运筹学第9章存贮论

1、第第9章章 存贮论存贮论1 引言引言2 经济订货批量的存贮模型经济订货批量的存贮模型3 具有约束条件的存贮模型具有约束条件的存贮模型4 具有价格折扣优惠的存贮模型具有价格折扣优惠的存贮模型5 动态的存贮模型动态的存贮模型6 单时期的随机存贮模型单时期的随机存贮模型7 多时期的随机存贮模型多时期的随机存贮模型1 引言引言基本概念：基本概念：(1) 需求率：需求率：单位时间内对某种物品的需求量，以单位时间内对某种物品的需求量，以D表示表示(2) 订货批量：订货批量：一次订货中包含某种物品的数量，以一次订货中包含某种物品的数量，以Q表示表示(3) 订货间隔期：订货间隔期：两次订货之间的时间间隔，以两

2、次订货之间的时间间隔，以t表示表示 (4) 订货提前期：订货提前期：从提出订货到收到货物的时间间隔，用从提出订货到收到货物的时间间隔，用L表示表示(5) 存贮存贮(订货订货)策略：策略：指什么时间提出订货及订货的数量指什么时间提出订货及订货的数量有三种类型：有三种类型：t0-循环策略：每隔循环策略：每隔t0时间补充贮量时间补充贮量Q(s，S)策略：当存贮量策略：当存贮量xs时不补充；当时不补充；当x s补充存贮。补充存贮。 补充量为补充量为Q=S-x(即将存贮量补充到即将存贮量补充到S)(r, Q)策略：当存贮量策略：当存贮量xr时不补充；当时不补充；当x r时，订货量为时，订货量为Q.基本费

3、用：基本费用：(1) 一次费用一次费用(准备结束费用准备结束费用)：组织一次生产、订货或采购某组织一次生产、订货或采购某种物品所必需的费用，通常认为与订购量无关，用种物品所必需的费用，通常认为与订购量无关，用CD表示表示(2) 存贮费用：存贮费用：包括仓库保管费、占用流动资金的利息、保险包括仓库保管费、占用流动资金的利息、保险金、存贮物变质损失费等，以每件存贮物在单位时间内所发金、存贮物变质损失费等，以每件存贮物在单位时间内所发生的费用计算，用生的费用计算，用CP表示表示(3) 短缺损失费：短缺损失费：因存储物耗尽而造成需方的经济损失，以一因存储物耗尽而造成需方的经济损失，以一件短缺物品在单位

4、时间内需求方的损失费用计算，用件短缺物品在单位时间内需求方的损失费用计算，用CS表示表示研究问题：研究问题：一是量，即一次供应或需求是多少；二是期，即一是量，即一次供应或需求是多少；二是期，即需要什么时候供应。按量与期是确定性或随机性，存贮模型需要什么时候供应。按量与期是确定性或随机性，存贮模型分为确定性存贮模型和随机性存贮模型。分为确定性存贮模型和随机性存贮模型。2 经济订货批量的存贮模型经济订货批量的存贮模型量与期两参数均为确定性的存贮模型量与期两参数均为确定性的存贮模型2-1 基本的基本的EOQ(经济订货批量经济订货批量)模型模型例例1(不允许缺货，生产时间很短不允许缺货，生产时间很短)

5、 设一种物品的需求率为设一种物品的需求率为D(件件/年年)，是已知常数，并以一定的批量，是已知常数，并以一定的批量Q供应给需求方，供应给需求方，提前期为零，即需求这种物品时可以马上得到，并且不允提前期为零，即需求这种物品时可以马上得到，并且不允许发生供应短缺。收到一批物品后，将其储存在仓库，以许发生供应短缺。收到一批物品后，将其储存在仓库，以速率速率D消耗掉。考虑两种费用：与每次组织订货有关费用消耗掉。考虑两种费用：与每次组织订货有关费用CD(元元/次次)和存贮物品所需费用和存贮物品所需费用CP(元元/件件年年)。确定每次订货。确定每次订货的批量为多大，使全年总费用最少。的批量为多大，使全年总

6、费用最少。t解：解：用用TC表示全年发生总费用表示全年发生总费用TOC表示全年内用于订货的费用表示全年内用于订货的费用TCC表示全年内存储费用表示全年内存储费用n表示全年的订货次数，表示全年的订货次数，QDn 因因QDCnCTOCDDQCTCCP21QCQDCTCCTOCTCPD210212PDCQDCdQdTCPDCDCQ202322QDCdQTCdDQDCCTCPD2对对TC求导求导得得因因，故，故 使使TC为最小，为最小，2-2 一般的一般的EOQ模型模型例例2(允许缺货，生产需要一定时间允许缺货，生产需要一定时间) 该模型允许缺货，生产部该模型允许缺货，生产部门按一定速度门按一定速度P

7、进行生产，需求部门的需求速率为进行生产，需求部门的需求速率为D(PD)。生。生产从产从O点开始，在点开始，在t1段按速率段按速率P进行。在进行。在t2和和t3区间内停止生产，区间内停止生产，而需求仍按速率而需求仍按速率D进行，至进行，至B点贮存量降至零，到点贮存量降至零，到C点发生最大点发生最大短缺，从该点起又恢复生产，到短缺，从该点起又恢复生产，到E点补上短缺量，并开始一个点补上短缺量，并开始一个新的生产周期。新的生产周期。 解：解：由图知，一个生产周期长度为由图知，一个生产周期长度为(t1+t2+t3+t4)。用。用OC、CC和和SC分别表示一个周期的生产准备、存贮费和短缺费，分别表示一个

8、周期的生产准备、存贮费和短缺费，用用TC表示单位时间的平均总费用，则有表示单位时间的平均总费用，则有DCOC 2112ttSCCCp4322ttSCSCS 4321ttttSCCCOCTC432143221122ttttttSCttSCCSPD21111DttDPDtPtS21tDPDt221tDPPtt 因为因为所以所以又又432tDPDtS(9.4)(9.5)(9.6)(9.7)故故34tDPDt343tDPPtt324321ttDPPtttt324321ttDPPDttttDQ32332222ttDPPtDPPDtCtDPPDtCCTCSPD3223222tttCtCDPDPCSPD由此

9、由此将将(9.6)(9.9)式代入式代入(9.4)式得式得(9.8)(9.9)(9.10)(9.11)令令022223222322322tCtCDtCttDPDPCtttTCSPPD022223222322323tCtCDtCttDPDPCtttTCSPSD3222tCtCSP32tCCtPS332tCCCttPpS2323233222tCtCCDtCtCCCDPDPCSPSSPPSDPSPSPSPSDCCCCDtCCCCDtPDPC2232232 由由(9.12)和和(9.13)式有式有 或或 ，故，故将将(9.14)、(9.15)式代入式代入(9.13)式得式得或或PSPSCCCCDt22

10、321(9.12)(9.13)(9.14)(9.15)(9.16)由式由式(9.16)SPSPDCCCCPDDPCt1223SPSPDSPSPDCCDCPDCCCCCDPDPCC122SPSPDCCDCPDCCt123SPPSDCCDCPDCCt122SPSPDPSPSCCDCPDCCCCDPPDtCCDPPDQ12113PDCCCCDCSPSPD12所以所以将将(9.18)式代入式代入(9.14)式得式得将将(9.14)、(9.18)、(9.19)式代入式代入(9.10)式得式得(9.17)(9.18)(9.19)(9.20)SPPSDCCCPDDCCDtS1221SPSPDCCCPDDCC

11、DtS1232SPDSPCCPDCCCDTC12 由由(9.4)式得式得(9.21)(9.22)(9.23)2-3 订货提前期为零，允许缺货的订货提前期为零，允许缺货的EOQ模型模型例例3(允许缺货，生产时间很短允许缺货，生产时间很短) 设设S为最大允许的短缺量，在为最大允许的短缺量，在t1时间间隔内，库存量是正值，在时间间隔内，库存量是正值，在t2时间间隔内发生短缺。每时间间隔内发生短缺。每当新的一批零件到达，马上补足供应所短缺的数量当新的一批零件到达，马上补足供应所短缺的数量S，然后，然后将将Q-S的物品暂存在仓库。总费用包括：订货费用的物品暂存在仓库。总费用包括：订货费用CD，保管，保管

12、费用费用CP和短缺费用和短缺费用CS。需确定订货量。需确定订货量Q和供应间隔期和供应间隔期t，使平，使平均总费用最小。均总费用最小。解：由题知，有解：由题知，有 ，故只需将式，故只需将式(9.24)分别代入分别代入(9.20)、(9.23)和和(9.22)得得0PDSPSPDCCCCDCQ2SPSPDCCCDCCTC2SPSPDCCCDCCS22-4 生产需一定时间，不允许缺货的生产需一定时间，不允许缺货的EOQ模型模型例例4 (不允许缺货，生产需一定时间不允许缺货，生产需一定时间)除不允许缺货外，其他除不允许缺货外，其他条件同例条件同例2。设。设S为最大库存量，试确定最佳生产批量为最大库存量

13、，试确定最佳生产批量 及相及相应的应的 的值，使在周期的值，使在周期t内的平均总费用内的平均总费用TC最小。最小。QStt,21解：因不允许缺货，可视为缺货损失为解：因不允许缺货，可视为缺货损失为 ，故有，故有SC将它分别代入式将它分别代入式(9.20)、(9.23)及及(9.21)得得PDCDCQPD12PDDCCTCPD12PDCPDDCS12DPPCDCDPStPD21DCPDCDStPD122又由式又由式(9.5)可求得可求得例：某商店经销甲产品，单位成本例：某商店经销甲产品，单位成本500500元，年存储费为成本元，年存储费为成本2020，年需求量，年需求量365365件，需求速度为

14、常数。甲产品的订购费件，需求速度为常数。甲产品的订购费为为2020元，提前时间为元，提前时间为1010天。求经济批量及最小平均费用。天。求经济批量及最小平均费用。解：解：D=365件件/年，年，Cp=50020%=100元，元，CD=20元元件121003652022PDCDCQ元12083651002022DCCTCPD最优存储策略为：每次订购甲商品最优存储策略为：每次订购甲商品12件，每隔件，每隔12天订货天订货一次，最低费用一次，最低费用1208元。由于提前元。由于提前10天订货，天订货，10天内需天内需求为求为10件甲商品，因此只要检查，当库存下降到件甲商品，因此只要检查，当库存下降到

15、10件时，件时，就发订单。就发订单。3 具有约束条件的存贮模型具有约束条件的存贮模型设设Qi为第为第i种种(i=1,2, ,n)物品的订货批量，已知每件第物品的订货批量，已知每件第i种物种物品占用存贮空间为品占用存贮空间为wi，仓库的最大存贮容量为，仓库的最大存贮容量为W，又若第，又若第i种种物品的订货提前期为零，单位时间的需求率为物品的订货提前期为零，单位时间的需求率为Di，每批订货，每批订货费用及单位时间的保管费用分别为费用及单位时间的保管费用分别为 和和 ，求使平均总，求使平均总费用最小的订货策略。费用最小的订货策略。iDCiPC建立如下的数学模型：建立如下的数学模型：niiPiiDQC

16、QDCTCii121minniQWwQiniii, 2, 101s.t.当不考虑约束条件时，得每种物品的最佳订货量为当不考虑约束条件时，得每种物品的最佳订货量为niCDCQiiPiDi, 2, 12若将若将 代入约束条件代入约束条件 得到满足，则得到满足，则 值分别为值分别为每种物品的最佳订货量，否则，需建立以下拉格朗日函数每种物品的最佳订货量，否则，需建立以下拉格朗日函数iQniiiWwQ1iQniiiniiPiiDnWwQQCQDCQQLii11121,式中式中 称为拉格朗日乘数，将上式分别对称为拉格朗日乘数，将上式分别对 和和 求偏求偏导，并令其为零得导，并令其为零得0iQ0212iPi

17、iDiwCQDCQLiiniiiWwQL10(9.38)(9.37)式式(9.38)说明说明Qi的值必须满足内存贮面积的约束。又式的值必须满足内存贮面积的约束。又式(9.37)得得iPiDiwCDCQii22(9.39)求解方法：先令求解方法：先令 ，由式，由式(9.39)求出求出Qi值，将其代入约束值，将其代入约束条件条件 中。如果不满足，可通过试算，逐步减小中。如果不满足，可通过试算，逐步减小 值，一直到求出值，一直到求出Qi值满足值满足 为止。为止。0niiiWwQ1niiiWwQ14 具有价格折扣优惠的存贮模型具有价格折扣优惠的存贮模型货物单价随订购货物单价随订购(或生产或生产)数量而

18、变化时的存贮策略。除货数量而变化时的存贮策略。除货物单价外，其余条件与物单价外，其余条件与2-1节相同，如何制订存贮策略。节相同，如何制订存贮策略。如某种货物价格与订货量的关系如下：如某种货物价格与订货量的关系如下： QQCQQQCQQCQC33212110当订货量为当订货量为Q时，一个周期内所需费用为：时，一个周期内所需费用为： QQCCDQQCDP211, 0 QQQCCDQQCDP12121, QQQQCCDQQCDP2212QQ QCCDQQCDP321 平均每单位货物所需费用平均每单位货物所需费用 111, 021QQCQCDQCQTCDP 2122,21QQQCQCDQCQTCDP

19、 23321QQCQCDQCQTCDP求解的方法：求解的方法：将订货费、存贮费、短缺损失费同货物价将订货费、存贮费、短缺损失费同货物价格加总比较。先不考虑价格折扣优惠，以订货提前期为格加总比较。先不考虑价格折扣优惠，以订货提前期为零，不允许发生短缺的模型，计算经济订货批量零，不允许发生短缺的模型，计算经济订货批量 ，若若 ，需比较订货量为，需比较订货量为 时的上述各项费用时的上述各项费用总和；若总和；若 ，比较订货量为，比较订货量为 时的各时的各项费用之和，依此类推。项费用之和，依此类推。Q,21QQQ,32QQQ1QQ 21QQQ例例6 兴庆复印社每月约消耗兴庆复印社每月约消耗A4复印纸复印

20、纸80箱，从汇文批发站箱，从汇文批发站进货，每进一次发生固定费用进货，每进一次发生固定费用200元。批发站规定，一次购元。批发站规定，一次购买量买量 箱，每箱箱，每箱120元，元， 时，每箱时，每箱119元，元，300Q500300 Q当当 箱时，每箱箱时，每箱118元。已知存贮费元。已知存贮费16元元/年年箱，求复箱，求复印设每次进货的最佳批量，使全年总费用最少。印设每次进货的最佳批量，使全年总费用最少。500Q解：据题意解：据题意D=960，CD=200，CP=163001 QQ155Q3001Q5002Q1551696020022PDCDCQ因因 ，故需将一次进货批量，故需将一次进货批量

21、 同同 ， 时的全年总费用比较。时的全年总费用比较。当当 时，全年总费用为时，全年总费用为155Q7 .117678120960155162115596020011728011996030016213009602001176641189605001621500960200当当 时，全年总费用为时，全年总费用为当当 时，全年总费用为时，全年总费用为3001Q5002Q某加工制作羽绒服厂预测下年的销售量为某加工制作羽绒服厂预测下年的销售量为15000件，准备在件，准备在全年全年300个工作日均衡生产。假设加工一件羽绒服所需原材个工作日均衡生产。假设加工一件羽绒服所需原材料费用为料费用为48元，每件

22、羽绒服所需原材料年存储费为成本的元，每件羽绒服所需原材料年存储费为成本的22，提出一次订货需费用，提出一次订货需费用250元，订货提前期为元，订货提前期为0，则，则(1)求经济订货批量；求经济订货批量；(2)若工厂一次订购若工厂一次订购3个月所需原材料时，个月所需原材料时，原材料价格可给原材料价格可给8的折扣，试问该厂是否接受此条件。的折扣，试问该厂是否接受此条件。解：解：D=15000件件/年年 C=48元元/件件 CP=22%C=10.56元元/年件年件 CD=250元元/次次件84356.101500025022PDCDCQ(1)件3750415000Q件元/16.4448%92%92C

23、C年件元/7152. 916.44%22%22CCP(2)年元/6816167152. 923750250416.441500024PDCQCCD年元/72889956.1028438431500025048150002PDCQQDCDC接受优惠总费用接受优惠总费用原总费用原总费用5 动态的存贮模型动态的存贮模型模型的特点：模型的特点：对某种物品的需求量可划分为若干个时期，对某种物品的需求量可划分为若干个时期，同一时期内需求是常数；不同时期间，需求是变化的。假同一时期内需求是常数；不同时期间，需求是变化的。假设订货提前期为零，即提出定货后，库存立即得到补充。设订货提前期为零，即提出定货后，库存

24、立即得到补充。订货于每个时期初提出，不允许发生缺货。订货于每个时期初提出，不允许发生缺货。假设：假设： i 表示时期，表示时期，i=1,2, ,N;qi为第为第i个时期提出的订货量；个时期提出的订货量；di为第为第i个时期对该种物品的需求量；个时期对该种物品的需求量；xi为第为第(i-1)个时期末的库存量；个时期末的库存量； 为单位物品从第为单位物品从第i 到第到第(i+1)个时期的存贮费用；个时期的存贮费用； 为第为第i个时期提出订货的订货费用；个时期提出订货的订货费用；Ci(qi)为第为第i时期该种物品的生产费用函数。时期该种物品的生产费用函数。iPCiDC问题的目标确定各个时期的最佳订货

25、批量问题的目标确定各个时期的最佳订货批量 ，使满足需求，使满足需求条件下，条件下，N个时期的各项费用的总和为最小。个时期的各项费用的总和为最小。iq采用动态规划方法求解：采用动态规划方法求解：将将N个时期看成个时期看成N个阶段，用个阶段，用i代表阶段，代表阶段，i=1,2, ,N;状态变量状态变量xi：为前一阶段末的库存量，也即本阶段初提出：为前一阶段末的库存量，也即本阶段初提出订货前的库存量；订货前的库存量；决策变量决策变量qi：为第：为第i阶段的订货量；阶段的订货量； 因不允许缺货，第因不允许缺货，第i 阶段决策集合为阶段决策集合为 NiiiiiiiiddxqdqqxD, 0状态转移方程为

26、状态转移方程为iiiidqxx1 表示表示i阶段初状态为阶段初状态为xi，采用最优订货策略从第，采用最优订货策略从第i到到N iixf阶段各项费用总和，则递推方程为：阶段各项费用总和，则递推方程为： 11miniiiiiPiiDxDqiixfdqxCqCCxfiiiii库存费应为库存费应为 ，为便于计算用，为便于计算用 代替代替21iiPxxCi1ix21iixx 例例7 已知三个时期内对某种产品的需求量、各时期的订已知三个时期内对某种产品的需求量、各时期的订货费用及存贮费如下表所示，又生产费用函数为：货费用及存贮费如下表所示，又生产费用函数为： 4320303010iiiiiiqqqqqC要

27、求确定各个时期最佳订货批量要求确定各个时期最佳订货批量 ，使三个时期各项费用，使三个时期各项费用和最小。已知第和最小。已知第1时期初有一件库存，第时期初有一件库存，第3时期末库存为零时期末库存为零iq解：利用动态规划逆序算法。当解：利用动态规划逆序算法。当i=3时，因有时，因有d3=4，而而 ，故，故 ，计算过程如下，计算过程如下333dxq40, 403qx当当i=2时，有时，有 ，故，故 ，632222ddxqd602 x602 q，计算过程见下表，计算过程见下表注：注：222qCCAD当当i=1时，有时，有 ，因已知，因已知 ，故，故932111dddxq11x82 q。计算过程如下表所

28、示。计算过程如下表所示注注:111qCCAD由此可得：由此可得： 。最小费用。最小费用993, 1; 3, 0; 2, 1332211qxqxqx当生产费用函数当生产费用函数Ci(qi) 和存贮费用和存贮费用 分别是分别是qi和和xi+1的线性的线性函数、线性递减函数或凹函数时，函数、线性递减函数或凹函数时，HWagner和和TWhitin证明证明1iPxCi(1) 对任意时期对任意时期i，只有当，只有当xi=0时，有时，有qi0;当当xi0时，一定有时，一定有qi=0，故恒有，故恒有xiqi=0；(2) 第第i时期的最优订货量时期的最优订货量 或为或为0，或相当于从第，或相当于从第i时期开始

29、时期开始的随后若干个时期需求量之和，即的随后若干个时期需求量之和，即 等于等于0，或等于，或等于di，或等于或等于(di+di+1)，或，或(di+di+1+di+2), iqiq6 单时期的随机存贮模型单时期的随机存贮模型单时期随机存贮模型：单时期随机存贮模型：指需求量是随机的，在一个时期内指需求量是随机的，在一个时期内订货只进行一次，若未到期末货已售完也不再补充订货；订货只进行一次，若未到期末货已售完也不再补充订货；若发生滞销，未售出的货应在期末处理。订货可以重复进若发生滞销，未售出的货应在期末处理。订货可以重复进行，但各周期间的订货量和销售量相互独立。行，但各周期间的订货量和销售量相互独

30、立。假设某种物品单位成本为假设某种物品单位成本为C，每件售价为，每件售价为S，p(x)表示需求量表示需求量为为x的概率，需求大于订购数时，每短缺一件损失为的概率，需求大于订购数时，每短缺一件损失为CS元；元；期末没有售出产品每件处理价为期末没有售出产品每件处理价为Cg元元(CgC)，确定该期初的，确定该期初的最佳订购数量最佳订购数量Q，使预期利润最大。，使预期利润最大。总的预总的预期利润期利润销销 售售总收入总收入处理处理收入收入订购订购成本成本短缺短缺损失损失用公式可表示为：用公式可表示为： 1010QxQxQxgxpxQCxpSQxxpSQG QxSxpQxCCQ 0 xxxp 00 xgxQxQxxQpCxpQxxpxxpSQG 0 xQxQxSggxpQxCCQxpxQCxxp