第一章矩阵代数的相关知识

1、第一章 矩阵代数v1.1 定义v1.2 矩阵的运算v1.3 行列式v1.4 矩阵的逆v1.5 矩阵的秩v1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹v1.7 正定矩阵和非负定矩阵v1.8 特征值的极值问题1.1 定义111212122212qqpppqaaaaaaaaaApq矩阵：12paaaap维列向量：q维行向量： a=(a1,a2, ,aq)向量a的长度：22212paaaaa a单位向量：1av若A的所有元素全为零，则称A为零矩阵，记作A=0pq或A=0。v若p=q，则称A为p阶方阵，a11,a22, ,app称为它的对角线元素，其他元素aij(ij)称为非对角线元素。v若方阵A的对角线下方的元

2、素全为零，则称A为上三角矩阵。显然，aij=0,ij。v若方阵A的对角线上方的元素全为零，则称A为下三角矩阵。显然，aij=0,i0，则称A为正定矩阵，记作A0；若对一切x，有xAx0，则称A为非负定矩阵，记作A0。对非负定矩阵A和B，AB表示AB0；AB表示AB0。正定矩阵和非负定矩阵的基本性质v(1)设A是对称矩阵，则A是正定(或非负定)矩阵，当且仅当A的所有特征值均为正(或非负)。v(2)设A0，则A的秩等于A的正特征值个数。v(3)若A0，则A10。v(4)设A0，则A0，当且仅当|A|0。v(5)若A0(或0)，则|A|0(或0)。v(6)BB0，对一切矩阵B成立。v(7)若A0(或

3、0)，则存在 0(或0)，使得 称为A的平方根矩阵。v(8)设A0是p阶秩为r的矩阵，则存在一个秩为r(即列满秩)的pr矩阵B，使得A=BB。12A111222AA AA，平方根矩阵的性质v若A为p阶对称矩阵，有谱分解则有如下性质：11221210=,0ppi i iipp ttA TTt ttt tt121pi i iiAtt平方根矩阵的性质112211221112221111112222221-1-1;1()=()pi iiiAAA AAAAttTT AA AAAIAAAA正定时；正定时正定矩阵和非负定矩阵的基本性质(9) 若A0, B0, A-B0, 则 B-1- A-1 0(10) 若

4、A为n 阶正定矩阵，B为n阶半正定矩阵， 则 |A+B|A|+|B|（当B正定时，不等式严格成立）(11) 若C0， 将C剖分为其中C11为方阵，则 C110, C220, C11.20, C22.10 11122122CCCCC投影矩阵的基本性质v(1) 若A是投影矩阵，则tr(A)=rank(A)v(2)若A是投影矩阵,则I-A也是投影矩阵v(3)若A是秩为r的投影矩阵，则A的r个特征值为1，其余为0. 故满秩的投影矩阵必为I。v(4) 若A和B均为投影矩阵，且A+B=I，则AB=BA=0v(5) 若X是np矩阵，np，rank(X)=p, 则 H=X(XX)-1X是投影矩阵，且rank(H)=p.1.8 特征值的极值问题v(1)若A是p阶对称矩阵，其特征值依次为12 p，则v(2)若A是p阶对称矩阵，B是p阶正定矩阵，12 p是B1A的p个特征值，则v(3)柯西许瓦兹不等式(CauchySchwarz) 若B0，则(xy)2(xBx)(yB1y)1maxminpxxx Ax x xx Ax x x001maxminpxxx Ax x Bxx A