两条相交直线夹角

1、课题：两条相交直线的夹角 ( 教案 )【教案目标】：1、理解两条直线相交时, 直线夹角与直线方向向量夹角的关系；掌握根据已知条件求出两条相交直线的夹角；2、理解两条直线垂直的充要条件.3、体会数形结合的数学思想，培养思维能力.【教案重点】：两条相交直线的夹角.【教案难点】：夹角公式的应用.【教案过程】：一、 课题引入：平面上两条直线有几种位置关系？相交、平行、重合（垂直是相交的一种特殊情形）下面我们对两条直线的位置关系作进一步研究（引出课题：两条直线的夹角）二、新课讲授：1. 两条直线的夹角：平面上两条相交直线，它们构成四个角，是两对对顶角如果一对是锐角，另一对是钝角，那么我们规定锐角作为它们

2、的夹角如果四个角都是直角，那么规定两直线夹角是直角，此时也称两条直线相互垂直平面上两条直线相交时构成两组对顶角我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角 规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为所以，两条相交直线的夹角 022. 夹角公式：如果已知两条直线的方程分别为：l1 : a1 x b1 y c10（其中 a ,b 不同时为零，l2 : a2 x b2 y c2011a2 , b2 不同时为零）系数确定，方程确定，直线确定，它们的夹角也就确定，那么如何根据方程来求l1 与 l 2的夹角？设 l1 ,l2 的方向向量分别为d1 , d2 ，向量 d1 , d2 的夹角为，直

3、线 l1 ,l 2 的夹角为将直线 l1,l2 的方向向量 d1, d2 平移至同一起点，构成四种情形，如图yd1d2l1Ol2x当 0时，；当时，于是， coscos 22根据直线方程，可设它们的方向向量分别为：d1b1, a1 , d2b2 , a2 由夹角的计算公式得： cosd1 d2a1a2b1b2，d1 d2a12b12a22b22a abb2于是，两条直线的夹角公式为：cos121a2b2a2b21122a1 ,a2 , b1 ,b2 分别是直线一般式方程中x, y 前面的系数，已知这四个数就可以应用夹角公式求两直线夹角的余弦因为余弦函数在0,上单调递减，所以此时角是唯一确定2的

4、例 1、已知两条直线的方程分别是：l1 : x 2 y3 0, l2 : x 3 y 20 ，求两条直线的夹角 11232 ，解：由题意： cos2212( 3)2122，即两直线的夹角为44练习： 求下列各组直线的夹角.（1） l1 : y3x1,l 2 :3 yx402（2） l1 : x20,l2 : 3xy306（3） l1 : yx1 0,l 2 : y44例 2、已知直线 l1 :3xy0 与直线 kxy10 ，若直线 l1 和直线 l2 的夹角为 60 ，求k 的值 .解：由 |3k1|1 得 k3或0 .2k212cos0 得两直线的夹角为，称两条直线相互垂直，是两直线相交的一

5、种特殊情2形，回顾夹角公式的推导过程你能否找到一个关于两直线垂直 （板书）的命题？当 a1 a2b1b2 0 时， cos0，此时，两直线相互垂直；反之，当两直线2垂 直 时 ， 它 们 的 方 向 向 量 d1b1 , a1 , d2b2 , a2也相互垂直，所以d1 d2 bb1 2a1a2 0 两条直线垂直的 充要条件 是： a abb20 ；121当 k1 , k2都存在时，两条直线垂直的充要条件是： kk1；12所以两条直线垂直的充要条件也可为：k1 k21 或一条斜率不存在另一条的斜率为零例 3、已知直线 l 经过点 P2,3，且与直线 l 0 : x3 y 20的夹角为，求直线

6、l3的方程解：设直线 l 的一个法向量为na, b，则直线 l 的点法向式方程为：ax2by30整理得： ax by2a3b0，a3b1a3ba2b2b23ab由公式得：a2b21 32当 b0 时，直线方程为：x20；当 b0 时， b3a ，直线方程为：x3y10 ；所以，直线 l 的方程为： x3y 10 或x 20注意：此处设直线的点法向式方程，而不是点方向式方程或点斜式方程是因为只有点法向式方程可以表示所有直线解 2：若直线 l 的斜率存在，设直线l的方程为： y3k ( x 2) .则由题意：k331 ，解得 k3.k 21123直线方程为： x3y10 .若直线 l 的斜率不存在

7、，即方程为x2 ；则直线 l 与直线 l0 的夹角为，满足题意 .3所以，直线 l 的方程为： x3y1 0或 x2 0 解 3：设直线 l 的一般式方程为：axbyc0（ a, b 不同时为零）a2b3c 0则由题意：a3b1，后解同解13a2b22定义，0三、小结： 1. 两条直线的夹角2a1 a2b1b2夹角公式 cosb12a2 2b2 2a122. 设直线方程时要依题而设，好中选优；利用画图、数形结合的方法课题：两条相交直线的夹角 ( 学案 )【教案目标】：1、理解两条直线相交时 , 直线夹角与直线方向向量夹角的关系；掌握根据已知条件求出两条相交直线的夹角；2、理解两条直线垂直的充要

8、条件.3、体会数形结合的数学思想，培养思维能力.【教案重点】：两条相交直线的夹角.【教案难点】：夹角公式的应用.【教案过程】：1.两条直线的夹角：平面上两条直线相交时构成两组对顶角我们规定_ 为两条相交直线的夹角规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为_两条相交直线的夹角_.2.夹角公式：l1 : a1 x b1 y c10如果已知两条直线的方程分别为：l2 : a2 x b2 y c2（其中 a1 ,b1 不同时为零，0a2 , b2 不同时为零）如何根据方程来求l1与 l2 的夹角？两条相交直线的夹角公式为： _ 例 1、已知两条直线的方程分别是：l1 : x2 y30,l2 : x3

9、y20 ，求两条直线的夹角练习： 求下列各组直线的夹角.（1） l1 : y3x1,l 2 :3 yx40（2） l1 : x20,l2 : 3xy30（3） l1 : yx1 0,l 2 : y4例 2、已知直线 l1 :3xy0 与直线 kxy10 ，若直线 l1 和直线 l2 的夹角为 60 ，求k 的值 .两条直线垂直的充要条件是：_ ；两条直线垂直的充要条件也可为：_ 例 3、已知直线 l 经过点 P2, 3 ，且与直线 l 0 : x3 y 2 0 的夹角为，求直线 l3的方程【课堂小结】两条直线的夹角：【课后作业】两条相交直线的夹角课后作业1求下列两组直线的夹角：（1） l1 :

10、3xy0, l2 : x3y20 ；6（2） l1 : x10, l2 : xy50 ；4（3） l 1 : 3x4y120 与 l 2 : x3.3arccos2. 已知直线l1 : axy10,l 2 : xay20 ，其中 aR 且 a0 ，求直线 l1 与 l 2 的夹角.231）已知直线3x y 0与直线kx y 1 0的夹角为 60，求实数 k 的值（k0或 k3（ 2）经过点（ 3， 5），且与直线3x2 y70 之间成 45 角的直线方程 .5xy200 或 x5y2204若直线3a2 x14a y80 与直线5a2 xa4 y70 互相垂直，求a 的值 .0 或 15 已知等

11、腰三角形ABC 的斜边AB 所在直线的方程为3xy50 ，直角顶点为C 4, 1 ，求两条直角边所在直线的方程2xy70, x2 y606. 已知ABC 的三个顶点为 A( 2,1), B(6,1), C (5,5)(1) 求ABC 中 A 的大小。 (2)求A 的平分线所在直线的方程 .（1） Aarccos 3（ 2） x2 y0 .5两条相交直线的夹角课后作业1求下列两组直线的夹角：（1） l1 :3xy0, l2 : x3y20 ；（2） l1 : x10, l2 : xy50 ；（3） l 1 : 3x4y120 与 l 2 : x3.2.已知直线l1 : axy10, l2 : xay20 ，其中 aR 且 a0，求直线 l1 与 l 2 的夹角.3（ 1）已知直线3xy0 与直线 kxy10 的夹角为 60 ，求实数 k 的值（ 2）经过点（ 3， 5），且与直线3x2 y70 之间成 45 角的直线方程 .4