与圆有关的动点问题

1、.与圆有关的动点问题1、如图，O的直径 AB=4，C为圆周上一点， AC=2，过点 C作O的切线 DC，P 点为优弧 CBA上一动点（不与 AC 重合）（ 1）求 APC与 ACD的度数；（ 2）当点 P 移动到 CB弧的中点时，求证：四边形 OBPC是菱形（ 3） P 点移动到什么位置时， APC与 ABC全等，请说明理由2、如图，在菱形 ABCD中， AB 23， A60o，以点 D为圆心的D 与边 AB相切于点 E(1) 求证：D 与边 BC也相切；(2) 设D与 BD相交于点 H，与边 CD相交于点 F，连接 HF，求图中阴影部分的面积 ( 结果保留) ；(3) D上一动点 M从点 F

2、 出发，按逆时针方向运动半周，当SHDF3 SMDF时，求动点 M经过的弧长 ( 结果保留) .3、半径为 2cm 的与 O 边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧， O 与 l 相切于点 F，DC 在 l 上（ 1）过点 B 作的一条切线 BE ，E 为切点填空：如图 1，当点 A 在 O 上时， EBA 的度数是；如图 2，当 E， A， D 三点在同一直线上时，求线段OA 的长；（ 2）以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边 BC 与OF 重合时结束移动， M，N 分别是边 BC ，AD 与 O 的公共点，求扇形M

3、ON 的面积的范围4、如图， RtABC 的内切圆 O 与 AB 、BC、 CA 分别相切于点 D、E、F，且 ACB=90 °，AB=5 ，BC=3，点 P 在射线 AC 上运动，过点 P 作 PH AB ，垂足为 H（ 1）直接写出线段 AC 、AD 及 O 半径的长；（ 2）设 PH=x， PC=y，求 y 关于 x 的函数关系式；（ 3）当 PH 与 O 相切时，求相应的 y 值.5、如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，点 M 是 BC 的中点， P 是线段 MC 上的一个动点（不与 M 、 C 重合），以 AB 为直径作 O，过点 P 作O 的切线，交 AD 于点 F

4、，切点为 E（ 1）求证： OF BE；（ 2）设 BP=x， AF=y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（ 3）延长 DC、FP 交于点 G，连接 OE 并延长交直线 DC 与 H（图 2），问是否存在点 P，使 EFOEHG（ E、 F、O 与 E、H、G 为对应点）？如果存在，试求（ 2）中 x 和 y 的值；如果不存在，请说明理由6、如图， O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交 O 于 C、D 两点，直径 AB CD，点 M 是直线 CD 上异于点 C、O、D 的一个动点， AM 所在的直线交于 O 于点 N，点 P 是直线 CD 上另一点，且

5、PM=PN（ 1）当点 M 在 O 内部，如图一，试判断 PN 与 O 的关系，并写出证明过程；（ 2）当点 M 在 O 外部，如图二，其它条件不变时， （1）的结论是否还成立？请说明理由；（ 3）当点 M 在 O 外部，如图三， AMO=15 °，求图中阴影部分的面积.答案：1、解：（ 1）连接 AC，如图所示：1 AB=4， OA=OB=OC= AB=2。2又 AC=2， AC=OA=OC。 ACO 为等边三角形。 AOC=ACO=OAC=60°， APC=1 AOC=30°。2又 DC与圆 O相切于点 C， OCDC。 DCO=90°。 ACD=D

6、CO ACO=90° 60°=30°。（ 2）连接 PB， OP，AB 为直径， AOC=60°， COB=120°。当点 P 移动到弧CB的中点时， COP=POB=60°。 COP和 BOP都为等边三角形。 AC=CP=OA=OP。四边形AOPC为菱形。（ 3）当点 P 与 B 重合时， ABC 与 APC重合，显然 ABC APC。当点 P 继续运动到CP经过圆心时， ABC CPA，理由为：CP与 AB 都为圆 O的直径， CAP=ACB=90°。在 RtABC与 RtCPA中， AB=CP，AC=AC RtABCR

7、tCPA（ HL）。综上所述，当点P 与 B 重合时和点P 运动到 CP经过圆心时， ABC CPA。2、解：（ 1）证明：连接DE，过点 D 作 DN BC ，垂足为点N 。四边形 ABCD 是菱形， BD 平分 ABC 。 D 与边 AB 相切于点E， DE AB 。 DN=DE 。 D 与边 BC 也相切。（ 2）四边形 ABCD 是菱形， AB 2 3， AD AB 2 3。又 A 60o， DE ADsin60 0 3，即 D 的半径是 3。又 HDF 1 HADC 60o， DH DF， HDF 是等边三角形。2过点 H 作 HGDF ，垂足为点G，则 HG 3sin600 33

8、。2.13960323。S HDF33，S扇形 HDF43222360 S阴影S扇形 HDFS HDF3936 93 。244（ 3）假设点M 运动到点 M 1 时，满足S HDF 3SMDF ，过点M 1 作 M 1PDF ，垂足为点P，则913333 M1P，解得 M P=。422 M 1P= 1 DM 1 。 M 1DF 30o。2此时动点 M 经过的弧长为：303180。2过点 M1作 M1M2DF 交 D 于点 M2，则满足 S HDF = 3S M1DF3S M2DF ，此时 M 2DF 150o，动点 M 经过的弧长为：15035。18023解：（ 1）半径为 2cm 的与 O

9、边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧，当点A 在 O 上时，过点 B 作的一条切线 BE ， E 为切点， OB=4 ， EO=2 ， OEB=90° ， EBA 的度数是： 30°；如图 2，直线 l 与 O 相切于点F， OFD=90° ，正方形 ADCB 中， ADC=90° ， OFAD ， OF=AD=2 ，四边形OFDA 为平行四边形， OFD=90° ，平行四边形OFDA 为矩形， DAAO ，正方形 ABCD 中， DA AB ， O， A， B 三点在同一条直线上； EAOB ， OEB= AOE ， E

10、OA BOE ， OA OE，OE OB OE 2 =OA?OB ， OA （ 2+OA ）=4 ，解得： OA=-1±5 ，OA0， OA=5 -1；方法二：.在 Rt OAE 中， cos EOA=在 Rt EOB 中， cos EOB=OAOA，OE2OE2，OBOA2 OA2，2OA2解得： OA=-1±5 ，OA0， OA=5 -1；方法三： OEEB ，EA OB，由射影定理，得 OE2 =OA?OB ， OA （ 2+OA ）=4 ，解得： OA=-1±5 ， OA0， OA= 5 -1；（ 2）如图 3 ，设 MON=n° ， S 扇形

11、MON = n×22 =n （ cm 2），36090S 随 n 的增大而增大， MON 取最大值时， S 扇形 MON 最大，当 MON 取最小值时， S 扇形 MON 最小，如图，过O 点作 OK MN 于 K， MON=2 NOK ，MN=2NK ，在 Rt ONK 中， sin NOK= NKNK ，ON2 NOK 随 NK 的增大而增大， MON 随 MN 的增大而增大，当 MN 最大时 MON 最大，当 MN 最小时 MON 最小，当 N ，M， A 分别与 D， B， O 重合时， MN 最大， MN=BD ， MON= BOD=90° ， S 扇形 MON

12、最大 =（cm 2），当 MN=DC=2 时， MN 最小， ON=MN=OM ， NOM=60° ，S 扇形 MON 最小=2（ cm 2 ），3. 2 S扇形 MON 34、（ 1）连接 AO 、DO设 O 的半径为r在 Rt ABC 中，由勾股定理得AC=4，则 O 的半径 r=（ AC+BC AB ）=（4+3 5）=1； CE、CF 是 O 的切线， ACB=90 °， CFO= FCE= CEO=90 °， CF=CE ， 四边形 CEOF 是正方形， CF=OF=1 ；又AD 、 AF 是 O 的切线， AF=AD ； AF=AC CF=AC OF=

13、4 1=3 ，即 AD=3 ；（ 2）在 RtABC 中， AB=5 ， AC=4 ， BC=3 ， C=90°，PHAB ， C= PHA=90 °，A=A ，AHP ACB ，=，即=， y=x+4 ，即 y 与 x 的函数关系式是y= x+4；（ 3）如图， PH与 O 相切 OMH = MH D= HDO=90 °， OM=OD ， 四边形 OMH D 是正方形， MH =OM=1 ；由（ 1）知，四边形CFOE 是正方形，CF=OF=1 ， PH=PM+MH =PF+FC=PC，即 x=y ；又由（ 2）知， y= x+4 ， y= y+4 ，解得， y

14、= .5、（ 1）证明：连接OEFE、 FA 是 O 的两条切线 FAO= FEO=90 °在 Rt OAF 和 Rt OEF 中， Rt FAO Rt FEO （HL ）， AOF= EOF= AOE ， AOF= ABE ， OF BE ，（ 2）解：过 F 作 FQBC 于 Q PQ=BP BQ=x yPF=EF+EP=FA+BP=x+y 在 Rt PFQ 中 FQ2+QP 2=PF2222 2 +（ x y） =（ x+y ）化简得：，（ 1x 2）；（ 3）存在这样的 P 点，理由： EOF= AOF ， EHG= EOA=2 EOF，当 EFO= EHG=2 EOF 时，

15、即 EOF=30 °时， Rt EFORt EHG，此时 Rt AFO 中，y=AF=OA ?tan30°=，当时， EFO EHG 6、（ 1） PN 与 O 相切证明：连接ON ，则ONA= OAN ， PM=PN ， PNM= PMN AMO= PMN ， PNM= AMO PNO= PNM+ ONA= AMO+ ONA=90 °.即 PN 与O 相切（ 2）成立证明：连接 ON ，则ONA= OAN ， PM=PN ， PNM= PMN 在 Rt AOM 中， OMA+ OAM=90 °， PNM+ ONA=90 ° PNO=180 °90°=90