第二节第二类曲线积分

1、第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 第二类（对坐标）曲线积分 第十一章 一、一、 第二类（对坐标）曲线积分的概念与性质第二类（对坐标）曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, ABLxy求移cosABFW “分割” “近似”“求和” “取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxF

2、1kMkMABxy1) 分割分割 “大化小大化小”.2) 近似近似 “常代变常代变”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykx3) 求和求和 “近似和近似和”4) “取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)2. 定义定义. 设 L 为xoy 平面内从

3、 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分. 其中, ),(yxPL 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线 .称为被积函数被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作),(yxF),(yxQLxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若 为空间曲线弧 , 记称为

4、对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 类似地, （1）所谓“对坐标的曲线积分”，有两个特征： 积分和是在有向曲线弧L上作出的； 积分和中的微元素是有向小弧段所对应的关于 坐标x和y 的增量。说明：说明：即被积表达式中的微分是关于坐标x和y的微分。（2）当P (x , y) , Q (x , y)在有向光滑曲线弧L上连续，第二类曲线积分都存在。 Lx

5、dyxP),(iniiixP 10),(lim3. 性质性质(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则LyyxQxyxPd ),(d ),(LyyxQxyxPd ),(d ),(则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 ! 第一类曲线积分中的不等式保号性质在此不成立 Lxdyxf),(,),(lim10iniiixf 1 iiixxx 可正可负。可正可负。在中二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计

6、算法定理定理:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分存在, 且有LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,即动点从 L 的起点A沿 L 的方向运动到终点B时，对应参数设分点证明：根据定义ix,it),(ii点,i由于1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(limiit)(niiiP10)(, )(limiit)()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim对应参数连续所以)(t因为L 为光滑弧 ,同理可

7、证LyyxQd),(tttQd )(),()(t计算的理解与应用,)( )()( )(,),(),() 1 ( dd dd dd ttytyttxtxyyxQxyxPL只要将计算 :,，即计算定积分不一定小于，与起点、终点对应的参数上下限取代入上式LttttQtttPd)( )(),()( )(),(即可（2） 如果 L 的方程为,:),(baxxy则LyyxQxyxPd),(d),(xxxQxxPbad )(,)(,)(x（3） 如果 L 的方程为,:),(dcyyx则LyyxQxyxPd),(d),(dcydyyQyyyP),()(),(（4）对空间光滑曲线弧 :类似有zzyxRyzyxQ

8、xzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx,)()(:)5(xzxy ax起点起点 A， bx终点终点 B,)(xdxdy,)(xdxdzRdzQdyPdxbaxxxP)(),(,)()(),(,xxxxQdxxxxxR)()(),(,例例1. 计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2解法解法1 取 x 为参数, 则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112x

9、yxy 解法解法2 取 y 为参数, 则11:,:2yyxL54d2114yy从点xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx例例2. 计算其中 L 为,:, 0aaxyyBAoaa x(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则 特点

10、：路径不同积分结果不同.yxo例例3. 计算,dd22yxxyxL其中L为(1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式yxxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11特点：特点：路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.解解 直线段直线段AB的方程是的方程是;123zyx 化为参数方程得化为参数方程得.

11、01,2,3变到从ttztytx例例 4 计算计算其中,3223ydzxdyzydxx从点从点A（3，2，1）到点）到点B（0，0，0的直线段的直线段AB。是是所以所以ydzxdyzydxx2233012232)3(2)2(33)3(dtttttt01387dtt487例例5. 设在力场作用下, 质点由沿移动到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxydddttkR2022d)(2) AB 的参数方程：kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20dBAzyx试求力场对质点所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk 222

12、k其中为),(zxyFsFWdsFWdozyx例例6. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 计算的关键是计算的关键是取 的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(cos)sin)(cos2(tt 2起点终点两类曲线积分的区别两类曲线积分的区别：共同点：共同点：和式的极限，和式的极限均要求两个 无关性（与曲线的分法和点的取法无关）注意：注意：两者计算时对积分上下限的要求不同点：不同点：和式中乘积项的一个因子不同，一个是 小弧段的

13、弧长，也即对弧长求和，与曲线定向 无关；另一个是小弧段在坐标轴上的投影，即 小弧段对应有向弦的坐标，因而是对坐标求 和，与曲线定向有关。三、三、 两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系 1、 两类曲线积分之间的联系公式为:LLsQPyQxPd)coscos(ddbaBAtytxLBAL、对应参数为、终点的起点有向曲线弧设说明 )()(:) 1 (:该曲线弧L上的一动点的切向量: )( ),( ttt处切线向量的方向角上为、),(yxL方向与参数 t 增大时动点移动的走向一致切向量的方向余弦：22( )cos ( ) ( )ttt22( )cos ( ) ( )ttt由对坐标的曲线积分计算

14、公式:d( )dxtt22cos( )( ) dtttcosdsd( )dytt22cos( )( ) dtttcosdsddLPxQy所以(coscos)dLPQs)(),(ttT 为动点 ( x , y ) 处的一个切向量类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd, ),(RQPA )d,d,(ddzyxs )cos,cos,(cost sA d sA dstAd记 A 在 t 上的投影为有向曲线弧某动点的单位切向量有向曲线元二者夹角为 例例7. 设,max22QPM曲线段 L 的长度为s, 证明),(, ),(yxQyxP续

15、,sMyQxPLdd证证:LyQxPddsQPLdcoscos设sMsQPLdcoscos说明说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 )cos,(cos, ),(tQPAstALdsALdcos例例8. .将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圆周解：解： RdzQdyPdx)3,2, 1()3

16、 ()2(112222tttt)(),(),(tttT )3,2, 1(2tt 其中，其中，32,:tztytx 相应于相应于 t 从从 1 变到变到 0 的一段曲线弧的一段曲线弧例例9：将将化为第一类曲线积分化为第一类曲线积分注意注意 的方向是对应于的方向是对应于 t 从从 1变到变到 0 ， 故与故与 方向一致的切向量为方向一致的切向量为)3,2, 1(941122yxyx RdzQdyPdx sdRQP)coscoscos(229411(yxP229412yxxQsdyxyR)941322sdyxyRxQP22941321. 定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQx

17、yxPd),(d),(2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结3. 计算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(zzyxRyzyx

18、QxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 对空间有向光滑弧 : F原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1. 设一个质点在),(yxM处受恒指向原点,)0,(aA沿椭圆此质点由点12222byax沿逆时针移动到, ),0(bB),(yxMxyo)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t, ),(yxOM F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF),(xyk -思考思考: 若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 )0