考研高数基础讲义---定积分应用

1、1定积分的应用 若能把某个量表示若能把某个量表示成定积分成定积分,我们就可以我们就可以应用定积分计算这个量应用定积分计算这个量2()iiiAfx ，1iiixx ，(3) 求和，求和，1().niiiAfx (4) 求极限，求极限，01lim()niiiAfx 相应的曲边梯形被分为相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，个小窄曲边梯形，小窄曲边梯形的面积为小窄曲边梯形的面积为,iA 则则1niiAA (2)计算计算iA 的近似值，的近似值，而第而第i个个(1)把区间把区间a,b分成分成n个长度为个长度为ix 的小区间的小区间，,1iixx 得得A的近似值的近似值,得得A的精确值的精确值.回顾：回

2、顾：曲边梯形的曲边梯形的面积面积表示为表示为定积分定积分的步骤：的步骤：ab xyoA)(xfy ( )dbaf x x 1ix ix 3abxyoA( )yf x xdxx Ad对以上过程进行简化对以上过程进行简化:的面积，的面积，则则xxfAd)( 取取, x 面积元素面积元素若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxxd 上的窄曲边梯形上的窄曲边梯形 xxfAd)(lim.d)( baxxfAA d ,A记记为为：d( )dAf xx 则则，dAAdA ( )df xx ，这种简化以后的定积分方法叫这种简化以后的定积分方法叫“微元法微元法”或或“元素法元素法”4一、定积分的元素法一、

3、定积分的元素法1.什么问题可以用定积分（元素法）解决什么问题可以用定积分（元素法）解决 ?表示为表示为01lim()niiiUfx 1) 所求量所求量 U 是与区间是与区间a , b上有定义的上有定义的f (x) 有关的有关的2) U 对区间对区间 a , b 具有具有可加性可加性 , 即可通过即可通过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”( )dbaf xx 01lim()niiifx 定积分定义定积分定义一个整体量一个整体量 ;5.d)( baxxfU第一步，第一步，根据具体情况根据具体情况选取积分变量，选取积分变量，确定确定x的变化的变化区间区间a,b.第二步，

4、第二步，把区间把区间a,b分成分成n个小区间，个小区间， 取一代表区间取一代表区间，,xxxd 求出该区间上所求量的部分量的求出该区间上所求量的部分量的；xxfUd)(d 称为量称为量U的微元的微元.第三步，第三步，写出定积分的表达式：写出定积分的表达式：近似表达式近似表达式这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法x如如：元素的几何形状常取为元素的几何形状常取为: 条条,带带,段段,环环,扇扇,片片,壳壳等等2.应用定积分的元素法解决问题的具体步骤是：应用定积分的元素法解决问题的具体步骤是：63. (1)U是与一个变量是与一个变量x的变化区间的变化区间a,b有关的量有关的量.(2)U对于区

5、间对于区间a,b具有可加性，具有可加性，则则U相应地分成许多相应地分成许多即如果把区间即如果把区间a,b分成许多部分区间，分成许多部分区间，部分量，部分量， 而而U等于所有部分量之和等于所有部分量之和.则则U在在a,b 上的值可由定积分上的值可由定积分( )dUf xx，示为示为(3) 在在a,b中任取的小区间中任取的小区间,xxxd 上的部分量上的部分量U 与区间长度与区间长度dx可以通过可以通过x的某函数的某函数( )f x乘积近似表乘积近似表 ( )dbaf xx 来计算来计算.71. 直角坐标系下平面图形面积的计算直角坐标系下平面图形面积的计算(1)( ) (0)yf x 设设曲曲线线

6、与与直直线线,()xa xb abx及及 轴轴所所围围曲曲边边梯形的面积为梯形的面积为 A. baxxfAd)(ba( )yf x xoyxdxx dA( )( ),yf xyg x axb ， ( )( )f xg x 所围图形的面积所围图形的面积.其面积元素为：其面积元素为：d ( )( )dAf xg xx，则面积为则面积为 baxxgxfA d)()( )yf x ( )yg x xdxx 二、定积分在几何学上的应用二、定积分在几何学上的应用8 dcyyA d)( dcyyyA d)()( (3)(, 0)xyc d 以以为为曲曲边边, ,以以为为底底的的曲曲边边梯梯形形( )( ),

7、xyxy cyd ， ( )( )yy 所围图形的面积所围图形的面积.其面积元素为：其面积元素为：d ( )( )dAyyy，则面积为则面积为xoy( )xy ( )xy cdxyocd( )xy y+dyyy+dyy的面积的面积A.d( )dAyy 9,(),xa xb abxA及及 轴轴所所围围曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为则则(5)( ) , ,( )f xa byf x 当当在在上上有有正正有有负负时时 设设曲曲线线与与直直线线abyxO( )yf x 1A2A3AxxfAd)(d xxfAd)(d xxfAd)(d ba1) ( )0f x 时时, ,2) ( )0f x 时时,

8、,.d baxyxxfd)( A10回顾：极坐标系回顾：极坐标系1. 极坐标系的定义：极坐标系的定义： 在平面上取定一点在平面上取定一点o， 叫做叫做极点极点.从极点出发引一条射线从极点出发引一条射线Ox,叫叫极轴极轴， 并取定一个并取定一个长度单位长度单位和计算角度的和计算角度的正方向正方向(通常取通常取逆时针方向作正方向逆时针方向作正方向),这样这样就建立了一个就建立了一个平面极坐标系平面极坐标系.x1 2 3 4o. 2. 极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化cos ,sin .xy 222,tan, (0)xyyxx xoy (,) ),(yxyx P P ( , ) 0,02

9、 11过点过点M(a,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程且垂直于极轴的直线的极坐标方程cosa 过极点且倾角为过极点且倾角为 的射线的极坐标方程为的射线的极坐标方程为 xo( , )P yxo( , )P .Mbycos ,sin .xy 极坐标与直角坐标的极坐标与直角坐标的关系关系:sinb 轴的直线方程为轴的直线方程为过点过点M 且平行于极且平行于极( ,)2b xa yb 3. 几个常用曲线的极坐标方程几个常用曲线的极坐标方程xoy M(a,0)( , )P 12xo ry圆极坐标方程圆极坐标方程r o ( , )P xy2a2 cosa o ( , )P xy2a2 sina 圆极坐标

10、方程圆极坐标方程圆极坐标方程圆极坐标方程axyx222 ayyx222 222ryx ( , )P 132. 极坐标系下平面图形面积的计算极坐标系下平面图形面积的计算( ),( )0 ,C 设设求由曲线求由曲线( ) 及及, 射射线线围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积.( ) x d 解解:在区间在区间, 上任取小区间上任取小区间 ,d 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 21d( )d2A 所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为21( )d2A o212SR 圆圆扇扇形形 d 143.已知平行截面面积函数的立体体积已知平行截面面积函数的立体体

11、积设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x), ( ) , A xa b在在则在小区间则在小区间 ,d x xx 的体积元素为：的体积元素为：立体体积为：立体体积为：上连续上连续,xA(x)xab( )dbaVA xx d( )dVA xx dxx 15(1)曲边梯形曲边梯形2 ( )f x 旋转一周围成的旋转体的体积为：旋转一周围成的旋转体的体积为：( ) ()yf xaxbx绕绕轴轴dxbaV (2)曲边梯形曲边梯形( ) ()xycyd 绕绕 y 轴旋转一周围成的旋转体体积为：轴旋转一周围成的旋转体体积为：2 ( )y dydcV xoy( )xy cdy(

12、 )dbaVA xx y4.旋转体的体积旋转体的体积oabx( )yf x x16abyxoxdx生成的旋转的体积生成的旋转的体积.u求旋转体体积求旋转体体积x+dx( ),0yf xxa xb yy求求曲曲边边梯梯形形，绕绕 轴轴旋旋转转一一周周( )yf x 2()xfx内表面积：内表面积：d2( )dVxf xx 2( )dbyaVxf xx 柱壳法柱壳法17abyxoxdx生成的旋转的体积生成的旋转的体积.u求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法x+dx( ),0yf xxa xb yy求求曲曲边边梯梯形形，绕绕 轴轴旋旋转转一一周周( )yf x d2( )dVxf xx 2( )d

13、byaVxf xx ()dfxx底面积：底面积：18围成的曲边梯形绕围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周轴旋转一周所以：由连续曲线所以：由连续曲线( ),()yf xxa xb abx直直线线及及 轴轴所所2( )dbyaVxf xx 类似地，类似地， 如果旋转体是由如果旋转体是由连续曲线连续曲线( ),xy 直直线线,()yc yd cdy及及 轴轴所所围围成成x的的曲曲边边梯梯形形绕绕 轴轴旋旋转转一一周周2( )ddxcVyyy dxx xyoabx( )yf x 而成的立体的体积而成的立体的体积.dyy yxoy( )xy cd而成的立体的体积而成的立体的体积.195. 弧长弧长 (数数1

14、、数、数2)yxoab( )yf x 2 1d ,basyx (1)( )yf x 直直角角坐坐标标方方程程：( ):( )xtyt (2)参数方程参数方程.d)()(22ttts (3)极坐标方程极坐标方程() ( ) 22( )( )d .s 注意注意: 求弧长时积分上求弧长时积分上下限必须下限必须上大下小上大下小d .ss 大大小小sdyxO)(xfy xxxddxdyds222(d ) =(d )(d )sxy 222(d ) =(d )(d )sxy 206.旋转体的侧面积旋转体的侧面积(数数1、数、数2)设平面光滑曲线设平面光滑曲线1( ) , ,yf xC a b求求( )0,f

15、 x 且且它绕它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .xyoabxyoab ,d x xx 位位于于上上的的圆圆台台的的侧侧面面积积d2dSy s 积分后得旋转体的侧面积积分后得旋转体的侧面积22( ) 1( ) dbafSxfxx 取侧面积元素取侧面积元素:2( )f x 21( ) dfxx abx( )yf x 221d .bxaAyyx dsxyoab( )yf x ds(注意在不同坐标系注意在不同坐标系下下 ds 的表达式的表达式)21dxx xyoabx( )yf x dyy yxoy( )xy cd2 ( ) dyy dycV 2 ( )

16、 dbxaVf xx 2( )dbyaVxf xx 2( )ddxcVyyy ( )dbaAf xx ( )ddcAyy dbay x ddcx y 2 1d ,basyx 22( ) 1( )d .bxaAf xfxx 22注意：注意：1) 以上公式都要求以上公式都要求2) 复杂图形应学会分割复杂图形应学会分割.3) 不能用公式时应会元素法不能用公式时应会元素法.,.ab cd4)若曲边梯形的曲边为参数方程若曲边梯形的曲边为参数方程则上述公式可以用定积分的换元法处理则上述公式可以用定积分的换元法处理.( )().( )xttyt 5)若曲边梯形的曲边为极坐标方程若曲边梯形的曲边为极坐标方程则

17、可转化为直角坐标系下的参数方程：则可转化为直角坐标系下的参数方程：(), ) )( )cos()( )sinxy 6)与弧长有关时与弧长有关时,其限应其限应上大下小上大下小.23sin ,cos1,.0yx yxxx求求例例曲曲线线及及所所围围成成.平平面面图图形形的的面面积积cosyx sinyx 2解解:sincosyxyx与与的的交交点点2(,),42坐坐标标为为则则所所求求面面积积为为：0cossindAxx x 404=(cossin )d(sincos )dxxxxxx=2 2.典型例题分析典型例题分析xyo243sin,2.1sin 求求夹夹在在例例两两曲曲线线的的内内部部平平面

18、面图图形形的的面面积积. .解解:21( )d2A 面面积积公公式式3sin1sin 解解方方程程组组6 得得，22621206112( )d( )d 22A 则则所所求求面面积积为为226206(3sin) d(1sin) d xyo6 3221( )d2A 面面积积公公式式( ) xo A253 (03.),yx xA过过曲曲线线 上上点点 作作切切线线 使使该该例例切切线线与与曲曲线线3:4xD及及 轴轴围围成成的的平平面面图图形形 的的面面积积为为 ，求求(1) (2)ADx点点的的坐坐标标； 求求 绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所得得立立体体的的体体积积. .xyo3yx A0 xB解

19、：解：300(1)(,),Axx设设 点点的的坐坐标标为为231,3yx 则则切切线线方方程程为为2330001(),3yxxxx 002,yxx 令令，得得0( 2,0),Bx 则则 点点的的坐坐标标为为依题意有依题意有033000133d,24xxxx x 01x 解解得得，01y ， (1,1).A则则点点的的坐坐标标为为(2)Dx绕绕 轴轴旋旋转转所所得得的的体体积积为为122301 13() d3Vxx 12302=() d.5xx 12 D26例例4. 计算抛物线计算抛物线224yxyx与与直直线线所所围围平平面面图图形形解：解： 如图，如图，V 802 dx x 21443 12

20、83 x22yx oy4yx(8,4)(2,2) x绕绕 轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积. .xx分分析析：轴轴所所求求体体积积等等于于的的方方平平面面图图形形绕绕上上轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积. .求两曲线的交点求两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy482 ( ) dbaVf xx 27而成的而成的旋转体的体积旋转体的体积.分析：分析： 无公式可用无公式可用,可用元素法可用元素法.如图如图:例例5. 0,lnyxeyxxe 求求由由及及所所围围图图形形绕绕旋旋转转解法解法1:选择选择 y 作积分变量作积分变量,0,

21、1y xyo1elnyx xe ydyy 2d() dyVeey 则则120() dyVe ey 解法解法2:选择选择 x 作积分变量作积分变量,1, xe xyo1elnyx xe xdxx d2 ()ln dVexx x 则则12 ()ln deVexx x 1211(2)22ee 280 xe思考思考:过坐标原点作曲线过坐标原点作曲线lnyx 轴围成平面图形轴围成平面图形D.解解: (1) 设切点的横坐标为设切点的横坐标为0,x则所求切线方程为则所求切线方程为0001ln()yxxxxlnyxx 曲曲线线及及0ln10,x 由切线过原点知由切线过原点知的切线的切线. 该切线与该切线与0,

22、xe 故切线方程为故切线方程为1yxe yxeDlnyx yOx1yxe 1(2003考研考研)1.2e111lnd2eAexx 1(1) 求求 D 的面积的面积;(2) 求求D 绕直线绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积.29(2) 求求D 绕直线绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积.(2) 切线、切线、x 轴及直线轴及直线2113Ve 所围三角形绕直线所围三角形绕直线旋转所得圆锥的体积为：旋转所得圆锥的体积为：曲线、曲线、x 轴及直线轴及直线1220() dyVeey 所围图形绕直线所围图形绕直线旋转所旋转所2(41)2ee

23、因此所求旋转体体积为：因此所求旋转体体积为：21251236VVVee 得旋转体体积为：得旋转体体积为：xe xe xe xe 0 xeyxeDlnyx yOx1yxe 113033cos,si6.nxatyat 例例 设设曲曲线线求求(1)曲曲线线所所围围成成的的图图形形的的面面积积；解解:0(1)4daAy x 所所求求的的面面积积334( sin)d( cos)atat 03224( sin)(3 cos)( sin )datattt 2422012sincosdatt t 2462012sinsindattt 23!5!124! 26! 2a23.8a02 31(2)x曲曲线线所所围围

24、成成的的图图形形绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所得得立立体体的的体体积积；解解:20(2)2daxVyx 所所求求的的体体积积323022( sin) d( cos)atat 372206sincosdatt t 379206sinsindattt 26!8!12()7!9!a332.105a33cos,si6.nxatyat 例例 设设曲曲线线求求32(3)求求曲曲线线的的全全长长；解解:20(3)41daSyx 曲曲线线全全长长2332024( cos) ( sin) datatt 2222204( 3 cossin )(3 sincos ) dattattt 22222012sincos(

25、sincos)dattttt 2012sin cos datt t 2012sin d(sin )att 1.6a33cos,si6.nxatyat 例例 设设曲曲线线求求33(4)x求求曲曲线线绕绕 轴轴旋旋转转所所得得旋旋转转曲曲面面的的面面积积. .解解:20(4)22 ( ) 1( )daxAf xfxx 旋旋转转曲曲面面的的面面积积332322022() ( cos) (sinsin) datatatt 23022(3 sin cosin)d)satttat 2042sidn12costat t 2520112sin5at212.5a33cos,si6.nxatyat 例例 设设曲曲

26、线线求求ds34(1)求由摆线求由摆线(sin ),(1cos )xa ttyat(0)a 的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 .(2) 计算摆线计算摆线(sin )(1cos )xa ttyat (0)a 的一拱与的一拱与 y0所围所围成的图形分别绕成的图形分别绕 x 轴轴 ,y 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积 .(3) 计算摆线计算摆线(sin )(1cos )xa ttyat (0)a 的一拱的长度的一拱的长度.a2xxdy(sin )(1 cos )xa ttyat x练习题：练习题：35提示提示:计算摆线计算摆线(sin )(0)0(1cos )

27、xa ttayyat 的的一一拱拱与与所所围围成成的的平面图形分别绕平面图形分别绕 x 轴轴 , y 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积.解：解：绕绕 x 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为220daxVyx 235a 2220(1co(1cos )ds )aattt a2xxdy(sin )(1cos )xa ttyat x用柱壳法求用柱壳法求 较好较好yV202dayVxy x 0202xat2 (sin )a tt(1 cos )at 22dt02 336a 23202(sin ) (1 cos ) datttt 36证证: 221 01dsyx 则则 222 01cosdax

28、x 设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于1,s2,s22220( )( ) dsxyt 例例7. 证明正弦线证明正弦线sin (02 )yaxx 的弧长等于的弧长等于椭圆椭圆 (02 )t 的周长的周长.21sinyatcosxt 22220(sin )(1)(cos ) dtatt 22201cosdax x 12ss故原结论成立故原结论成立.22201cosdat t (2010).0 .re 研研 当当时时, ,对对练练数数螺螺线线的的弧弧长长为为习习2(1)e 37试用定积分求圆试用定积分求圆22(5)16yxx 绕绕 轴轴旋旋转转oxy454 上上半圆为半圆为2516yx下下22(5

29、16)x22(516)x 402V dx2160 求体积求体积 :解解:方法方法1 利用对称性利用对称性而成的环体体积而成的环体体积 V 及表面积及表面积 S .方法方法2 用柱壳法用柱壳法dV 2 y 2x dy 914V 216(5) dyyy2160 454 oxyy 420220 16dxx 54sinyt令令例例8.38oxy454 上上半圆为半圆为2516yx下下解解: 求侧面积求侧面积 :402 22 (516)x 21dyx 上上S 402 22 (516)x 21dyx 下下280 224022 (5126)(1)16xxx 2222 (516)1() d16xxxx 22(

30、 ) 1( )d .bxaAf xfxx 0241d16160 xx 试用定积分求圆试用定积分求圆22(5)16yxx 绕绕 轴轴旋旋转转而成的环体体积而成的环体体积 V 及表面积及表面积 S .例例8.392116dyy 解：解：如图如图1116 y 116 lim ()( 1)yy 16 21dyVxy 4,1,0 xyyxy 求求由由所所围围图图形形绕绕轴轴旋旋转转而而成成的的立体的体积立体的体积.xyo144xy 例例9. 21()(1ln)yexxxx 设设位位于于曲曲线线下下练练习习方方, ,: :轴轴上上方方GGx的的无无界界区区域域 , ,则则 绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所形

31、形成成的的立立体体的的体体积积 .(2010)为为年年研研数数三三24 40( )( ),(0)V tyf xxtxxt表表示示及及轴轴所所围围图图形形绕绕直直线线例例10.( )yf x 设设在在 x0 时为连续的非负函数时为连续的非负函数, (0)0,f 且且旋转一周所成旋转体体积旋转一周所成旋转体体积 ,证明证明:( )2( ).Vtf t 证证: 利用柱壳法利用柱壳法d2 () ( )dVtx f xx 则则0( )2 () ( )dtV ttx f xx 02( )dttf xx 02( )dtx f xx 0( )2( )dtV tf xx 2( )tf t 2( )tf t (

32、)2( )Vtf t 故故xtdxx xyo( )yf x xtdxx xyo( )yf x 4143 2(1132)1yxxx曲曲线线, ,直直线线及及 轴轴所所年年数数围围的的平平面面图图形形 .x绕绕 轴轴旋旋转转所所成成的的旋旋转转体体的的体体积积为为0tan d (0) (111,4) .2xyt txs 曲曲线线的的弧弧长长年年数数ln(12) 思考题：思考题：44 (123 ).yyxyxx由由曲曲线线和和直直线线及及在在第第一一象象限限中中围围成成的的平平面面图图形形的的面面积积为为年年数数4ln2(0,1):ln(122).(12,.)L yxALxBDLABDDx 过过点点作作曲曲线线的的切切线线 切切点点为为 ，又又 与与 轴轴交交于于 点点, ,区区域域 由由 与与直直线线围围成成, ,求求区区域域 的的面面积积及及 绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转