第十章第二节二重积分的计算法

1、一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分三、小结三、小结 思考题思考题第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法二、极坐标系下二重积分的计算二、极坐标系下二重积分的计算【复习与回顾【复习与回顾】回顾一元函数定积分的应用回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素体积元素dxxAdV)( 体积为体积为 badxxAV)(在点在点x处的平行截面的面积为处的平行截面的面积为 )(xA, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续. .)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重

2、积分一、利用直角坐标系计算二重积分(1)X型域型域)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 【X型区域的特点型区域的特点】 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点. .1. 【预备知识【预备知识】,dyc ).()(21yxy (2)Y型域型域)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D【Y型区域的特点型区域的特点】穿过区域且平行于穿过区域且平行于x 轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点. .(3)既非既非X型域也非型域也非Y型域型域如图如图3D2D1D在

3、分割后的三个区域上分别都在分割后的三个区域上分别都是是X型域型域( (或或Y型域型域) )则必须分割则必须分割. .321 DDDD由二重积分积分区域的可加性得由二重积分积分区域的可加性得(1).若积分区域为若积分区域为X型域：型域：, bxa ).()(21xyx 0),( yxf且设且设为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以则则),(),(yxfzDdyxfD 2. .【二重积分公式推导【二重积分公式推导】【方法【方法】根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义以及计算以及计算“平平行截面面积为已知的立体求体积行截面面积为已知的立体求体积”的

4、方法来求的方法来求. .,0bax 0 xx 作平面作平面)(01x )(02x )()(000201),()(xxdyyxfxA badxxAV)( .),(),()()(21 Dbaxxdxdyyxfdyxf即得即得公式公式1 的二次积分的二次积分后对后对上式称为先对上式称为先对xyyxzab0 xo)(1xy)(02x )(01x )(2xy)(0 xA ),()( )()(21 xxdyyxfxA ),( yxfzoyxz)(0 xA),(yxfz )(1xy)(2xyab0 xdyyf(xdxba(x)(x),21 注注: 若若 (x,y)0 仍然适用。仍然适用。注意注意: 1）上式

5、说明: 二重积分可化为二次定积分计算;2）积分次序: X-型域 先Y后X;3）积分限确定法: 后积先定限，后积先定限，域中做穿线；域中做穿线； 先过为下限，后过未上线。先过为下限，后过未上线。为方便，上式也常记为：为方便，上式也常记为：).()( , 21yxydyc xyoD yx1 yx2 cd:).2(型型域域若若积积分分域域为为 Yy Ddxdyyxf),( . 的的二二次次积积分分后后对对即即化化二二重重积积分分为为先先对对yx dcyydydxyxf)()(21),(公式公式2 1）积分次序）积分次序: Y-型域型域 ,先先x后后Y; 2）积分限确定法）积分限确定法: “域中做穿线

6、域中做穿线”, 须用平行于须用平行于X轴的射线轴的射线穿插区域穿插区域 。dxyxfdyDdcyy),(:)()(21 也也可可记记为为注意注意: 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限正确确定积分限,一定要做到熟练、准确一定要做到熟练、准确。总结、总结、利用直系计算二重积分的步骤利用直系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；）确定积分限，化为二次定积分；（2）根据积分域类型）根据积分域类型, 确定积分次序；确定积分次序；（4）计算

7、两次定积分，即可得出结果）计算两次定积分，即可得出结果.【说明【说明】(1)使用公式使用公式1必须是必须是X型域，型域， 公式公式2必须是必须是(2) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便为计算方便, ,可可选择积分次序选择积分次序, , 必要时还可必要时还可交换积分次序交换积分次序. .则有则有yyxfxxd),()()(21 baxdxyxfyyd),()()(21 dcyd)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdcx)(1xyy(3) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X- -型域或型域或Y-

8、 -型域型域. . 321DDDDoxy1D2D3DY型域型域.4. 【例题部分例题部分】【例【例1】.2, 1,所围闭区域所围闭区域及及：由：由其中其中计算计算xyxyDxydD 【解【解】 看作看作X型域型域 xyxDX121: 21121212dxyxxydydxxydxxD 811)22(213 dxxx12oxy y=xy=1Dx【解【解】看作看作Y型域型域 221:xyyDY 21222212dyxyxydxdyxydyyD 811)22(213 dyyy12oxyx = yx=2Dy12【例【例2】. 1, 1,: ,122所围闭区域所围闭区域和和由由计算计算 yxxyDdyxy

9、D 【解【解】 D既是既是X型域又是型域又是Y型域型域 111:yxxDX法法1 122111xdyyxydx上式上式21 1 11 11 1x xo oy=xy=xD Dx xy y法法2 yxyDY111: ydxyxydy122111原式原式注意到先对注意到先对x 的积分较繁，故应用法的积分较繁，故应用法1 1较方便较方便111yoy=xD1xy注意两种积分次序的计算效果！注意两种积分次序的计算效果！【例【例3】所围闭区域所围闭区域及及：由：由其中其中计算计算2,2 xyxyDxydD 【解【解】 D既是既是X型域型域又是又是Y型域型域先求交点先求交点(4,2) (1,-1) 2 2或或

10、由由 xyxy法法1 221:2yxyyDY法法2 2212yyDxydxdyxyd 855 视为视为X型域型域 xyxxD10:1 xyxxD241:221 DDD 则必须分割则必须分割 21DDDxyd xxxxxydydxxydydx24110 计算较繁计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！【小结【小结】以上三例说明，在化二重积分为二次以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域序；既要考虑积分区域D的形状，又要的形状，又要考虑被积函数的特性考虑被积函数的特性(

11、(易积易积) )xyO练习练习解解 Dyxyxdd)(2xxxxxxd)(21)(42102 .14033 22xyyx yyxd)(2 10dx)0 , 0(),1 , 1(所围平面闭区域所围平面闭区域.和和是抛物线是抛物线其中其中求求22,dd)(xyDyxyxD 2yx 两曲线的交点两曲线的交点2xx2xy 2yx )1 , 1( 练习练习解解1d22Dxy d2211xxxxy 9.4 1:12,Dxyxxd22xyy d21x d22,2,DxDxyxy 求其中 是由直线和求其中 是由直线和1.xy 双曲线围成的闭区域双曲线围成的闭区域将将D看成看成X型区域型区域1xxxyOyx 2

12、x 1xy )d231( xxx 练习练习解解2d22Dxy 9.4 111:1,22Dyxyd22xxy d112y d22,2,DxDxyxy 求其中 是由直线和求其中 是由直线和1.xy 双曲线围成的闭区域双曲线围成的闭区域将将D看成看成Y型区域型区域1y2xyOyx 2x 1xy D1D22:12,2Dyyxdd122222DDxxyy d22xxy d21y y2第第一一种种方方法法计计算算量量小小例例3yyxxdsind1012 siny2 对对y的积分的积分而它对而它对x的积分的积分交换积分次序交换积分次序的方法是的方法是:改写改写D为为:oxy 分析分析所以将所以将二次积分二次

13、积分先先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2) 画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积分不能用基本积分法算出不能用基本积分法算出,xy )1 , 1(可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序. .用联立不等式表示用联立不等式表示 D:, 10 x1 yx, 10 yyx 0yyxxdsind1012 yxyyd)(sin0102 yyydsin102 2102dsin21yy )1cos1(21 xyydsin02 10dyoxyxy )1 , 1(, 10: yDyx 0例例4 4交换积分次序：交换积分次序：解解 积分区域积分区域: xxxyyx

14、fxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式原式= 10dyy 2 xyxfd),(211y 22xxy xy 2xyO12又是能否进行计算的问题又是能否进行计算的问题. .计算二重积分时计算二重积分时, , 恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序十分重要十分重要, , 它不仅涉及到计算繁简问题它不仅涉及到计算繁简问题, , 而且而且凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分: :,dsinxxx ,d2xex ,lnd xx等等等等, ,一定要放在一定要放在后面积分后面积分. .,dsin2xx ,dcos2xx ,d2xex ,dxexy 解解 121d)(xeexxee2183 xeyx

15、eyIyyxyyxydddd121212141 计算积分计算积分xexyd 不能用初等函数表示不能用初等函数表示,先交换积分次序先交换积分次序.yexyd x2x xd I211112141xy 2xy 21Oxy5.【简单应用【简单应用】【例【例5】 求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的直交圆柱面所围成的立体的体积的体积V.【解【解】xyzRRo 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx 利用对称性利用对称性, , 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分, ,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为 DyxxRVdd822 220dxRyx

16、xRRd)(8022 3316R 222Rzx 22xRz 2200:),(xRyRxDyxXxxRRd8022 222Ryx222RzxD【例【例6】 2, 2的面积的面积所围区域所围区域应用二重积分求由曲线应用二重积分求由曲线Dxyxy 【解【解】 据二重积分的性质据二重积分的性质4（几何意义）（几何意义） Ddxdy 交点交点 22xyxy)4 , 2( )1 , 1(， 221:2xyxxDX 212221)2( 2dxxxdydxxx 29 )(2xy abD)(1xy 缩小图象缩小图象Dba)(2xy )(1xy X型型dxdy.yf(xdxxAf(x,y)dxdyba(x)(x)

17、Dba)(21 7 小结小结)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D返回返回Y型型.),(),()()(21 Ddcyydydxyxfdyxf二、二、 利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。其计算问题。等等例例 22222222222)cos(,)sin(,2222ayxayxayxyxdxdyyxd

18、xdyyxdxdyeirr iirrr i 21()2iiiiir rriiir rOADi ii i ( ,)iir 21()2iiirr212iircos,iiir siniiir iiinif ),(lim10iiinif ),(lim10即即 Dyxf d),( Dyxyxfdd),(也即也即d dr r 极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素 d d( cos , sin )rDf rrr r d d( cos , sin )rDf rrr r nif1(cos,iir iiirr sin)iir 0lim .)sin,cos(),( DDddfdxdyyxf 则则二重积分极坐标二

19、重积分极坐标表达表达式式【注意【注意】极坐标系下的面积元素为极坐标系下的面积元素为dd d 直角坐标系下的面积元素为直角坐标系下的面积元素为ddxdy 区别区别.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 注意注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”： rdrddxdyDDryrxrxysincos 极系下的二重积分化为二次积分极系下的二重积分化为二次积分的的上上下下限限关关键键是是定定出出 , r的的上上下下限限：定定用两条过极点的射线夹平面区域，用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾

20、角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限的的上上下下限限：定定r任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。二重积分仍然需要化为二次积分来计算。.)sin,cos()()(21 dfd Dddf )sin,cos(2. .二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式区域特征如图区域特征如图, ).()(21 （1）极点极点O在区域在区域D的边界曲线之外时的边界曲线之外时 ADo

21、)(1 )(2 若区域特征如图若区域特征如图, ).()(21 .)sin,cos()()(21 dfd Dddf )sin,cos(AoD)(2 )(1 特别地特别地AoD)( .)sin,cos()(0 dfd（2）极点极点O恰在区域恰在区域D的边界曲线之上时的边界曲线之上时区域特征如图区域特征如图, ).(0 Dddf )sin,cos(（1）的特例的特例 Dddf )sin,cos(.)sin,cos()(020 dfd3. 极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Ddd 区域特征如图区域特征如图).(0 DoA)( ,2 0（3）极点极点O在区域在区域D的边界曲线之内时的边界曲线

22、之内时（2）的特例的特例1 yx122 yx【解【解】 sincosyx Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 dfd【解【解】D：a 0， 20. dxdyeDyx 22 aded0202 ).1(2ae xyo的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , ,故本题无法故本题无法【注【注】1.由于由于用直角坐标计算用直角坐标计算. .2xe 【注注】2.利用利用例例2可得到一个在概率论与数理统计中可得到一个在概率论与数理统计中以及工程上非常有用的以及工程上非常有用的反常反常积分公式积分公式2d02 xex事实上事实上, 当当D 为为 R2 时时, Dyxyxedd2

23、2 yexeyxdd2220d42 xex利用利用例例2的结果的结果, 得得)1(limd42220aaxexe 故故式成立式成立 .R2解解0, 0,| ),(2221 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD0 ,0| ),(RyRxyxS 022 yxe Syxyxedd22 222ddDyxyxe求反常积分求反常积分20d .xex例例显然有显然有21DSD 122ddDyxyxeR1DS2DyxO Rxxe0d220)d(2 Rxxe)1(2Re 又又yxeISyxdd22 yxeIDyxdd1221 yxeIDyxdd2222 )1(422Re 4 Ryye

24、0d2 0, 0,| ),(2221 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD0 ,0| ),(RyRxyxS ,41 I42 I,4 I21III )1(4)d()1(4222220RRxRexee 夹逼定理夹逼定理,R 当时,R 故当时即即4)d(202 Rxxe所求反常积分所求反常积分20d2xex),1(421ReI )1(4222ReI ,)d(202 RxxeI32 61 sin4 r Dyxyxdd)(22 sin4sin22drrr)32( 15 yyx422 yyx222 03 yx【解解】03 xy sin2 roxy24 36d 将将直角坐标系直角

25、坐标系下积分下积分: 22240214110d),(dd),(dxxxyyxfxyyxfx化为化为极坐标系极坐标系下的下的累次积分累次积分.oxy解解rrrrf 2120d)sin,cos(d原式原式=2 r21 r103 yx解解32 61 sin4r sin2ryxyxDdd)(22 rrrdd2)32(15 03 xy计算计算,dd)(22yxyxD 为由圆为由圆其中其中D所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.例例yyxyyx4,22222 及直线及直线, 03 yx03 xy sin4 sin26 3 xOyyyx222 yyx422 4 计算计算16:22 yxD因被积函数因被积函数

26、422 yx4:221 yxD164:222 yxDD2 d)4(221yxID d)4(222 yxD d|4|22 DyxI例例分析分析故故 80 422 yx的的在积分域内变号在积分域内变号.2xoyD1解解)0,( yx那那部部分分立立体体的的体体积积。所所截截得得含含在在圆圆柱柱面面内内的的被被圆圆柱柱面面求求球球体体例例)( 025222222aaxyxazyx倍倍，限限部部分分立立体体体体积积的的为为第第一一卦卦由由对对称称性性，所所求求体体积积4VaxyxD2:22 dxdyyxaVD 22244. ,2acos 20D r，0：在极系下：在极系下：（如图）（如图）cos2ar o2aDdxdyyxaVD 22244从而从而rdrrada 20cos2