初中数学证明教师版1

1、1、（本题满分8分）已知：如图9, e、f是四边形abcd的对角线ac上的两点，af=ce, df=be, dfbe。 求证：（1） aafdaceb；（2）四边形abcd是平行四边形。2、如图，在aabc中，zacb二90。，bc的垂直平分线de交bc于d,交ab于e, f在 de±，且 af=ce=ae.（1）说明四边形acef是平行四边形；（2）当zb满足什么条件时，四边形acef是菱形，并说明理由.考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。 解答：（1）证明：由题意知zfdc=zdca=90°,efca,azaef=zeac,

2、vaf=ce=ae, zf=z aef= zeac= zeca.又 vae=ea,aaaecaeaf,aef=ca,四边形acef是平行四边形.（2）当zb=30°时，四边形acef是菱形.理由是：vzb=30°, zacb=90°,ac二错误味找到引用源。，vde垂直平分bc,be=ce,又 tae 二 ce,ce二错误味找到引用源。，ac=ce,四边形acef是菱形.点评：本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确常握判定定理是解题的 关键.3、已知：如图，在aabc屮，bc=ac,以bc为直径的oo与边ab相交于点d, de丄ac,垂足为点e.(

3、1) 求证：点d是ab的中点；(2) 判断de与o0的位置关系，并证明你的结论；(3) 若oo的直径为18, cosb二错误!未找到引用源。，求de的长.考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形。解答：解：(1)证明：连接cd,则cd丄ab,又 tac 二 bc,ad二bd,即点d是ab的中点.(2) de是0o的切线.理由是：连接0d,则do是aabc的屮位线，doac,又tde丄ac,ade丄do即de是oo的切线；vac=bc,zb=za,cos z b=cos z a二错误!未找到引用源。， vcoszb=错误!未找到引用源。,bc=18, °bd=6,ad

4、=6,* cos z a二错误!未找到引用源。， aae=2, 在rtaaed中，de二错误!未找到引用源。.4、(本题满分10分)如图，在aabc中，d是bc边上的一点，e是ad的屮点，过a点作bc的平行线交ce 的延长线于点f,且af二bd,连结bf。(1) 求证：bd二cd；a(2) 如果ab二ac,试判断四边形afbd的形状，并证明你的结论。证明：（1） v af / bc , :. zafe = zdcee 是 ad 的中点， ae = de zafe = zdce z ae = de aaef = adec(y)zdof=za+zado = 60°(1)在 rt z1 d

5、of 中，od = 4df=od sinzdof = 4 sin60° =23(3z)j直径ab丄弦dg :. df = fg(5,):dg = 2df = 4羽(6)b dzaef = zdec:.af = dc, -af = bd:. bd = cd (5)(2)四边形afbd是矩形(6)v ab = ac, d是 bc 的中点 /. ad 丄 bc , /.zadb = 90° / af = bd, af / bc :.四边形afbd是平行四边形 又zadb = 90°四边形afbd是矩形. (10 )5、（本题满分12分）如图，ab=bc,以ab为直径的0

6、o交ac于点d,过d作de丄bc,垂足为e。（1）求证：de是oo的切线；（2）作dg丄ab交g>0于g,垂足为f,若za=30° , ab = 8,求弦dg的长。(1)证明：连结od.voa=od, za=zado.vba=bc, aza=zc. zado=zc.dobc.vde丄bc .do丄de.又点d在oo ± ade是(do的切线(6)(2)解：6、（本题满分10分）已知：如图，在厶abc中，ab=ac, ad丄bc,垂足为点d an 是zxabc外角zcam的平分线，ce丄an,垂足为点e.（1）求证：四边形adce为矩形.（2）当4bc满足什么条件时，四

7、边形adce是一个正方形？ 并给出证明.【分析】(1)因为ad丄bc, ce丄an, ad、ae分别是zbac的内角、外角平分线， 所以zdan=90°, 四边形adce为矩形。(2)当ad二cd 口寸，四边形aqce是一个正方形。所以zadc是等腰直角三角形。从 而易证aabc也是等腰直角三角形。【答案】1)因为4d丄bc, ce丄an, ad、ae分别是zbac的内角、外角平分线， 所以zdan=90°, 四边形adce为矩形。(2)条件：aabc是以zbac为直角的等腰直角三角形。当ad=cd时，四边形adce 是一个正方形。所以aadc是等腰直角三角形。从而易证aa

8、bc也是等腰直角三角形。7、(本题满分12分)如图，oo是aabc的外接圆，且ab=ac.点d在弧bc上运动(不与b、c重合)，过 点d作de/bc, de交ab的延长线于点e,连结ad. bd.(1) 求证：zaqb二ze.a(2) 当点d运动到什么位置时，de是的。0切线？请说明理/tkx由/ / (3)当ab=5, bc=6时，求<30的半径.【分析】因为ab二ac, zabozc, zc二zadb,又 e :de/bc, zabc=ze,所以zadb二ze。 (2)当 0d丄dde时,debc, od丄bc,根据垂径定理,d为 弧bc的屮点。(3)可以利用三角形相 似，也可以利用

9、正弦定理。【答案】因为 ab=ac,zabc二zc, zc=zadb,丈：de/bc,：zabc=ze, 所以zadb二ze。(2)当od丄de时,debc, .0d丄bc,根据垂径定理,d为 < bc 的屮点。(3)可以利用三角形相似，也可以利用正弦定理。8、(12 分)如图，在aabc 中，zc=90 ac+bc=8，点 0 是 斜边ab上一点，以0为圆心的00分别与ac、bc相切于 点 d、e.(1)当ac = 2时，求00的半径； (2)设ac=无，00的半径为y,求y与兀的函数关系式.c眸：连接 od、oe、0c(26题图)d、e为切点0d丄ac,0e丄bc, 0d=0e.s&

10、amp;8c = saaoc + sfoc1 11 t ac bc=-ac od+-bc oe2 22tac+bc二8,ac=2, bc二61 1 1at x2x6二二 x2x0d+t x6x0e2 2 2而 od=oe,3 3.0d=,即g>0的半径为二(2) (7 分)解：连接 od、oe、00d、e为切点0d 丄 ac,oe 丄 bc, od 二 oe 二 y.s&/c = saaoc + sioc111t acbc二二ac0d+ - bcoe222vac+bc=8, ac=x , a bc=8- %2”(8-x )化简：8x 一 x2 = xy + sy - xy9. （

11、10 分）如图（1）,在aabc 和aedc 屮，ac=ce=cb=cd, zacb= zecd= 90°, ab 与 ce交于f, ed与ab、bc分别交于m、h.（1）求证:cf=ch；（2）如图,zabc不动，将zedc绕点c旋转到zbce=45°时,试判断四边形acdm是 什么四边形？并证明你的结论.解：（1） （5分）证明：在zkacb和aecd中rvzacb=zecd=90°az1 + zecb=z2+zecb,az1=z2又 vac=ce=cb=cd, za=zd=45°aaacbaecd,（5分）答：四边形acdu是菱形d证明：vzacb

12、二zecd二90°, zbce二 45°az1=45°,z2=45°又 vze=zb=45：.zl=ze, z2二zbachd, cd/am ,.acdm是平行四边形又 vac=cd,z-acdm 是菱形10、（2011遵义）把一张矩形abcd纸片按如图方式折叠，使点a与点e重合，点c 与点f重合（e、f两点均在bd上），折痕分别为bh、dg.（1）求证：bhe9adgf；（2）若 ab=6cm, bc=8cm,求线段 fg 的长.解答：解：（1）四边形abcd是矩形，ab二cd, za=zc=90°, zabd=zbdc, abeh是abah翻折而成，a z1 = z2, za=zheb=90°, ab=be, adgf是adgc翻折而成， az3=z4, zc=zdfg=90°, cd=df,a abeh 与zsdfg 屮，zheb=zdfg, be二df, z2=z3,a a