一题多解-----求双曲线的离心率

1、一、典例分析，融合贯通典例 1【 2016年山东卷理科第13题】已知双曲线x2y2，若矩形 ABCD 的四个顶点E :2 b2= 1(a > 0,b > 0)a在 E 上， AB,CD 的中点为 E 的两个焦点，且2AB = 3BC ，则 E 的离心率为【解法1】直接法由题意 BC = 2c ，所以 AB= 3c ，（ c,3c292c )2c2 = 1，于是点2在双曲线 E 上，代入方程，得a4b在由 a2+ b2= c2e = c = 2.得 E 的离心率为a【点睛之笔】直接代入，少走弯路！【解法 2】通径法A(c, b2)B(c,b2)| AB | 2b22c ，由 2 AB

2、3 BC ，c2a2b2得离心率 e 2易得a，a，所以a，|BC |1e或2 （舍去），所以离心率为 e 2.【点睛之笔】通径法，此径通幽！【点睛之笔】几何法，利用图形画出美好未来！【解后反思】解法 1：直接将数据代入，直奔主题，不走回头路！解法 2：利用通径，减少计算量！解法 3：利用数形结合法，以形助数！高中数学典例 2【 2009 全国卷，理4】设双曲线x2y2(a 0, b 0) 的渐近线与抛物线2相切，则该a1y=x +12b 2双曲线的离心率等于（）A. 3B.2C.5D.6【点睛之笔】设而不求法，不求也能求！【解法 2】导数法设切点 P(x0 , y0 )y '2x,b

3、切线斜率 k2 x0abx02a高中数学y0b x0b22 ,a2ab2y01,2ab24a2 .又 c2a2b2 , c2a24a25a2ce5 ，故选 C.a【点睛之笔】导数法，快速确定解题方向！【解后反思】解法 1: 设而不求法，再也不求人！解法 2：利用导数的几何意义，迅速突破难点，确定解题方略！3. 典例 3 双曲线x2y 21 的离心率为 e , 双曲线y 2x2则1的离心率为 e ,a 2b 21b 2a 2211_, e1+e2的最小值为 _.e1·e2 的最小值为 _ .22e1e2由双曲线离心率定义知：e1a2b 2,e2a 2b 2,故有111.abe12e22

4、【点睛之笔】均值不等式，不患寡而患不“均”！【解法 2】换元法高中数学不妨设 e1x1, e2y111, 求 xy 、 xy 的最小值。1 ，则问题相当于：y 2x2由均值不等式得： 111112， xy2 ，等号成立，当且仅当 xy，即 e1e2 ，x 2y 22y 2xyx2进而推出ab, 即 e1e22时 . 而 ( xy) 2x 2y22xyx2 y 22xy22228222 28，xy 22，等号成立，当且仅当e1e22 时取等号（由111, 去分母可得：x2y 2x2y 2x 2 y 2 ） .故答案依次为： 1,22,2 .【点睛之笔】换元法，换了都说好！【解后反思】解法 1：一

5、正二定三相等，解起题来不需等！解法 2：换元法，越换越简练，越换越明了！二、精选试题，能力升级1. 【 2018 辽宁省八中模拟】已知双曲线x2y21(a0, b0) 的左、右焦点为F1 、 F2 ，在双曲线上存a2b2在点 P满足 2 PF1PF2F1F2, 则此双曲线的离心率 e 的取值范围是（）A. 1 e 2 B.e 2 C.1 e 2 D.e2【答案】 B2. 【 2018 广东省海珠区一模】已知双曲线x2y20, b 0) 的两条渐近线均与圆C :2b2 1(aax2y26x5 0 相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C 的离心率为（ ）A.6B.6C.35D.53252高中数学

6、【答案】 C【解析】双曲线x2y21 a0, b0的渐近线方程为yb x ，即 bxay0 ，圆a2b2aC : x2y26x50x324,C3,02化为标准方程y2，半径为，双曲线223bxy1 a0, b0 的两条渐近线均和圆C : x2y26x50 相切，2, 9b24b24a2b2a2a2b22, 9b 4b24a2b24a2 ,b2c2a25 c2a24a2 ，9a25c2 ,ec35，双曲线离心a5率对于 35，故选 C.5x2y21(a0, b0)上存在一点 P满足以 OP 为边长的正方形3. 【 2018 广西柳州市一模】若双曲线2b2a的面积等于 2ab （其中 O为坐标原点

7、），则双曲线的离心率的取值范围是（）A.1,5B.1,7C.5 ,D.7 ,2222【答案】 C4. 【 2018 湖南省永州市一模】 已知点 P 为双曲线 x2y21(a 0, b 0) 右支上一点，F1, F2 分别为双曲a2b2线的左右焦点，点I 为1 2 的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有1S IPF1S IPF2SPF F2IF1F2 成立，则双曲线的离心率取值范围为（） A.1,2B.1,2C.0,2D.2,3【答案】 A高中数学【解析】如图，设圆 I 与F1F2 的三边 F1F2、 PF1 、 PF2 分别相切于点E,F ,G ，连接 IE 、 IF、IG，则IEF1F2 ,

8、IFPF1 , IGPF2 ，它们分别是IF1F2 ,IPF1 ,IPF2 的高S IPF1IFr,S IPF1PF2IGrPF2 ， S IFF1rF1 F2PF1PF122F1F2IE12222122其中 r 是PF1 F2 的内切圆的半径， 因为 S IPFS IPF21SIFF 所以 r PF1rPF2rF1F2 ，两边约去1212224r 得 PF1PF21 F1F2, PF1 PF21F1F2 ，根据双曲线定义， 得 PF1PF22a, F1 F22c ，2222ac离心率为c2 ，双曲线的离心率取值范围为1,2，故选 A.ea5. 【 2018 陕西西工大附中六模】已知双曲线x2

9、y21(a 0, b0) 的两条渐近线与抛物线y28x 的a2b2准线分别交于 A, B 两点，O 为坐标原点，若ABO 的面积为43 ，则双曲线的离心率为( )A.7B.2 C.13 D.42【答案】 B高中数学6. 【 2013 课标全国，理4】已知双曲线 C： x2y2=1 (a，b0)的离心率为5 ，则 C的渐近线方程a2b202为 () A y1B y1C y1xD y± xxx243【答案】：C【解析】： ec5 ， e2c2a2b25. a24b2，b =1. 渐近线方程为 yb x1 x .a2a2a24a2a27.【 2011 全国新课标，理7】设直线l过双曲线C的

10、一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 ，AB 两点， | AB| 为 C的实轴长的 2倍，则C的离心率为 ()A2B3C 2D 3【答案】 B【解析】高中数学8. 【 2015 高考新课标1，理 5】已知 M（ x0 , y0）是双曲线 C： x2y21上的一点， F1, F2 是 C上的两个2焦点，若 MF1 ? MF20 ，则 y0的取值范围是 ( )（A）（-3 ，3 ） （B）（-3 ，3 ）（ C）（2 2，2 2）（D）（2 3，2 3）33663333【答案】 A【解析】由题知F1 (3,0), F2 (3,0) ， x02y021，所以 MF1 ?MF2 =(3 x0,y0 ) ?( 3x0, y0 )2= x02y0233 y021 0，解得3y03，故选 A.339. 【 2018 湖南两市九月调研】 已知 F 为双曲线 x2y21(a0, b0) 的左焦点， 定点 A 为双曲线虚轴的a2b2一个端点，过 F , A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B，若 AB3FA ，则此双曲线的离心率为 _ 高中数学【答案】4310.