初中平方根的分析及教学

1、初中平方根的分析与教学摘 要：本文主要分析了平方根的基本概念，主要特点以及表示方式，并对平方 根这一课进行了教学设计。平方根是开方运算的基础，为初一接下来的无理数的 运算提供了知识准备。由“乘方”展开，使学牛理解开方运算与乘方运算的相互关系，锻炼学生的逆向 思维能力。再提出算数平方根这一概念，通过习题使学生逐渐掌握开方运算的运 算，并能用以上知识解决实际问题。关键词：平方根，算数平方根，教学设计一、平方根概念平方根（square root）,又叫二次方根，对于非负实数来说，如果一个数的平方 等于a,那么这个数就叫做a的平方根。x2 = a显而易见，知道x的情况下可以求出x的平方等于a,但是在知

2、道a的情况下如 何求x就是求平方根的主要目的。2、表示方法这里引进了一个新的运算符号，根号（厂）。一个正数a的正平方根用“时 表示（读作“根号a”）； a的负平方根用“-”表示，（读作“负根号a”）， 因此一个正数a的平方根就用表示（读作“正、负根号a），其中a叫做被 开方数。正的平方根表示为+灯 读作“根号a”(正号通常可一省略)正数a -负的平方根表示为皿 读作“负根号a”即a (a>0)的平方根可表示为土吋 读作“正、负根号a “。其中a称为被 开方数。0的平方根是0负数没有平方根3、主要特点一个正数有两个平方根，它们互为相反数；o只有一个平方根，就是0木身；负数没有平方根。例：9

3、的平方根是±3 o二、算数平方根1、概念正数的正平方根称为算数平方根。0的算数平方根是0。一个数a (ao)的算 数平方根记作“灯“。例如9的算数平方根是3,即何二3, 0.01的算数平方 根是 0.1,即 v0.01=0.1o2、主要特点算数平方根的主要特点是非负性。三. 平方根与算数平方根的分析1、学牛对于平方根的概念初步形成，对简单的开平方运算能够进行计算。例如 9的平方根啊±3即土v9"=±3.但是对一些不能直观计算岀来的数字的平方根容 易混淆，例如10的平方根是土皿"，学生很容易产生10没有平方根的错误思 想。所以通过平方根这一节课的

4、学习使学生逐渐掌握易求数字的开平方运算以及 不易求数字用厂表示计算结果。2、小学已经学习了加、减、乘、除四则运算。求一个数的平方根的运算也是一 种运算，称为开平方运算。开平方是平方运算的逆运算，因此可以运用平方运算 求一个数的平方根。习题中常会出现，例如 眞的算数平方根是多少。学生很容7 16易就写匚 从而忽视根号的存在。因为他们对平方根的知识体系还未形成，不能 4自然而然的反映出根号就是求补的算数平方根。所以这里存在两个运算，、用w所以可以把题目转化为期勺算数平方根。转化后的题目就很简单，答案是斗423、如何求一个数的平方根。我们通常会出现选择题，例如“求4的平方根“或 解方程”送=4“，这

5、两种类型的题目可以总结为一类就是求4的平方根，答案 是有两个，正负2.但是初中生的意识里面只有正数是根深蒂|古i的，很容易忽略 负2 所以要加强学生对平方根的理解，就要反复训练题冃，从题fi屮吸取经验, 逐渐掌握。4、平方根与算数平方根易混淆。例如何二很多学生会以为是求平方根，从 而写±3.这里要明确，出现v求的是算数平方根，出现“厂“求的是负的平方 根，岀现” 土厂“求的才是平方根。所以以数学文字描述的问题我们-般与根 号前的符号保持一致，当用文字表述问题吋，如求一个数的平方根，我们才能根 据实际情况添加正负号。5、被开方数越大，平方根的绝对值就越大。我们可以令x = y2,即y

6、= ±仮， 其中y是x的平方根。我们可以绘制得图像实线部分是丫 =仮的绘图部分，我们可以发现y的值随x的增大而增大，但是y 的递增趋势是逐渐减少的，也就是说x越大，x的变化对y的影响越小。而虚线 部分是y = 一仮的绘图部分，其中y的值随x的增大而减小，同样y的递增趋势 是逐渐减少的，也就是说x越大，x的变化对y的影响越小。这一知识点通常考 察带根号的数与不带根号的数的相互转化以及大小比较。例如比较2和們的大 小。我们可以把传化成小数，比较2与笛的大小，也可以把2转化成带根号 的数。因为2是4的算数平方根，所以妇和2是相等的。从而我们可以比较vt和 皿的大小来比较2和笛的大小，以为4

7、小于5,由上述规律我们可以得出2 小于四、教学设计教学目标知识目标：理解平方根和算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系。能力目标：学会平方根、算术平方根的表示法和平方根、算术平方根，并运用以 上知识解决实际问题。情感目标：学习从特殊到一般的数学思想方法，培养学生从实践到理论，从具体 到抽象的辨证唯物主义观点。教学重点和难点重点：平方根的概念。难点：平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，是本节课的难点。教学过程一、设疑引新记一记背一背ii2 = 121122 = 144132 = 169142 = 196152 = 225162 = 256172 = 289182 = 324192 = 36

8、1202 = 400用识记比赛的方式，激发学生的兴趣，同时能锻炼学生看到相应的数字能快速反 应出对应的平方根。我们知道一个数，很容易知道这个数的平方是多少，但是如 果反过来，知道一个数的平方是多少，能求这个数吗？符合这样条件的数有几个? 该如何表示？这些问题都是这节课要学习的内容，提岀课题一一第三章 实数31 平方根.二. 交流对话，探究新知2例如（）=324大部分学生由上式中获得启发，认为括号中应该填18,所以应该反问，只 有18的平方得324吗。这时候会有学生提出j8的平方也是324,此时教师在括 号内填写土 18。教师提问：这时候，324问±18,我是你的什么？学生回答：平方教

9、师提问：那土 18是324的什么呢？教师回答：已知某数的平方要求这个数，用式子來表示就应是：如果x2 = a,求x的值这和我们一开始提出的问题，求一个已知数的平方正好是相反要 解决这样一个问题，就须在数学上引进一个新的概念一一平方根.（引出平 方根的概念）平方根的概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。（也 叫二次方根）如i： 22 = 4, 2是4的平方根；（2） $二4, （-2）也是4的平方根.即4的平 方根是±2平方根的表示及读法：这里引进了一个新的运算符号，根号（厂）。一个正 数a的正平方根用“时 表示（读作“根号a”）； a的负平方根用“表 示，（读作“负

10、根号a”），因此一个正数a的平方根就用土皿表示（读作正、 负根号a），其中a叫做被开方数。正的平方根表示为+贡 读作“根号a”（正号通常可 省略）_正数a负的平方根表示为皿 读作“负根号a”是的简写，通常省略指数2即a （a>0）的平方根可表示为±仃 读作“正、负根号a “。其中a称为被开 方数。例:写出25, 0.09, -0.36,0,7的平方根教师板书 土宓二±5±v0?09=±0.3-0.36没有平方根0的平方根是07的平方根是±77平方根的性质：通过以上练习，得出下列法则：一个正数有正、负两个平方 根，它们互为相反数；零的平方根

11、是零；负数没有平方根。大多数正数的平方根 不能用整数來表示，学生很容易认为不能用整数表示平方根的数没有平方根，所 以应该反复强调正数都有两个平方根，并引导学生去用根号的式子去表示，例如 7的平方根，就应该保留根式。求一个数的平方根的运算叫做开平方.教师提问：开平方和乘方运算是什么关系？学生引导学生冋答，利用了乘方运算是开平方的逆运算得出的.例1求下列各数的平方根：(1) 1(2)( -) 2 (3) 0.36 (4) 1325分析：如何求1的平方根？就是要求一个数x,使x的平方等于9,即求满足/ =1的x的数值.因为(±1) 2 = 1,故满足x2 = l的x的数值是1或所以1 的平

12、方根是±1.(2) (3) (4)仿照上面的方法，解题的格式与步骤教师板演.强调：(i) 1的平方根表示方法是±v1=1,而不是vi即不要写成vi二±1(2) 带分数开平方时，要先把带分数化成假分数.(3) 有幕的先进行幕运算。(4) 一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数，而不是一个. 算数平方根：正数的正平方根和0的平方根统称为算数平方根。一个数a (a>0)的算数平方根记作血，表示的是算数平方根，它具有非负性。 例求下列数的算数平方根! 2121 花 °-09(-"010三、梳理概括，形成结构(1) 一个正数有正、负两个平方

13、根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数 没有平方根；(2) 正数a的平方根的表示方法为土程;它的算术平方根的表示方法为侖；(3) 求平方根时，应把被开方数中的带分数化为假分数.四、变式练习，扩展新知(1)已知一个正数x的平方根是m+3和2m-15,求m利用正数的两个平方根互为相反数的性质，相反数相加得0,所以可得(m+3)+ (2m-15) =0,解得 m二4(2) yja-3 = 0,求 a利用0的平方根为0解得a=3,求abva 3 + |b 1| = 0利用算数平方根和绝对值的非负性，解得a=3, b=l,所以ab二3五、反馈评价（1）如果一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根；（2）正数a的平方根有两个，