经济数学精品教案

1、.第一讲 第一章：函数与极限 2学时教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，掌握复合函数的分解方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。教学内容概述：本讲主要复习中学所学集合；函数；函数的表示方式，函数的几种特性；反函数与复合函数；基本初等函数；初等函数等。教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形，掌握复合函数的分解方法。教学过程：一、区间和邻域1）有限区间：开区间，闭区间，半开半闭区间。2）无限区间：（），。3）邻域：注：a 邻域的中心，邻域的半径；去心邻域记为。二、函数1、 函数的概念定义 设数集，则称映射为定义在

2、D上的函数，记为 。注：函数相等：定义域、对应法则相等。2、 函数的几种特性1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。2）函数的单调性（单增、单减），在x1、x2点比较函数值与的大小（注：与区间有关）。3）函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定)，图形特点 (关于原点、Y轴对称)。4)函数的周期性(定义域中成立：)3、 反函数与复合函数1）反函数：函数是单射，则有逆映射，称此映射为函数的反函数。函数与反函数的图像关于对称。(2)、复合函数注：（1）不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。例如： ；因前者定义域为-1，1，后者，故这两个函数不能复合成复合函数。

3、（2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合而成。例1 设 求解 =例2 将下列函数分解成基本初等函数的复合 （1） （2） 解 （1）所给函数是由 四个函数复合而成的 （2）所给函数是由 三个函数复合而成的。4、分段函数：分段函数的统一表达式。结论：对于分段函数 f（x）=若初等数函f1（x）和f2（x）满足f1（a）= f2（a），则 f（x）= f1（x+a-）+ f1（x+a+）- f1（a）5、初等函数1）幂函数： 2)指数函数： 3)对数函数： 4)三角函数：5)反三角函数：， 以上五种函数为基本初等函数。例1 已知分段函数 1）求其定义域并作图；2）求函数值小结:本节主要复习学生中

4、学所学函数，反函数，复合函数，基本初等函数，给出初等函数定义。由于后续学习需要重点掌握复合函数的拆分。第二讲 极限的概念 2学时 教学目的与要求：理解数列极限；函数极限的概念，性质。教学内容概述：本讲主要学习数列极限的概念；性质，函数在无穷大处的极限；函数在有限点处的极限及函数极限的性质。教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用；函数左极限与右极限，极限性质教学过程：第一节、数列极限的定义与性质一、数列 数列就是由数组成的序列。1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个成员。一般写成： 缩写为例1 数列是这样一个数列，其中 ，也可写为： 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接

5、近0，记为。数列极限的定义，则称数列的极限为，记成 也可等价表述：1） 2）。极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。二、收敛数列的性质定理1 如果数列收敛，那么它的极限是唯一。定理2 如果数列收敛，那么数列一定有界。定理3 如果且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，。例2 证明数列的极限是1。例3 作出数列图形，讨论其极限值。第二节：函数的极限一、极限的定义 1、在点的极限1）可在函数的定义域内，也可不在，不涉及在有没有定义，以及函数值的大小。只要满足：存在某个使：。2）如果自变量趋于时，相应的函数值 有一个总趋势以某个实数为极

6、限 ，则记为 ：。形式定义为： 2、的极限设，如果当时函数值 有一个总趋势-该曲线有一条水平渐近线-则称函数在无限远点有极限。记为：。 3、 （1）在无穷远处的左右极限： ， 关系为： （2）在有限点处的左右极限： ， 关系为 二、函数极限的性质1、极限的唯一性 2、函数极限的局部有界性3、函数极限的局部保号性 4、函数极限与数列极限的关系例1 讨论函数在x的极限。例2 求下面函数极限： ， 。 作业：见课后各章节练习。小结：本节要求学生理解极限思想，掌握数列极限，函数极限存在的条件。第三讲 极限的运算法则 无穷小与无穷大 2学时教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念；掌握极限的运算法则并能熟

7、练求极限。教学内容概述：本节主要讲授无穷小与无穷大的定义；性质，无穷小与无穷大之间的关系；极限的四则运算规则，极限的求法，复合函数的极限。教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。教学过程：一、无穷小定义定义 对一个数列，如果成立如下的命题： 则称它为无穷小量，即注：1）的意义；2）可写成； 3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码，相应的与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。定理1 在自变量的同一变化过程（或中，函数具有极限A的充分必要条件是，其中是无穷小。二、无穷大定义一个数列，如果成立：那么称它为无穷大量。

8、记成：。特别地，如果，则称为正无穷大，记成。特别地，如果，则称为负无穷大，记成。（也可类似地对函数定义无穷小，无穷大的定义）注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。三、无穷小和无穷大的关系定理2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且则为无穷大。即非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当时：有 注意是在自变量的同一个变化过程中。四、无穷小的性质设和是无穷小量于是：1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：2）对于任意常数C，数列也是无穷小量： 3）也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。 4）也是无穷小量： 5）无穷小与有界函数的积为无穷小。五、函数极

9、限的四则运算1）若函数和在点有极限，则2）函数在点有极限，则对任何常数成立 3）若函数和在点有极限，则 4）函数和在点有极限，并且，则 极限的四则运算成立的条件是若函数 和 在点 有极限。定理3 设函数是由函数与复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，且存在，当 时，有，则例1 下面函数在x趋向什么时是无穷小，又当x趋向什么时是无穷大： 。例2 求下面函数极限： 作业：见课后各章节练习。小结；本节主要学习了极限的运算法则以及求极限的具体方法，介绍了无穷小、无穷大的概念，要求学生会用无穷小的定义解决具体问题。第四讲 极限存在准则与两个重要极限 无穷小的比较 2学时教学目的与要求：掌握极限存在准则

10、，透彻理解两个重要极限；理解无穷小的比较概念。教学内容概述：本节借助例子给出极限存在的两个准则，利用极限存在准则证明sinx/x =1 ，解释（1+1/n）n = e 并讲明其特征，注意其“型”。借助例题说明无穷小之间的几种关系；学习利用无穷小的等价求极限。教学重点（难点）：极限存在准则，两个重要极限的应用。教学过程：一、两个重要极限定理1（夹逼定理） 三数列、和，如果从某个号码起成立：1），并且已知和收敛， 2），则有结论：定理2 单调有界数列一定收敛。单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。 极限sinx/x =1 O H YT该极限的证明，关键是证不等式:sinx&l

11、t;x<tanx (0<x</2).如图.设单位圆O的渐开线为.B若记TOAx，并过作轴于，C切且交 A C X及轴分别于、，则Sinx =TH<AT<=（x）=TB<TC=tanx我们说这个证明不仅是一个创造性的，更主要它避免了传统证法中的“循环论证”.因扇形面积ATx的求得，一般是n等分T成n个等腰AiOAi-1(i=1.2,n,A=A0,T=An)，则AiOAi-1=Sin（x/n）=n Sin（x/n）此时，扇形面积AT=AiOAi-1=Sin（x/n）=x Sin（x/n）/（x/n）显然当Sin（x/n）/（x/n）=1时，扇形面积ATx，但令t

12、= x / n，则该极限为要证明的重要极限，即出现循环论证。 极限（1+1/n）n = e例1 求下面函数极限：， ，例2 证明有界，并求 的极限。二、无穷小的比较定义 若为无穷小，且 则与的关系，依次是高阶、低阶、同阶、k阶、等价（） 1）若为等价无穷小，则。 2）若、且存在，则： 例1 证明下面各无穷小量之间的关系： 与x（x +） tanx-sinx与sinx（x ）。例2 求下面函数极限： ， ， 。作业：见课后各章节练习。小结：本节主要学习了运用两个重要极限求极限的思路，方法。第五讲：函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 2学时教学目的与要求：利用定义判断函数的连续或间断点。理解连续

13、函数的性质和初等函数的连续性，并会利用函数的连续性求函数极限。了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学内容概述：讲解函数在一点的连续性，间断点的几种类型；连续函数的四则运算反函数连续定理，复合函数的连续性定理；闭区间上连续函数的性质（最大、最小值；有界性；零点、介值定理教学重点（难点）：函数连续性判定；利用闭区间上连续函数的性质解决问题一、函数在一点的连续性函数在点连续，当且仅当该点的函数值、左极限与右极限三者相等： 或者：当且仅当函数在点有极限且此极限等于该点的函数值 。 注：1）左右连续，在区间上连续(注意端点)； 2）连续函数的图像是一条

14、连续且不间断的曲线。 二、间断点 若：中有某一个等式不成立，就间断，分为：1、第一类间断点 即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。2、第二类间断点左极限与右极限两者之中至少有一个不存在。例1 讨论函数在x=0处的连续性：例2 求下面函数的间断点，判断其类型： 。三、连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的四则运算1） 且，2） 且，3） 且，反函数连续定理如果函数是严格单调增加（减少）且连续的，则存在它的反函数：也是严格单调增加（减少）并且连续。注：1）反函数的定义域就是原来的值域。2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成复合函数的连续性定理： 设函数和满足

15、复合条件，若函数在点x0连续；，又若函数在点连续，则复合函数在点连续。 注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且初等函数在其定义区间内连续。例1 求下面函数的连续区间： ， 。例2 求下面函数极限： ， 。四、闭区间上连续函数的性质 1、最大、最小值设函数：在上有界，现在问在值域中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点的函数值 ，则记叫做函数在D上的最大值。 类似地，如果 中有一个最小实数，譬如说它是某个点的函数值，则记称为函数在上的最小值 。2、有界性有界性定理 如果函数在闭区间上连续，

16、则它在上有界。3、零点、介值定理最大值和最小值定理 如果函数 在闭区间上连续则它在上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得 。亦即 若x0使，则称x0为函数的零点。 零点定理零点定理 如果函数在闭区间上连续，且在区间的两个端点异号：则至少有一个零点，使。介值定理 如果函数在闭区间上连续，则在上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。例1 证明方程x=asinx+b（a、b0）至少有一个正根，并且它不超过a=b。例2（2005年全国高考题） 已知函数。1）求的单调区间和值域； 2）设a1，函数，若对于任意使得成立，求a的取值范围。 作业：见课后各章节练习。小结：本节借助具体例子给出函

17、数在一点处连续的条件以及函数在区间连续的特点，闭区间上连续函数的性质。第六讲 第二章 第一节 导数的概念2学时一、教学目的：1.理解导数的定义；2.了解导数的定义的几种形式；3.掌握可导的充要条件；4.理解函数可导与连续的关系；5.知道导数的物理背景和几何意义。二、.教学重点： 1.导数的定义及几种形式；2.导数的几何意义.三、教学注意点1 要充分认识函数在一点处的导数是函数关于其自变量在该点的变化率：切线的斜率；速度与加速度；角速度与角加速度；电流，等等。2 要充分理解函数可导则必然连续，而连续却未必可导。3 注意要用函数可导的充要条件：存在来判断分段函数在分段点处是否可导。四、教学过程一.

18、导数概念的引例（以物理学中的速度问题为例，引入导数的定义）1.变速度直线运动的瞬时速度： 由物理学知道，物体作匀速直线运动时，它在任何时刻的速度可以用来计算。当物体作变速直线运动时，上述公式只能计算某段路程的平均速度，要精确地了解物体的运动，不仅要知道它的平均速度，还要知道它在每个时刻的瞬时速度。设一物体作变速直线运动，物体经过的路程是时间的函数，即；当时间由变化到时，在这时间段内，物体走过的路程为 于是物体在这一段时间内的平均速度为 = SS0f(t0+t)f(t0)显然，这个平均速度是随着的变化而变化的。一般地，当很小时，可看作是物体在时刻速度的近似值，且越小，近似程度越好，因为取得越小，

19、那么在这段时间内物体运动的速度越是来不及有很大的变化，因而就越能接近物体在0时刻的瞬时速度。当时，平均速度的极限就是物体在时刻的瞬时速度，即 。这就是说，物体运动的瞬时速度就是位移的增量和时间增量的比值在时间增量趋于零时的极限。例如:自由落体运动的瞬时速度已知作自由落体运动的物体的位移与其时间的函数关系是，求该物体在时刻的瞬时速度1). （以均匀代替非均匀）首先从物体的内的平均速度入手； 令物体移动时间从变化到； 在这个时间段物体的位移为； 物体在这个时间段内的平均速度为.2). （以极限为手段）然后得到瞬时速度. 易见愈小，时间内的平均速度的值就愈接近时刻的速度； 因此，当时，的极限自然定义

20、为物体在时刻的瞬时速度，即定义 .由此可见，物体在时刻的瞬时速度是函数的增量与自变量增量比值当的极限. 推广到一般，可以归结为一个函数的增量与自变量的增量之比，当趋于零时的极限这种类型的极限我们称其为导数2平面曲线的切线斜率在中学的平面几何中，圆的切线被定义为“与圆只有一个交点的直线”.对一般曲线来说，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适.例如，对于抛物线，在原点O处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有轴是该抛物线在点O处的切线.而如图4.1.2中所示的直线由于它跟曲线相交于两点，所以就不是曲线的切线了，这显然是不合适的.因此，需要给曲线在一点处的切线下一个普遍适用的定义

21、。如图，在曲线上取得与邻近的另一点，作曲线的割线，当点沿着曲线向点移动时，割线绕点移动，当点逐渐接近于点时（），割线的极限位置就叫做曲线在点处的切线。设割线的倾斜角为，于是割线的斜率是 设切线的倾角为，点沿着曲线无限趋近于点，即，得到切线的斜率为： 这就是说，曲线在点处的纵坐标的增量与横坐标的增量的比值，当时的极限为曲线在点处的切线的斜率。上述两个问题，一个是物理问题，另一个是几何问题.它们的实际意义不同，但如果撇开两个极限的实际意义，那么不外乎是把所求的量归结为：求当自变量的改变量趋向于零时，函数的改变量与自变量的改变量之比的极限。二、导数的定义与几何意义1. 函数在一点处导数定义 设函数在

22、的某一邻域内有定义，当自变量在处取得增量(，点仍在该邻域内)时；相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 . 也可记为 , 或 如果极限不存在，则称函数在点处不可导。2. 函数在任一点处导数导函数将处导数定义中的换成，如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 .显然，当 在某区间内变化时，是的函数. 因此称之为导函数，也简称为导数. 导函数的记号还有, 或 注意：函数在点的导数是导函数在点处的函数值即 .例1 求函数（为常数）的导数。解：在中，不论取何值，起其函数值总为，所以，对应于

23、自变量的增量，有 ，即。注：这里是指在任一点的导数均为0，即导函数为0。例2求（为正整数）在点的导数。解：即，亦即，若将视为任一点，并用代换，即得注：更一般地，（为常数）的导数为，由此可见， , 。例3求在点的导数。解： ,即 同理：若视为任意值，并用代换，使得，即。注：同理可证：。例4求的导数。解：所以。 注：特别地，。例5求的导数。解：。注 1：等最后讲到反函数求导时，可将作为的反函数来求导； 2：一般地说，求导有四步：一、给出；二、算出；三、求增量比；四、求极限。3导数的几何意义切线斜率：函数在点处的导数在几何上表示：曲线在点处的切线斜率.法线的定义：过切点且垂直于切线的直线叫做曲线在点

24、处的法线。 切线方程： 如果存在，则曲线在处的切线方程为法线方程： 如果存在，则曲线在处的法线方程为，（）当时，切线方程为平行于轴的直线，法线方程为垂直于轴的直线。当时，切线方程为垂直于轴的直线，法线方程为平行于轴的直线。例6 求抛物线在点（1,1）处的切线方程和法线方程.解 由例1知道，又由导数的几何意义知道，所以，所求的切线方程为 ，即.法线方程为 ，即 4.可导的充要条件根据极限存在的充要条件，函数在点可导，当且仅当与同时存在且相等这两个极限值分别称为在点的右导数和左导数（统称为单侧导数）分别记为，2. 可导的充要条件函数在点处可导的充分必要条件是函数在点的左右导数存在且相等，即=例题2

25、 （1）设 讨论函数在处的可导性（2） 设 ，求三、函数可导性与连续性的关系 1.可导必连续设函数在点可导，即存在，由极限与无穷小量的关系知，其中是时的无穷小量上式两端同乘以，得 由此可见，当时， 即函数在点连续 2. 连续未必可导例如，函数在点处连续（图1），但由例题2（1）知，在点处不可导 同样，函数在点处连续（图2），但由例题2（2），中，在点处不可导. 由上面的讨论可知，函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件，所以如果函数在某点不连续，则函数在该点必不可导 图1 图2小结：本节通过具体例子给出导数定义，利用定义推出一些基本初等函数的导数公式，结合实际给出导数的几何意义。第七讲 第

26、二节 函数的和差积商的求导法则 2学时一、教学目的： 熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则二、.教学重点：积、商的求导法则和应用三、教学注意点：掌握函数的线性组合、积与商的求导法则 ；四、教学过程一.函数和的求导法则定理 1：若函数和在点都可导，则在点也可导，且 。证明： = 所以。注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去。 2：本定理的结论也常简记为。二.函数积的求导法则定理2：若和在点可导，则在点可导，且有。证明： = = = =即 。例1 求下列函数的导数或导数值解：(1)解： (2)解： (3)注 1：若取为常数，则有：； 2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如： 等。三.

27、函数商的求导法则定理3 若都在点可导，且，则在点也可导，且。证明： = = =即注1：本定理也可通过，及的求导公式来得；2：本公式简化为；3：以上定理13中的，若视为任意，并用代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数公式。例2 求函数的导数.解 根据求导法则可得： 即 用类似的方法可得 .例3 求函数的导数.解 根据求导法则可得： 即 .用类似的方法可得 .例4 设，求和. “先求导，再代入”解 因为所以练习: 利用导数的四则运算法则求导数1 ； 2 ；3 ；4 ；5 ；6；7；8；9；第八讲反函数的导数与复合函数的导数；高阶导数 2学时一、教学目的1.掌握反函数的求导法则；2.掌握复合函数的

28、求导法则 3能够计算一些特殊函数的高阶导数公式；二、.教学重点 求解反函数的导数与复合函数的导数的法则和应用 三、教学注意点在求导法则中，复合函数在链式求导法则是中心，应用时一要弄清函数的复合关系，做到不遗漏，不重复；二是在每步求导时要弄清关于哪一个变量求导（即使这个变量不明显出现），熟练掌握的关键是多做练习。四、教学过程一. 反函数的导数定理1 (反函数求导法则)设为的反函数，若在的某邻域内连续，严格单调，且，则在（即点有导数），且。证明： 所以 。 注1：，因为在点附近连续，严格单调； 2：若视为任意，并用代替，使得或，其中均为整体记号，各代表不同的意义； 3：和的“”均表示求导，但意义不

29、同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。例1求的导数，解：由于，是的反函数，由定理1得：。注1：同理可证：； 2：。例2 求的导数.解: 例3 ，求. 解：，反过来，如果已知，也可求 .例4 ，求.解：，.二. 复合函数的求导公式复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。定理2 （复合函数求导法则）如果在点可导，且在 点也可导，那么，以为外函数，以为内函数，所复合的复合函数在点可导，且，或证明： = 所以。注 1：若视为任意，并用代替

30、，便得导函数： ，或 或。 2：与不同，前者是对变量求导，后者是对变量求导，注意区别。 3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。 4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如： 等。例6 求的导数。解：可看成与复合而成， 。例7 求（为常数）的导数。解：是，复合而成的。所以。这就验证了前面§2、1的例4。由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。例8 ，求。解：。例9 ，求。解： 。例10 ，求。解：

31、= =。例11 ，求。解： 。 第九讲 微分及其应用 2学时一、教学目的：1. 理解微分的概念，了解微分的几何意义以及微分与可导之间的关系；2. 熟悉微分的运算法则；3. 会用微分进行近似计算.二、.教学重点： 微分的概念，微分与可导之间的关系.三、内容要点1函数在一点处可微及其微分的定义：若自变量x在x0处取得增量后，函数增量可表示为： （其中A与有关而与无关），则称在点处可微，称为在点处的微分，记作。2在处可微在处可导，且或3微分的运算法则： 微分形式的不变性：若，则4微分的意义：表示曲线在点的近旁可用该点处的切线近似代替，即“以直代曲。”5微分的应用：用微分进行近似计算和估计误差。四、教

32、学注意1要抓住函数可微的定义若在处给出增量后，函数增量可表示为（A与x0有关而与无关），也就是说，函数的增量与自变量增量的线性函数相差的只是的高阶无穷小；线性函数就叫函数（在处）的微分，把握了这点，微分的意义和应用就容易理解了。2要熟练掌握微分的运算法则（包括微分形式的不变性），因为微分的运算法则在以后的章节如“不定积分”、“定积分”及“微分方程”中都将用到。五、教学过程一、微分的定义和几何意义1.实例：一个正方形的边长由变到，面积改变了多少？用表示正方形的边长，A表示面积A=，当=，=.所以 =， 可见，当很小的时候，.2.定义： 若在处的增量可表示为，其中A为不依赖于的数，则称在处可微，称

33、为的微分.记为，即，又，则 .3.可微与可导的关系： 可微可导证 必要性：若在处可微； 则 .充分性：若在处可导 在处可微由此可见，若在处微分. 注：是的高阶无穷小 例1 求在，的改变量与微分. 解：记，=， ，又 所以. 下面讨论微分的几何意义. 所以几何上表示曲线在点处切线的增量如图，当自变量由x增加x+到时，函数y=f(x) 相应的增量，又在M（）点，函数的切线的斜率为，从而得：PQ=,MQ=是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量。是曲线在M点的切线上的点的纵坐标的增量，当时，故常用d来代替，用于近似的计算:注1：，当时，若，则相对误差，可见，当越小，则用代替的效果越好！ 注：并非任一函

34、数在处都可微。二、微分运算的法则1.运算法则；. 2. 复合函数的微分法则设，不论是自变量还是中间变量都有.此称作一阶微分形式不变性证 若是自变量，则； 若是中间变量，则.例2 ，求.解法一： 则解法二： .例3 已知，求.解：= 所以三、微分在近似计算中的应用实际中经常会遇到一些函数表达式较复杂的运算，但是结果又并非要求十分精确,在这种情况下，可考虑使用微分来做近似的计算.当，比较小，容易求时，有近似公式或 .上式中令，则特别地，当很小时，有例4：求的近似值解：设函数，取，所以=.利用，很小，可证得以下的几个公式：（1）；（2），；（3）.例5 有一批半径为1cm的球，为了提高球面光滑度要镀

35、上一层铜.厚度为0.01cm估计一下每只球需要多少铜.（比重8.9克/cm）解：球体积为，问题变为当变到时求.因为，所以，将数据代入可以算出.所以每只球需要铜克.第十讲 函数的单调性与极值 2学时 一、.教学目的 1.掌握用一阶导数的符号判别函数单调性的方法2.会求函数的单调区间，并利用函数的单调性进行简单不等式的证明；3.理解函数极值与极值点的概念，掌握极值存在的必要条件;4.熟练掌握求函数极值的方法（极值点的充分条件） 5.搞清极值点和驻点的区别与联系。二、.教学重点 1函数单调性的判断；2.函数单调区间的求法；3.函数极值的求法。三、教学注意点 1. 要注意用求导方法判别函数单调性的条件

36、;2不要将极值点与驻点混为一谈，要清楚驻点是对可导函数而言的，二极值点对不可导函数、甚至对不连续函数也是有意义的，只有可导函数的极值点才是驻点；而可导函数的驻点仅是可疑极值点。3要学会用极值判定条件来求函数的极值，但又要知道极值的判定条件是充分而不必要的。四、教学内容概述：函数单调性的判别方法；函数极值的判别及求法。五、教学过程一、 函数单调性的判别法引例：（1）在内单增，当时，。 （2）在内单减，当时，。定理1（函数单调性的判别法）设函数在上连续，在内可导； （1）如果在内，则函数在上单调增加； （2）如果在内，则函数在上单调减少；推论1：设函数在上连续，在内可导； （1）如果在内，则函数在

37、上严格单调增加； （2）如果在内，则函数在上严格单调减少；例1：讨论下列函数的单调性 （1），（2），例2：讨论函数的单调性注：（1）一般地，如果函数在某个区间上连续，且其导数除在有限个点处为零外，而在其余点处都有（或），则函数在该区间上单调增加（单调减少）。 （2）可以发现函数单调增加区间与单调减少区间的分界点可能是导数为零的点和导数不存在的点。 （3）可利用函数的单调性证明一些不等式。例2讨论单调性。解：（）当时， 所以在上严格递减；（）当时 , 所以在-1，1上严格递增；（）当时， 所以在上严格递减。例3 证明：当时，。证明：令所以，当时，所以为严格递增的，所以。二、函数的极值及其求法（

38、一） 引例 讨论函数在点、的附近的单调性，（二） 函数极值的概念定义 设函数在点的某邻域内有定义，如果对，恒有（或），则称为函数的一个极大值（或极小值），称为函数的极大值（或极小值）注：（1）函数极值是一个局部概念，只是将函数在某一点处的函数值与其邻域的函数值进行比较；而极小值并不一定小于极大值。 （三） 函数取得极值的充分必要条件 由引例1知函数在点、处取得极值，而该函数在这些点处的导数为零或导数不存在。定理2(必要条件)设函数在点处可导，且在点处取得极值，那末该函数在点处的导数为零，即。注：（1）称使得函数的导数为零的点为函数的驻点。 （2）定理1表明可导函数的极值点一定是驻点。但函数的驻

39、点不一定是函数的极值点，不是函数的驻点的点也可能是函数的极值点。定理3(第一充分条件)设函数在点连续，且在点的某去心邻域内可导。（1） 若当时，有；而当时，有。则函数在点处取得极大值。（2） 若当时，有；而当时，有。则函数在点处取得极小值。（3） 如果当时，有（或），则函数在 点 处没有极值。 定理4（第二充分条件）设函数在点处二阶可导，且，； 那么（1）当时，函数在点处取得极大值， （2）当时，函数在点处取得极小值。 注：（1）定理2、定理3的条件都是充分的。（2）对定理3，若时，则不能利用定理进行判别，此时函数在点处可能取得极值，也可能没有极值。如：，。4、求函数极值的步骤（1） 求出函数

40、的定义域，（2） 正确求出，找出的全部驻点及使不存在的点，（3） 确定在上述这些点两侧的符号，（4） 判别函数的单调区间及极值点，并指出极大值和极小值。例2：求下列函数的极值（1） （2）（3）第十一讲 第四节 函数的最大值与最小值 2学时 一、教学目标： 1.掌握函数的最大(小)概念; 2.掌握求最大（小）值的方法。3. 区别最值与极值的定义二、.教学重点： 求函数最大小值的方法三、教学注意点： 不要将极大（极小）值与最大（最小）值混为一谈，要懂得它们的区别和联系。.最大(小)值是指在定义域内,函数取得最大(小)的那个值; 而极值定义为如果对，恒有（或）,则称在取得极大(小)值为.四、教学内

41、容：函数的最大值与最小值的求法五、教学过程一、函数在闭区间上的最大值与最小值  在实际问题中，我们经常需要考虑如何花费最小代价去获取最大收益问题，如生产易拉罐时，要考虑在一定容积下，如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省？又如一根圆木锯成矩形横梁时，怎样选择矩形的长和宽，才能使横梁的强度最大？这类“最大”“最小”“最省”的问题，在数学上可归结为“最大值最小值问题”，简称为“最值问题”。     如何求最值呢？最值可能在区间端点上取到，也可能在区间内取到。若在区间内取到，则最值点必为极值点。因此求最值的方法就是：先求出所有极值然后与区间端点的值进行比较即

42、可。由于极值是在驻点与不可导点中产生的，因此求最值的方法即为：    1。解方程，求出它的根并算出，；    2。求不可导点，并算出，；    3。求出区间端点的函数值，。    4。比较，；，的大小，最大一个即为最大值，最小的一个即为最小值。例1求函数在区间上的最大值与最小值。解：，故必存在最大值与最小值。，令得驻点，不可导点，。因为偶函数，仅需计算，。比较它们的大小，可知，在区间上的最大值为，最小值为。二.应用问题举例例2 设有一块边长为的正方行铁皮，从其各角截去同样的小

43、正方形，作成一个无盖方匣。问截去多少方能使作成的匣子之容积最大？解：如图：用表示截去的小正方形的边长，则得盒子容积为，于是问题归结为求函数在上的最大值，因，在内有唯一解，在端点，时，故必在时取得最大值（）。即当四角截去边长为的正方形时，所做成的盒子容积最大。例3：某厂用铝合金生产装饮料用的易拉罐，为了安全，顶盖的厚度是罐身（侧面与底部）厚度的三倍（罐身整快材料，顶盖另装），问如何确定它的底面半径和高才能使用料最省？ 解：设罐身的厚度为，则顶盖的厚度为。记易拉罐的容积为常数，底面半径为，高为，于是，罐身的用料（体积）为，而顶盖的用料为，因此问题归结为求函数在中的最小值。，因此在只有唯一零点，而没

44、有不可导点。又，故是的最小值点。这时相应的高为。即，当它的高为底面直径的2倍时用料最省。    同样的方法可以推出，若圆柱形有盖容器的外表面是用厚薄相同的材料制成的，那么当它的底面直径和高相等的时候用料最省，许多圆柱形的日常用品，都是采用这样的比例（或近似这样的比例）设计的。    最值问题也在社会科学尤其是经济科学中得到了广泛应用。因为经济活动的最重要目标之一就是最小的花费去赢取最大的利润，（经济学中的“最大利润原理”）这里就不一一举例了。 利用函数的最值性可以证明一些不等式。例5：证明不等式 ，。证：令，则。令

45、得唯一驻点。又，所以为极大值，从而是在内的最大值（因为连续）。故 ，即，。例：讨论方程有几个实根。 解：设，得唯一驻点。当时，由此得在上严格递减；当时，由此得在上严格递增。故在处取最小值，最小值为。又，。故1）当时，无实根；   2）当时，仅有一个实根。   3）当时，方程有两个实根，在与内各有一个。   4）当时，仅有一个实根，在内。例4 试求单位球的内接圆锥体体积最大者的高，并求此体积的最大值。解：设球心到锥底面的垂线长为，则圆锥的高为，圆锥面底面半径为，圆锥体积为由 ,得驻点，在上，函数单增； 在上，函数单减，故是函数的最大值点

46、，是函数的最大值。于是最大的体积为，此时的高为。第十二讲 第三章 第一节 不定积分的概念与性质 两学时 一、教学目的要求： 1理解原函数、不定积分的概念2、了解不定积分的几和意义 二、教学内容： 1、原函数 2、不定积分的概念 3、不定积分的几何意义三、教学重点难点： 不定积分的概念 四、教学注意点：1、原函数与不定积分的概念：由导数及导数的意义引入原函数的概念；2、解释不定积分的几何意义；3、强调原函数和不定积分的特性，并举例说明； 五、教学过程：1、原函数与不定积分的概念（1）定义 如果对任一，都有 或 ，则称为在区间I 上的原函数。例如：，即是的原函数 ，即是的原函数。原函数存在定理 如

47、果函数在区间I 上连续，则在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数，使得对任一，有。 注1：若 则 即是的原函数，则也为的原函数，其中为任意常数。 故有一个原函数，则就有无穷多个原函数。注2：如果与都为在区间I 上的原函数，则与之差为常数，即 （C为常数）注3：如果为在区间I 上的一个原函数，则（为任意常数）可表达的任意一个原函数。（2）定义 在区间I上，的带有任意常数项的原函数，成为在区间I上的不定积分，记为。如果为的一个原函数，则，（为任意常数）2、中各部分名称：成为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量3、积分概念的应用（借助例题掌握积分的含义）例1 因为 ， 得

48、 例2 因为，时，；时，得 ，因此有 例3 设曲线过点，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。解：设曲线方程为，其上任一点处切线的斜率为从而 由，得，因此所求曲线方程为一、 不定积分的几何意义在例中所求曲线应是该曲线族中的一条，由于所求曲线过点(1，2)，故: ， 。从表达式可知道,曲线族中任意常数的几何意义:的图形可由抛物线沿轴方向移动距离得到。当时， 图形向上移；  当时，图形向下移。由此例，我们可将原函数，不定积分这些概念用几何术语来加以描述。1、函数的一个原函数的图形叫做函数的一条积分曲线， 其方程为    2、不定积分的图形叫做函

49、数的积分曲线族， 它们的方程为。3、由可知：在积分曲线族上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此平行。由不定积分的定义，有如下关系式：   或    或  由此可见，微分运算 (记号为) 与不定积分运算 (记号为)是互逆的。当记号合在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。 4、小结本节内容第十三讲 第五章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 两学时一、教学目的要求： 1掌握不定积分的性质及基本积分表2会计算一些简单函数的不定积分二、.教学内容：1、不定积分的性质 2、基本积分法三、教学重点： 1不定积分的性质 2基本积分公式四、教学注意点:

50、1、不定积分的性质：说明不定积分的性质对不定积分计算的重要性；列出不定积分的性质并给与证明，证明过程中有意识地加深学生对不定积分概念更深入的理解；2、利用不定积分意义推出不定积分的基本公式3、由基本积分表说明基本积分方法；五、教学过程1、不定积分的性质性质1性质2.（为常数，）（运算规则）性质3、 性质4、 （微分、积分、导数关系2、基本积分表1） 2) ()3) 4) 5) 6）7） 8）9） 10）11） 12）13）3、基本积分法（1）求 解： （2）求解：（3）求解：（4）求解：(5) 求解：(6)求解：4、小结本节内容并布置作业;P225 5 (1) (9) (12) (17) (23) (24)第十四讲第二节 换元积分法 两学时 一、教学目的 1理解第一类换元法的基本思想 2掌握第一类换元法的内容及其证明方法3掌握凑微分的技巧和方法二、.教学重点 1第一类换元积分法 2第二类换元积分法三、教学过程一、第一类换元积分法设具有原函数，即，  如果又是另一新变量的函数， 且可微，由