca/7pb, zoac=zdpb, rtaaocrtabdp=/.=4b2-b-3=0b=l或b=-(不合题意,舍去)b=l解等腰三角形的问题起初学生容易只写一种情况，考虑 问题不够严谨。鉴于此，教师往往都会加强这方面的训练， 并且都能得出多个解的情形久而久之，学生脑海中就形成遇 到等腰三角形的问题要

10、考虑分类讨论并且有多解的解题模 式但应用这种模式去解此题便会遇到很大的困难，因为压根 没想到ap=ab或bp=ba这两种情况不存在这种思维上的跳跃 真是始料未及的。虽说解题模式对学习数学非常有帮助，它 力求将各种各样的情形化归为熟悉的解题情境，但固守模式 只能是墨守成规，突破不了思维定势的束缚因为解题模式永远是滞后的，解题情境总是处在不断更新中。造成学生思维定势的原因是多方面的，有些是学生本身 对知识的理解不到位造成的，例如数学概念的准确理解，定 理的适用范围等；除此，教师其实也充当了推波助澜的角色, 在平常教学当中，讲了一种类型的题目后，教师往往喜欢用 大量的同类型的题目给学生练习，以达到巩固知识的目的； 但大量的重复的机械训练容易使数学思维活动倾向于单一 的方向，容易产生固定不变的思维方式从而导致思维定势。 为突破这种思维定势，笔者认为可以有意识地进行以下两方 面的训练：一方面可以启发学生从多角度，多层面去看问题, 力求做到一题多解，拓宽思路，发散思维；另一方面引导学 生进行解题经验总结时，提倡多解归一