两角和与差的公式

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos( ) cos cos sin sin (C( )cos( ) cos_cos_ sin_sin_ (C ( )sin( ) sin_cos_ cos_sin_ (S( )sin( ) sin_cos_ cos_sin_ (S( )tan tan tan( )1 tan tan (T (tan( )tan tan (T1 tan tan ()2二倍角公式sin 2 2sin_cos_；cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2；tan 22tan 2 .1 tan 3在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活

2、运用公式解决问题：如公式的正用、 逆用和变形用等如 T (±)可变形为tan ±tan tan(±)(1?tan_tan_)，tan tan tan tan tan tan 1 tan tan 1.【思考辨析】判断下面结论是否正确 (请在括号中打“”或“×”)(1)存在实数 ，使等式 sin( ) sin sin 成立 ()(2)在锐角 ABC 中， sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定 (×)(3)公式 tan()tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1 tan tan )，且对任意1 tan tan

3、角 ， 都成立 (× )(4)存在实数 ，使 tan 2 2tan .( )(5) )设 sin 2 sin ， ( ， )，则 tan 2 3.(210，则 tan 2等于 ()1 (2013 ·江浙 )已知 R， sin 2cos 24334A. 3B. 4C 4D3答案C10解析sin 2cos 2，225sin4sin cos 4cos 2.化简得： 4sin 2 3cos 2，tan 2sin 234.故选 C.cos 2sin cos ) 1，则 tan 2等于 (2若 sin cos 23344A 4B.4C 3D. 3答案B解析由sin cos 1cos 得

4、，tan 11，解得 tan 3， ，等式左边分子、分母同除sin cos 2tan 12则 tan 2 2tan 31 tan24.3 (2013 课·标全国)设 为第二象限角，若tan 1，则 sin cos _.42答案 10511解析tan 4 2，tan 3，3sin cos ，即且 为第二象限角，sin2 cos2 1，10310解得 sin 10， cos 10 .sin cos 105 .4 (2014 ·标全国课)函数 f( x) sin(x 2) 2sin cos(x )的最大值为 _答案1解析f(x) sin(x 2) 2sin cos(x ) sin

5、( x ) 2sin cos(x ) sin(x )cos cos(x )sin 2sin cos(x ) sin(x )cos cos(x )sin sin( x ) sin x，f(x)的最大值为1.题型一三角函数公式的基本应用例 1(1) 设 tan ， tan 是方程 x2 3x2 0 的两根，则 tan( )的值为 ()A 3B 1C1D 31，(2)若 0<<，2<<0， cos( )243 3)cos( )，则 cos()等于 (423233A. 3B 3536C. 9D 9答案(1)A(2)C解析(1) 由根与系数的关系可知tan tan 3， tan

6、tan 2.tan()tan tan 3 3.1 tan tan 1 2故选 A.(2)cos( 2) cos(4 ) (4 2) cos( )cos( )sin( 44 2) sin(44 2)0<<2， 3则4<4 < 4 ，22sin(4 )3 .又 2<<0， 则 4<4 2<2， 6则 sin(4 2) 3 . 1322653故 cos( 2) 3× 3 3 × 3 9 .故选 C.思维升华三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系(1)若 1，则 sin 等于 ()

7、( ， )， tan( )72434A. 5B. 534C 5D5(2)计算：1 cos 20° tan 5 )° _.2sin 20 sin 10 (° 1°tan 5°答案(1)A (2) 32tan 11，解析(1) tan()41 tan 73sin tan ，4cos cos 43sin .22 1，又sin cossin2259.又(，)，sin 325.222cos 5°sin 5°2cos 10° sin 10 ·°cos° 5 °(2)原式 4sin 10

8、cos° 10°sin 5cos 10° sin 20°2sin 10°°sin 10cos 10 °2sin 20°2sin 10 °cos 10 °2sin 30° 10°2sin 10°cos 10 °2sin 30 cos° 10 °2cos 30 sin° 10 °2sin 10°3 2 .题型二三角函数公式的灵活应用例 2(1)sin(65 °x)cos(x20°) cos(

9、65 ° x) ·cos(110 °x) 的值为 ()2A. 2B. 213C.2D. 24212cos x2cos x 2(2)化简：2 _.2tan x sin x44cos 15 °sin 15°(3)求值： _.cos 15 °sin 15°答案(1)B(2)1cos 2x(3) 32解析(1) 原式 sin(65° x) ·cos(x 20°) cos(65 ° x)cos 90° (x 20°) sin(65 ° x)cos(x220°

10、;) cos(65°x)sin(x 20°) sin(65 ° x) (x 20°) sin 45 ° 2.故选 B.14224cos x4cos x 1(2)原式 x2× sin 42·cos4xcos 4 x22cos22x2cos x 14sin 4 x cos 4 x2sin 2 2xcos22x1 cos 2x.2cos 2x21 tan 15°tan 45 °tan 15°(3)原式1 tan 15°1 tan 45 tan° 15° tan(45 &#

11、176;15°) 3.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan tan tan()·(1 tan tan )和二倍角的余弦公式的多种变形等公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力1 sin cos ·cos sin(1)已知 (0， )，化简：22 _.22cos (2)在 ABC 中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则A tanCACtan2 3tantan 的值为222_答案(1)cos (2)32 解析(1) 原式2cos 2 2sin2cos2·cos2 sin2

12、2.4cos2因为 (0， )，所以 cos2>0，2 2cos2 2sin2cos2 ·cos2 sin2所以原式2cos222 (cos2 sin2) ·(cos2 sin2) cos 2sin2 cos .2 A CA C(2)因为三个内角A，B，C 成等差数列， 且 A B C，所以 A C 3 ， 23，tan2 3，ACAC所以 tan2 tan23tan2tan2 tanACAC3tanAC2 21 tan2 tan22tan2ACAC 3 1 tan 2tan 2 3tan 2tan 2 3.题型三三角函数公式运用中角的变换例 3(1) 已知 ， 均为

13、锐角，且3， tan( )1sin .则 sin( ) _， cos 53_.(2)(2013 课·标全国 )已知 sin 22，则 cos2 等于 ()341112A. 6B. 3C.2D. 3答案(1) 1091050 10 (2)A解析(1) ， (0， )，从而2< < .221又tan( ) 3<0，2<<0.10310sin()10， cos()10 .34为锐角， sin 5，cos 5.cos cos ( ) cos cos( ) sin sin()4310310910 5×10 5×(10) 50 .1 cos2(2

14、)因为 cos24421 cos 221 sin 222，1 sin 2 12231所以 cos 4 226，选 A.思维升华1.解决三角函数的求值问题的关键是把“ 所求角 ”用 “ 已知角 ” 表示 (1)当 “ 已知角 ” 有两个时，“ 所求角 ” 一般表示为两个“ 已知角 ”的和或差的形式；(2)当 “ 已知角 ”有一个时， 此时应着眼于 “所求角 ”与“ 已知角 ”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角 ”变成 “ 已知角 ”2常见的配角技巧： 2 ( ) ( )， ( ) ， 2 2 ， 22， 2 ( 2) (2 )等(1)设 、 都是锐角，且cos 5， sin( )3，则

15、cos 等于 ()552525A. 25B. 525或255或 5C. 255D. 5253，则 sin(7(2)已知 cos( ) sin 46) 的值是 _65答案(1)A (2) 45解析(1) 依题意得 sin 1cos2 25，5cos( ) ± 1 sin24 ± .5又 ， 均为锐角，所以0<< <， cos >cos()454因为5>5 >5，4所以 cos( ) 5.于是 cos cos( ) cos( )cos sin( )sin 4× 53× 252 55 5 55 25 .4(2)cos(6)

16、sin 53，3342 cos 2sin 53，1343(2cos 2sin ) 53，43sin(6 )53，4，sin( )6574sin( 6 ) sin( 6) 5.高考中的三角函数求值、化简问题2cos2 sin 1典例： (1) 若 tan 2 22， <2<2，则2 _.2sin 41 sin (2)(2014 课·标全国)设 (0， 2)， (0， 2)，且 tan cos ，则 ()A 3 2B 22C3 2D 2 23(3)(2012 大·纲全国 )已知 为第二象限角，sin cos 3，则 cos 2等于 ()5555A 3B 9C. 9D

17、. 3sin 47 °sin 17 cos° 30 °)(4)(2012 重·庆 )cos 17等于 (°3113A 2B 2C.2D. 2思维点拨(1)注意和差公式的逆用及变形(2)“ 切化弦 ”，利用和差公式、诱导公式找， 的关系(3)可以利用 sin 2 cos21寻求 sin ±cos 与 sin cos 的联系(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化cos sin 1 tan 解析 (1) 原式，sin cos 1 tan 又 tan 2 2tan 22，即 2tan2tan 2 0，1 tan2解得 tan 1 或

18、tan 2.21 <2<2，2<<.tan 21 12故原式1 32 2.12(2)由 tan 1 sin sin 1 sin cos 得cos ，cos 即 sin cos cos cos sin ，sin()cos sin( 2 )(0，2)，(0， 2)， (2， 2)， 2 (0，2)，由sin( ) sin(2)，得 2 ，2 2.(3)方法一sin cos 3，(sin cos )2 1，33222sin cos 3，即 sin 23.又为第二象限角且 sin cos 33 >0，32k2<<2 k 4(kZ )，34k<2<4

19、k 2(kZ )，2为第三象限角，25cos 21 sin 2 3 .方法二由 sin cos 31 2sin cos 13 两边平方得3，2sin cos 23.为第二象限角， sin >0 ，cos <0，2sin cos sin cos 33 15sin cos 3，sin 6，由15得3 15sin cos cos 3，6.cos 2 2cos2 1 35.sin 30° 17° sin 17 cos° 30 °(4)原式cos 17 °sin 30 cos° 17 °cos 30 sin° 1

20、7 °sin 17 cos° 30 °cos 17 °sin 30 cos° 17°1cos 17 ° sin 30°2.答案(1)3 22 (2)B (3)A (4)C温馨提醒(1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧方法与技巧1 巧用公式变形：和差角公式变形：tan x±tany tan(x±y) ·(1?tanx·tan y) ；倍角公式变形：降幂公式cos21 cos 21 cos 22，sin22，

21、2配方变形： 1±sin sin2±cos2 ，221 cos 2cos 2， 1cos 2sin2.2重视三角函数的“ 三变 ”：“ 三变 ” 是指 “ 变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求 (或所证明 )问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形失误与防范1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1” 的各种变通22在 (0， )范围

22、内， sin( ) 2 所对应的角 不是唯一的3在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.A 组专项基础训练(时间： 30 分钟 )211已知 tan( )5， tan 44，那么tan 4 等于 ()131331A. 18B.22C.22D.6答案C解析因为 4 4 ，所以 4 () 4，所以tan tan 44tan tan 3422.1 tan tan4 7，则 sin 等于 ()2若 ， ， sin 234283473A. 5B. 5C. 4D. 4答案D解析由 sin 2 37和 sin22得8 cos12 371(3 72(sin cos ) 4) ，8 3 7又 4，2 ，sin

23、 cos 4.3 73同理， sin cos 4，sin 4.1cos 2 8sin2)3已知 tan 4，则sin 2的值为 (65A 43B. 4C4D.233答案B解析1 cos 2 8sin2 2cos2 8sin2sin 2 2sin cos ，22 8tan265tan 4，cos 0，分子、分母都除以cos 得 2tan 4 .4 (2013 ·庆重)4cos 50 °tan 40等°于 ()A.2B.2 32C. 3 D2 21答案C4cos 50 ° tan 404sin 40 cos° 40 °sin 40

24、6;解析°cos 40 °2sin 80 °sin 40 °2sin 50° 30° sin 40°cos 40°cos 40°3sin 50 °cos 50 °sin 40° 3sin 50°cos 40 °cos 403.°)5已知 cos(x )3，则 cos x cos(x)的值是 (6332323A 3B± 3C 1D±1答案C解析1cos x3333(31sin x) 3cos x cos(x ) cos x2si

25、n x cos x2sin x2cos x3222cos(x 6) 1.sin250° _.6 1 sin 10°答案1221 cos 100°解析sin 50°1 sin 10°2 1 sin 10°1 cos 90° 10°1sin 10°12 1 sin 102 1 sin 10°°2.7已知 、 均为锐角，且cos( ) sin()，则 tan _.答案1解析根据已知条件：cos cos sin sin sin cos cos sin ，cos (cos sin ) sin (

26、cos sin )0，即 (cos sin )(cos sin ) 0.又 、 为锐角，则sin cos >0，cos sin 0，tan 1.3tan 12 °3 _.8. 4cos212° 2 sin 12 °答案 4 33sin 12°cos 123解析原式°22 2cos 12°1 sin 12 °132 3 2sin 12 °2 cos 12 ° cos 12 °2cos 24 sin° 12°2 3sin 48°2 3sin 48°2cos 24 sin° 12 cos° 12°°sin 24 cos° 24 2 3sin 48 °14 3.2sin 48°9已知1 sin