随机过程-第三章2

1、3. 3. 各类线性模型的性质各类线性模型的性质 一、一、自协方差函数定义自协方差函数定义 )(kttkWWE k=0k=0，1 1，2 2， 自相关系数函数定义自相关系数函数定义0 kk k=0 k=0，1 1，2 2， 偏偏相相关关函函数数： 在在平平稳稳时时间间序序列列 tW，t t= =- -2 2，- -1 1，0 0，1 1，2 2 中中取取出出一一个个片片断断，共共 k k+ +1 1)1( k个个值值tW，1 tW，ktW ， 用前面用前面 k k 项的线性组合去估计最后一项项的线性组合去估计最后一项ktW 即用即用 kjjktkjW1= =tkkktkktkWWW 2211

2、去估计去估计ktW ，其估计方法是采用最小方差法。，其估计方法是采用最小方差法。 即选系数， 使均方偏差即选系数， 使均方偏差21)(kjjktkjktWWE达到最小 （高达到最小 （高等数学多元函数求极值的方法） ，这些系数中等数学多元函数求极值的方法） ，这些系数中 1k ，2k ，1, kk 一般是没什么用的。一般是没什么用的。其中其中kk 是个重要量，要是个重要量，要计算。计算。称称 kk （k k0 0）为偏相关系数，其中）为偏相关系数，其中100 。 kk 具有概率意义：它刻划了平稳序列任意一长为具有概率意义：它刻划了平稳序列任意一长为 k+1k+1的片断的片断tW，1 tW，kt

3、W 在中间量在中间量1 tW，2 tW，1 ktW固固定的条件下，两端定的条件下，两端tW和和ktW 的线性的线性联系的密切程度。联系的密切程度。 与与k 不不同同，自自相相关关系系数数k 并并不不需需要要中中间间数数值值固固定定，它它只只刻刻划划两两端端tW和和ktW 的的线线性性联联系系的的密密切切程程度度， 对对中中间间数数没没有有要要求求。 二二、各各类类线线性性模模型型的的性性质质（二二阶阶特特性性） 如如：k 拖拖尾尾，是是指指它它随随着着 k k 无无限限增增大大以以指指数数的的速速度度递递减减而而趋趋于于零零，即即当当 k k 相相当当大大时时有有)0, 0(| ccekk此此

4、时时有有0lim kk ，它它的的图图形形像像拖拖一一条条尾尾巴巴，如如 P P1 13 30 0 图图3 3- -5 5 kk 截尾是指截尾是指 时时当当时时当当pkpkkk00 即即kk 在在 k=pk=p 时不为时不为 0 0，在在 p p 以后都都等于以后都都等于 0 0，它图形像截断了尾巴一样，而，它图形像截断了尾巴一样，而且尾巴截断在且尾巴截断在 k=pk=p 的地方，如图的地方，如图 P131 P131 图图 3 3- -6 6 （一）（一） MAMA（q q）过程（滑动平均模型）过程（滑动平均模型） P132 P132 自相关函数自相关函数k 截尾，尾巴截在截尾，尾巴截在 k=

5、qk=q 的地方，偏相关的地方，偏相关函数函数kk 拖尾拖尾 MAMA（q q）模型：）模型： qtqktkttttaaaaaW 2211。 模型等式二边乘以模型等式二边乘以ktW 再取期望。再取期望。 )(kttkWWE 求求自自协协方方差差函函数数 )0( kk = =)(11qtqktkttaaaaE )(11qktqkktkktktaaaa 注意：注意： ta 是白噪声是白噪声jijiaaEaji , 0,)(2 0 iEa， i=1i=1， 2 2 可得到可得到 qkqkkqqkqkkkk0110122221110 注：由上面可以看出当注：由上面可以看出当 kqkq 时，时，k 或或

6、 k =0=0，而当，而当 1 1k kq q，k=0k=0，0 q ，0 q ， 可知可知 MAMA（q q）过程的自协方差函数）过程的自协方差函数k 或或k 是有是有 q q步截尾的特性。步截尾的特性。 = =时时当当qkqkkaaqkqkkakqa100)()1 (1122222120 当当 k=qk=q 时会出现时会出现 0 规定规定 0 =1=1 上式可得到上式可得到这表示若这表示若 tW， t=0t=0， ， 1 1， ， 2 2 是是 MAMA （q q） 序列且） 序列且qji |则则iW与与jW不相关，不相关， 即即 tW，t=0t=0，1 1，2 2 只只是是有限相关，有限

7、相关， 这是这是MAMA（q q）本质特性。）本质特性。 可证其逆命题也成立，即设可证其逆命题也成立，即设 tW 是零均值平稳过程，若是零均值平稳过程，若k ，在当，在当qk |时时k =0=0，0 q ，则，则 tW 是是 MAMA（q q）过程）过程。 即即存存在在白白噪噪声声 ta 使使得得 qkktkttaaW1 （这这是是个个定定理理可可证证明明，略略不不记记） 例：已知可逆例：已知可逆 MAMA（2 2）过程，）过程，2124. 0 ttttaaaW，试求该过程的自相关（系数）函数试求该过程的自相关（系数）函数? k 解： 由方程可知解： 由方程可知11 ，24. 02 （注意符号

8、）（注意符号） 1166. 0)24. 0(11)24. 0(16026. 0)24. 0(1124. 011122221222222121110 三、三、A AR R（p p）模型模型 tptptttaWWWW 2211， 特点：特点：k 拖尾，拖尾，kk 在在 k=pk=p 截尾。 （证截尾。 （证 P135P135） 证证：k 是是拖拖尾尾的的 证证明明：上上等等式式两两边边同同乘乘 ktW 再再取取期期望望值值。 )(kttWWE = =)()()()(2211kttktptpkttkttWaEWWEWWEWWE 得得: : pkpkkk 2211，当，当 k0k0 二边除二边除0 得

9、：得：pkpkkk 2211 k0 k0 上式上式也也可以写成可以写成0)( kB ，k0k0 解此方程获得解此方程获得? k 令：令：ll 其中其中待定，当待定，当pl 时，代入时，代入 pkpkkk 2211，k0 (*)k0 (*) 可得可得 pkpkkk 2211, ,当当 pk 时时 约去约去k 得到：得到：pp 22111 即即 012211 pp ， 可可知知1 是是方方程程0)( B的的根根，看看? 若若方方程程0)( B在在单单位位圆圆1| B外外有有 p p 个个不不同同的的根根11 G，12 G，1 pG，其其中中1| jG， 可取可取jG ，j=1j=1，2 2p p，

10、由上面可知，由上面可知kjkG ，pk 是是差分方程差分方程(*)(*)的解（特解）的解（特解） 可得可得kppkkkGAGAGA 2211 ，pk 是差分是差分方程方程(*)(*)的一般解。的一般解。 其中其中1A，2A，pA是常数，它们可以根据是常数，它们可以根据 p p 个关系式个关系式来确定来确定： pkkk 010 ( (这这是是自相关函数性质自相关函数性质) ) 可证：当可证：当 k时有时有0k 可知可知 k 拖尾拖尾 （P133P133 自己看）自己看） 例例 1 1ARAR（1 1） tttaWW11 0)( kB 即即0)1(1 B 01)(1 BB 的根是的根是11 ，|

11、|1 |1|0k0） 例例 2 2、已知因果、已知因果 A AR R（2 2）过程）过程 ttttaWWW 212 . 01 . 0 k 的差分方程的差分方程是是 212 . 01 . 0 kkk 02 . 01 . 01)(2 BBB21 B，255 . 22 B 即即：211 G，255 . 212 G 211 G，522 G 取取2111 G ，5222 G 可知可知kkkAA)52()21(21 ，2 k 定常数定常数1A，2A是利用是利用 1101 ， 即即)2()1()25()2()52()21(12121 AAAAAA 由由 )2()1(1251 A，1272 A 书书 P134

12、 P134 例例 2 2 一般情况求法一般情况求法 说明：前面提到（说明：前面提到（3.73.7）式）式 )0(2211 kpkpkkk 前前 p p 个方程个方程 pppppppp 2211213211211211 注意注意ii （3.93.9） 是含有参数是含有参数1 ，2 ，p 的线性代数方程组，的线性代数方程组， 此式可由此式可由1 ，2 p 数值确定数值确定1 ，2 ，p ，这这在在后面后面5 5 将会用到。将会用到。 （3.93.9 式）取式）取 k=pk=p 与与 P129P129（3.23.2）即（）即（3.43.4）对比，）对比，（3.93.9）式也是尤尔）式也是尤尔沃克方程

13、，沃克方程， 显然显然pjj ，j=1j=1，2 2，p p 三、三、ARMAARMA（p,qp,q）模型，）模型，k 拖尾，拖尾，kk 拖尾拖尾 qtqttptpttaaaWWW 1111两两边边乘乘以以ktW ，再再取取期期望望得得 )()()(11ktptpkttkttWWEWWEWWE = =)()(ktqtqkttWaEWaE * * 此时此时* *：0)()( qtktktqtaWEWaE要求要求0 qk即即qk 若若mkt 则则qkm 利利用用基基本本命命题题 0)( kttaWE，k k 0 0 * *式式 条件当条件当qk 时，时，02211 pkpkkk 两边同除两边同除0

14、 可得可得02211 pkpkkk ， 条件， 条件qk 该差分方程与该差分方程与 P133P133（3.73.7）式）式 ARAR（p p）拖尾性差分）拖尾性差分方程不同处是条件方程不同处是条件( (此时是此时是qk ) ) A AR R( (P P) )02211 pkpkkk 条条件件0 k 可以类似证明，可以类似证明，k 是拖尾的是拖尾的 注意注意：上式取上式取1 qk得得 qpqpqpqppqpqqqpqpqqq 22112211211211 由由kq ，k=1k=1，2 2，p p，可求可求1 ，2 ，p 后面有用。后面有用。 四四、关关于于kk 讨讨论论 P P1 13 35 5

15、 A AR R（p p）模模型型 kk 在在 k k= =p p 截截尾尾的的证证明明（自自学学） 小结小结 ARMAARMA（p,qp,q）模型）模型 ARAR（p p）模型）模型 MA(q)MA(q)模型模型 差分差分方程方程 ttaBB)()( t=0，1 ttaB)(tpktkta1t=0，1 ttaB)(qkktktta0t=0，1 因果性因果性 （)(p是是平平 稳稳域域） 0)( z1|zcz 0)( z1|zcz 因果因果 可逆性可逆性 （)(q是是可可 逆逆域域） 0)( z1|zcz 0)( z1|zcz 可逆可逆 自相关函数自相关函数 拖尾性拖尾性 拖尾性拖尾性 q q步

16、截尾性步截尾性 偏相关函数偏相关函数 拖尾性拖尾性 拖尾性拖尾性 p p步截尾性步截尾性 谱密度谱密度 22|)(|)(|iiee2| )(|1ie2| )(|ie从性质看出：从性质看出： 自相关函数自相关函数k 有有 q q 步截尾性，是步截尾性，是 MAMA（q q）过程独有的）过程独有的 偏相关函数偏相关函数kk 有有 p p 步截尾性，是步截尾性，是 ARAR（p p）过程独有的）过程独有的 数数学学上上可可以以证证明明：上上述述反反问问题题， 若若k 具具有有 q q 步步截截尾尾性性时时则则平平稳稳序序列列tW具具有有 M MA A（p p）模模型型。 若若kk在在 k k= =p

17、 p 处处截截尾尾性性时时则则平平稳稳序序列列tW具具有有 A AR R（q q）模模型型。 这这将将在在后后面面的的模模型型拟拟合合上上用用到到。 在实际问题中需要确定一个平稳时间序列的线性模在实际问题中需要确定一个平稳时间序列的线性模型，这只能通过进行有限次测量得到型，这只能通过进行有限次测量得到 n n 个数据个数据 1z，2z， ， nz称为时间序列的一个样本 （或样本函数） ，称为时间序列的一个样本 （或样本函数） ，n n 称为样本长度，一般取称为样本长度，一般取 n50n50， 从样本中确定该平稳过程类型，这工作叫平稳时间序从样本中确定该平稳过程类型，这工作叫平稳时间序列的模型拟

18、合，通过样本结论给它列的模型拟合，通过样本结论给它“拟上拟上”一个比较适一个比较适当的数学模型，当的数学模型， 包括两大内容，分为三步骤。包括两大内容，分为三步骤。 1 1模型识别模型识别 平稳时间序列平稳时间序列 tW，t=0t=0，1 1，2 2 ，k 和和 kk 是理是理论值。论值。 首先从样本函数计算出样本自相关函数首先从样本函数计算出样本自相关函数 k 和样和样本偏相关函数本偏相关函数 kk 研究研究 k 与与k ， kk 与与kk 关系，作出关系，作出k 与与kk 的估计值的估计值 用用 k 和和 kk 判断模型的类别和阶数估计判断模型的类别和阶数估计 p,qp,q 2.2.模型参

19、数的估计模型参数的估计估计参数估计参数 Tp,21 ，Tp,21 3 3模型拟合优质检验模型拟合优质检验由由1 1，2 2步初步建立模步初步建立模 型，再用数理统计方法进行检验。型，再用数理统计方法进行检验。 我们只介绍我们只介绍1 1，2 2 时间序列的一个样本函数。 （时间序列的一个样本函数。 （n 个数据个数据nzzz,21）作如下处理作如下处理 zzznzWtnjjtt 11 nt, 2 , 1 使之变成使之变成 0 均均值情况值情况 1 1样本自相关（系数）函数和样本偏相关（系数）函样本自相关（系数）函数和样本偏相关（系数）函数数 由已知由已知1W，2W，nW 定义样本自协方差函数为

20、定义样本自协方差函数为 k = =nWWWWWWkknkk 2211 （k=0k=0， 1 1， 2 2， ， m mnm mn） 样本自相关函数为样本自相关函数为 0 kk ， k=0k=0， 1 1， 2 2， ， m m （mnmqkq 时，时，)21(1, 0(12 qiiknN 近近似似 证明从略证明从略 k 自相关函数自相关函数 结论：结论： （1 1）由实际统计原理知，当）由实际统计原理知，当 n n- -k k 充分大时充分大时 kk ， k=0 k=0，1 1，2 2，m m 即即kk 为了保证为了保证k 、k 充分靠近充分靠近k 、k ，n n 需要很大，但需要很大，但 m

21、 m相对相对 n n 不能取得太大，否则就不能保证不能取得太大，否则就不能保证 n nk k 相当大。相当大。 一般一般 n50n50，4nm 常用常用10nm ，如果，如果 n=30n=30，可取，可取 m=3m=3 （2 2） 实际由正态分布性质， 当） 实际由正态分布性质， 当 n n 充分大时有近似式成立。充分大时有近似式成立。 由由)21(1, 0(12 qliknN 近近似似 %3 .68)21(1|2112 qllknP （乙乙） %5 .95)21(1|2112 qllknP （丙丙） 为方便，实用上取为方便，实用上取)1, 0(nNk ，则则 %3 .681| nPk %5

22、.952| nPk 利用上近似公式，判断利用上近似公式，判断k 的截尾性。的截尾性。 定理二：设定理二：设 tX 是平稳正态是平稳正态 ARAR（p p）过程，则）过程，则 （1 1）kk 是是kk 的渐近无偏估计和相容估计，即的渐近无偏估计和相容估计，即 kkkknE lim kkpkk 以以概概率率收收敛敛 （2 2）当）当 kqkq 时，时，)1, 0(nNkk近近似似 实用上，由（实用上，由（1 1）当）当 n n 充分大，充分大，kkkk 由由（2 2）当当 n n 充充分分大大时时，有有近近似似公公式式 %3 .681| nPkk （丁丁） %5 .952| nPkk 利利用用此此

23、公公式式，判判断断kk 的的截截尾尾性性 二、确定模型的类别的阶数二、确定模型的类别的阶数 实际工作中只能由一个样本算出实际工作中只能由一个样本算出 k ，kk （k=0k=0，1 1，2 2m m） 一般取一般取 n50n50，4nm ， 常用， 常用10nm ，kk ，kk ，k=0k=0，1 1，2 2，m m （1 1）MAMA（q q）模型的识别问题。）模型的识别问题。 严格地说：由（乙） （丙）可以判断严格地说：由（乙） （丙）可以判断 k 的截尾性，对每的截尾性，对每一一 q0q0，检查，检查)1( q ，)2( q ，)(mq （M M 一般可取一般可取n左左右）中落入右）中落

24、入)21(12112 qllkn 或或)21(22112 qllkn 的个数是否占总数的个数是否占总数 M M 的的 68.3%68.3%或或 95.5%95.5%。 如在如在0q之前，之前， k 都明显地不能认为是零，而当都明显地不能认为是零，而当0qq 时，时，)1(0 q ，)2(0 q ，)(0mq 中满足上述不等式的个中满足上述不等式的个数达到了比例， 则认为数达到了比例， 则认为 k 在在 0q处截尾， 即为处截尾， 即为 MAMA （q q）模型。模型。 实用上，当实用上，当k k 0q时，如果平均时，如果平均 2020 个个 k 中至多有中至多有一个使一个使 nk2| ，可以认

25、为截尾在，可以认为截尾在 0q处。处。 （2 2）ARAR（p p）模型的识别问题。）模型的识别问题。 由定理由定理 2 2，用上面类似方法判断，用上面类似方法判断kk 的截尾性。的截尾性。 把满足把满足nkk96. 1| ，krkr 的的 r r 最小值作为最小值作为 p p 的初的初估计，即为估计，即为 ARAR（p p）模型）模型 实用时，当实用时，当 kpkp 时，如果平均时，如果平均 2020 个个 kk 中至多有一中至多有一个使个使nkk2| ，可以认为截尾，可以认为截尾kk 在在 k=pk=p 处。处。 同理，同理，kk 检查，看检查，看pk 时时nkk2| ，当，当pk 时，时

26、，kk 中中至多有一个使至多有一个使nkk2 可认为可认为kk 截尾且尾巴截在截尾且尾巴截在k=pk=p处，处，否则认为否则认为kk 拖尾。拖尾。 如果如果k截尾在截尾在 k=qk=q，kk 拖尾则判别该模型是拖尾则判别该模型是 MAMA（q q）模型）模型 如果如果kk 截尾在截尾在 k=qk=q，k 拖尾则判别该模型是拖尾则判别该模型是 ARAR（p p）模型）模型 如果如果k 和和 kk 都拖尾，则认为该模型是都拖尾，则认为该模型是 ARMAARMA（p,qp,q）模型）模型 p p、q q 如何确定？只能主观地取，通常如何确定？只能主观地取，通常 p p 和和 q q 数值都数值都取得

27、比较小，一般取得比较小，一般 p p、q q 不超过不超过 4 4，如，如 p=1p=1、q=1q=1 或或p=1p=1、q=2 q=2 或或 p=2p=2、q=1q=1。 若若kk ，k 中有一个是翘尾巴可以认为它是非平中有一个是翘尾巴可以认为它是非平稳时间序列。稳时间序列。 例例 P P1 14 43 3，例例 3 3 已已讲讲，计计算算26. 05922 n， 26. 0| kk ，当当 k k 2k2 时，时，k 都小于都小于 0.160.16 认为认为k 截尾，截尾，q=2q=2 kk 拖尾拖尾 当当 k=12k=12 时，时，16. 0| kk ， 后后 q16q00）的未来值，称

28、为时间序列进行的未来值，称为时间序列进行 l步预报，记为步预报，记为lkZ ， 其其估估计计值值称称为为l步步预预报报值值， 记记为为记记为为)(lZk（在在 k时时刻刻作作l步步预预报报） ，因因此此应应把把 )(lZk作作为为 mkkkzzz 1,的的函函数数。),()(1mkkkkzzzFlZ 来来计计算算它它，称称 F F 为为预预报报函函数数。 一、平稳最小方差线性预报一、平稳最小方差线性预报 最小方差线性准则最小方差线性准则 欧拉（欧拉（EulerEuler）在）在 19241924 年对太阳黑子进行预报的方年对太阳黑子进行预报的方法是开创了平稳序列的预报理论，介绍如下：法是开创了

29、平稳序列的预报理论，介绍如下： 设有数据序列设有数据序列nXXX,21，现要从这串数据自身现要从这串数据自身发生的变化去发现某种规律， 并用此规律去预报下一发生的变化去发现某种规律， 并用此规律去预报下一时刻的值时刻的值1 nX，当然要找一个广泛的在一般情况下都，当然要找一个广泛的在一般情况下都见效的预报方法是很困难的， 欧拉作了一个大胆的假见效的预报方法是很困难的， 欧拉作了一个大胆的假定：认为这串数据后一个数据定：认为这串数据后一个数据1 jX仅与前一个数据仅与前一个数据jX有关，而有前后之间有线有关，而有前后之间有线性关系。性关系。 jjbXX 1，11 nj，b b 是待定常数，容易想

30、到，是待定常数，容易想到，b b 的选法是选取使的选法是选取使 1121)(njjjbXX达到极小的达到极小的 b b 值。值。 b)( )2(1jjjbXXX 0)(21令令jjjXbXX1112111)( njjnjjjXXXb 用用nXb来作为来作为1 nX的预报值的预报值)1(nX是合理的。是合理的。 欧拉进一步提出更一般的假设：即数据序列之间欧拉进一步提出更一般的假设：即数据序列之间有线性关系：有线性关系： 11211 mjmjjjXbXbXbX （1 njm） 选取选取jb，使得，使得 1211211)(nmjmjmjjjXbXbXbXe达到极小达到极小 mnkkmmkmkmjkX

31、bXbXe12111)(写写为为 = = mnkmiimkimkXbX121 由由0 ib，mi 1即即0)(11 mnkimkmiimkimkXXbX 解此方程组解得解此方程组解得 ib（i=1i=1，2 2，m m） 那么就自然用那么就自然用1121 mnmnnXbXbXb来作为来作为 1 nX的的预报值预报值)1(nX。上述的预报方法很容易推广到对上述的预报方法很容易推广到对 lnX 的预报上去。的预报上去。 在这里在这里， 欧拉实际上是用欧拉实际上是用使预报误差平方和达到极小使预报误差平方和达到极小的标准来进行预报的，而且仅是从一串数据的标准来进行预报的，而且仅是从一串数据 1X，2X

32、，nX出发，并未涉及任何概率知识。出发，并未涉及任何概率知识。 但是在欧位的假设中，用一项但是在欧位的假设中，用一项jX预报后一项预报后一项 1 jX，把这些数对（把这些数对（jX，1 jX） ，） ，j=1j=1，2 2，n n- -1 1 看成是看成是等同的，实际上这已隐含有平稳性要求。等同的，实际上这已隐含有平稳性要求。 设设,Ztzt 是是一一零零均均值值平平稳稳序序列列， 现现在在要要用用 k k 时时刻刻以以及及前前面面的的历历史史数数据据对对lkz （0 l）作作 l步步预预报报。 我我们们采采取取如如下下的的线线性性形形式式： 110)(kkkZbZblZ作作为为lkz 的的预

33、预报报， 其其中中 210,bbb为为待待定定系系数数， 其确定估计值方法是使预报误差：其确定估计值方法是使预报误差：)()(lzzleklkk 的的均方值， 即均方值， 即2)(leEk达到最小， 这时称达到最小， 这时称 0jjkjzb为为 l步步平稳线性最小方差预报。平稳线性最小方差预报。 预报误差预报误差 评估预报误差评估预报误差| )(| )(|lzzleklkk ，找到其分布，找到其分布， 使使 955. 02| )(| akleP 或或?| )(| akleP 或或?3| )(| akleP 要讲的预报方法建立在下面引理的基础上要讲的预报方法建立在下面引理的基础上。 (1) (1

34、) 将来第将来第 k+1k+1 时刻的白噪声估计值时刻的白噪声估计值 0 lka（ 0 l） (2) (2) 现在或过去第现在或过去第 j个时刻平稳序列估计值个时刻平稳序列估计值 jjzz （kj 1） 直观意义： （直观意义： （P23P23 讲过基本命题） ，讲过基本命题） ， 当当0 l时时0)( lttaWE，t=0t=0，1 1，2 2， 可知可知1W，2W， ， ，kW中每一个与中每一个与 lka 不相关，（不相关，（ 0 l） 现即现即1z，2z，kz中每一个都与中每一个都与 lka 相关。 （相关。 （0 l） 用用1z，2z，kz估计估计 lka 值，值，0 lklkEaa

35、证明见证明见 P159P159 基本引理：若已知观测到平稳时间序列基本引理：若已知观测到平稳时间序列 kZZZ,21，的值，则的值，则 二、递推预报法二、递推预报法 （一）（一） 自回归模型自回归模型 ARAR（p p）预报）预报 模型：模型：tptptttaWWWW 2211 前面讲上述公式是前面讲上述公式是 ttZW均值为零的平稳时均值为零的平稳时间序列。间序列。现现tZ是一般情况，模型中多一项是一般情况，模型中多一项 0 ，特殊的特殊的, ,对于对于 MAMA（q q）有）有 0， 模型：模型：tptpttaZZZ 110 （6.36.3） 1 1预预报报公公式式 在在（6 6. .3

36、3）中中取取lkt 得得到到 lkplkplklkaZZZ 110 在在等等式式两两边边取取估估计计值值， lkplkplkklkazzlzz )(110 plkplkkZZlz )(110 有基本引理知有基本引理知当当l0l0时为时为0.0.取取l=1=1，2 2，可分别得到一步、二步预，可分别得到一步、二步预 报值报值 P160 P160 即即 预预报报式式)5 . 6()3(3.)2(2)1(13122103221102112101 pkpkkkkpkpkkkkpkpkkkkzzzzzlzzzzzlzzzzzl 注意： 在计算第二步预报值要用到第一步预报值注意： 在计算第二步预报值要用到

37、第一步预报值 在计算第在计算第三三步预报值要用到第一步预报值要用到第一、二、二步预报值步预报值 预报公式通式预报公式通式 当当pl 时，为时，为 lpkpklkllklkkzzzzzlz 1121110)( 当当pl 时，为时，为plkplklkkzzzlz )(21110 P160 P160 例例 1 1 2 2一步预报误差。一步预报误差。 实际中遇到较多的是作一步预报实际中遇到较多的是作一步预报 一步预报计算公式是：一步预报计算公式是： 111101)1( pkpkkkkzzzzz （6.66.6） 第第 k+1k+1 时刻真实值是时刻真实值是 1112101 kpkpkkkazzzz （

38、6.76.7） 真实值真实值1 kz与一步预报值与一步预报值)1(kz的的差为一步预报误差。差为一步预报误差。 )1()1(1kkkzze （6.86.8） 它刻划了作一步预报时产生的误差。它刻划了作一步预报时产生的误差。 将（将（6.66.6） ， （） ， （6.76.7）代入（）代入（6.86.8）式得）式得1)1( kkae 0)1(1 kkEaeE 又又 2212) 1() 1(akkkEaeEeD 2a 刻划了刻划了一步预报的精度。一步预报的精度。 3 3、一步预报误差范围的计算。、一步预报误差范围的计算。 对正态平稳时间序列对正态平稳时间序列 tz，t=0t=0，1 1，2 2，

39、 又已知线性模型中又已知线性模型中 ta，t=0t=0，1 1，2 2， 是正是正态白噪声态白噪声 此时，此时，), 0()1(2akNe 95. 02| )1(| akeP ，其中其中a = =2a 由由 P152P152（5.25.2）公式知）公式知 pjjja102 一步预报误差绝对不超过一步预报误差绝对不超过 2 22a 的概率为的概率为 0.950.95， 即置信概率为即置信概率为 0.950.95 的一步绝对误差范围为的一步绝对误差范围为22a ，用它可以判断一步预报效果的好坏。用它可以判断一步预报效果的好坏。 P161 P161 例例 2 2 （二）滑动平均模型的预报（二）滑动平

40、均模型的预报 P162P162（三）混合模型的预报（三）混合模型的预报 P164P164自己看书，再做题自己看书，再做题 7 7 直接预报法直接预报法 设平稳序列设平稳序列 tz，t=0t=0，1 1，2 2， 具有具有 ARAMARAM 模型。模型。tkaBZB)()(0 ， 为方便令， 为方便令 ttzW， t=0t=0， ， 1 1，2 2， tW的的 ARMAARMA 模型为模型为tkaBWB)()(0 tqqtppaBBBWBBB)1()1(221221 对此模型已知对此模型已知jW（kj ）的值对）的值对 lkW 作估计，作估计，估计值估计值 )(lWWklk ，再利用，再利用 l

41、kkWlz)(得到得到)(lzk 所用的方法也是最小方差线性估计原则进行预报。所用的方法也是最小方差线性估计原则进行预报。 即 取即 取 1)(jjkjlkkWCWlW其 中其 中jC是 常 数 且 满 足是 常 数 且 满 足 12jC， 选择选择jC（j j1 1）使）使2)(lklkWWE 达到最小达到最小 P167 P167 基本引理：已知平稳序列基本引理：已知平稳序列 tW 中中 kW，1 kW， 2 kW的值的值 则（则（1 1）jjWW （j jk k） （2 2）0 lka （1 l） 利用基本引理可证下面公式。利用基本引理可证下面公式。 一一. . 二个预报公式二个预报公式

42、公式（一）当公式（一）当ql 时时 )()2()1()(21plWlWlWlWkpkkk 书 （书 （7.57.5） 证明：模型证明：模型 ARMAARMA 方程方程ttaBWB)()( 上式取上式取lkt 再两边取估计得再两边取估计得 qlkqlklkplkplklkaaaWWW 1111 由基本引理，当由基本引理，当 l1 1 时时0 lka，要左式为，要左式为 0 0 的充分条件的充分条件是是0 ql，即，即ql ，即，即0)()( lWBk （k k 固定）固定） 当当ql 时 ，时 ，011 plkplklkWWW 即（即（7.57.5）是个差分方程）是个差分方程 下面解此差分方程：下面解此差分方程： 记记11 ，12 ，1 p 是特征方程是特征方程0)( B在单位圆在单位圆|B|=1|B|=1 外的外的 p p