第4章、数字逻辑基础

1、第4章 数字逻辑基础数字逻辑基础4.1 数制和码制数制和码制4.2 逻辑代数中的基本运算逻辑代数中的基本运算4.3 逻辑代数中的基本定律和常用公式逻辑代数中的基本定律和常用公式4.4 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法4.5 逻辑函数的公式化简逻辑函数的公式化简法法4.6 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简法法随着信息时代的到来，随着信息时代的到来，“数字数字”这两个字正这两个字正以越来越高的频率出现在各个领域，数字手表、以越来越高的频率出现在各个领域，数字手表、数字电视、数字通信、数字控制数字电视、数字通信、数字控制数字化已成数字化已成为当今电子技术的发展潮流。数字电路是数字电为

2、当今电子技术的发展潮流。数字电路是数字电子技术的核心，是计算机和数字通信的硬件基础子技术的核心，是计算机和数字通信的硬件基础。 本章首先介绍数字电路的一些基本概念及数本章首先介绍数字电路的一些基本概念及数字电路中常用的数制与码；然后介绍数字逻辑中字电路中常用的数制与码；然后介绍数字逻辑中的基本逻辑运算、逻辑函数及其表示方法。的基本逻辑运算、逻辑函数及其表示方法。 数字量和模拟量数字量和模拟量电子电路中的信号可以分为两大类：电子电路中的信号可以分为两大类：模拟信号模拟信号在时间上或数值上是连续变化的物理在时间上或数值上是连续变化的物理量，叫量，叫模拟量模拟量，如热电偶在工作时输出的电，如热电偶在

3、工作时输出的电压信号（被测温度的变化）。表示模拟量的压信号（被测温度的变化）。表示模拟量的信号叫信号叫模拟信号模拟信号，并把工作在模拟信号下的，并把工作在模拟信号下的电子电路称为电子电路称为模拟电路模拟电路。数字信号数字信号在时间上或数值上是不连续变化（离在时间上或数值上是不连续变化（离散）的物理量，叫散）的物理量，叫数字量数字量，如电子表的秒信，如电子表的秒信号、生产流水线上记录零件个数的计数信号号、生产流水线上记录零件个数的计数信号等。这些信号的变化发生在一系列离散的瞬等。这些信号的变化发生在一系列离散的瞬间，其值也是离散的。表示数字量的信号叫间，其值也是离散的。表示数字量的信号叫数字信号

4、数字信号，并把工作在数字信号下的电子电，并把工作在数字信号下的电子电路称为路称为数字电路数字电路。数字信号数字信号1 1、数字信号只有两个离散值、数字信号只有两个离散值 ：“0”0”和和“1”1”。注意：这里的注意：这里的“0” 0” 和和“1” 1” 没有大小之没有大小之分，只代表两种对立的状态，称为分，只代表两种对立的状态，称为逻辑逻辑0 0和逻辑和逻辑1 1，也称为，也称为二值数字逻二值数字逻辑辑。 2 2、数字信号在电路中往往表现为突变的电压或电流、数字信号在电路中往往表现为突变的电压或电流 Vt(V)(ms)5010 20 30 40 50图1.1.1 典型的数字信号（1 1）信号只

5、有两个电压值，）信号只有两个电压值，5V5V和和0V0V。我们可以用我们可以用5V5V来表示逻辑来表示逻辑1 1，用用0V0V来表示逻辑来表示逻辑0 0；当然也可；当然也可以用以用0V0V来表示逻辑来表示逻辑1 1，用，用5V5V来来表示逻辑表示逻辑0 0。因此这两个电压。因此这两个电压值又常被称为值又常被称为逻辑电平逻辑电平。5V5V为高电平，为高电平，0V0V为低电平。为低电平。 2 2、数字信号在电路中往往表现为突变的电压或电流、数字信号在电路中往往表现为突变的电压或电流 Vt(V)(ms)5010 20 30 40 50图1.1.1 典型的数字信号（2 2）信号从高电平变为低电平，）信

6、号从高电平变为低电平，或者从低电平变为高电平是或者从低电平变为高电平是一个突然变化的过程，这种一个突然变化的过程，这种信号又称为信号又称为脉冲信号脉冲信号。 4.1.1 4.1.1 数制数制用数字量表示物理量的大小时，仅用一位数码用数字量表示物理量的大小时，仅用一位数码往往不够用，因此经常需要用进位计数的方法组成多往往不够用，因此经常需要用进位计数的方法组成多位数码使用。我们把多位数码中每一位的构成方法以位数码使用。我们把多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则称为及从低位到高位的进位规则称为数制数制。 4.1 数制和码制数制和码制数码：数码：0 0、1 1、2 2、3 3、4 4

7、、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9 进位规则：逢十进一进位规则：逢十进一计数的基数：计数的基数：1010十进制数的展开公式：十进制数的展开公式：ii 10kD21012105106103104101143.65D1、十进制、十进制其中：其中：k i为第为第i位的系数；位的系数；10i称为第称为第i位的权。位的权。数码：数码：0 0、1 1进位规则：逢二进一进位规则：逢二进一计数的基数：计数的基数：2 2二进制数的展开公式：二进制数的展开公式：ii2 kD102101234B(19.75)2121212120202110011.112、二进制、二进制其中：其中：k i为第为第i位的系数；位

8、的系数；2i称为第称为第i位的权。位的权。数码：数码：0 09 9、A(10)A(10)、B(11)B(11)、C(12)C(12)、D(13)D(13)、E(14)E(14)、F(15)F(15)进位规则：逢十六进一进位规则：逢十六进一计数的基数：计数的基数：1616十六进制数的展开公式：十六进制数的展开公式：ii1 kD6（保留小数点后两位）102-101H(61.74)1614161116131633D.BE3、十六进制、十六进制其中：其中：k i为第为第i位的系数；位的系数；16i称为第称为第i位的权。位的权。表示不同事物的数码称为代码（如邮政编码、电话表示不同事物的数码称为代码（如邮

9、政编码、电话号码、运动员的编号等等），在编制代码时遵循的号码、运动员的编号等等），在编制代码时遵循的规则称为规则称为码制码制。4.1.2 码制码制（每一位的（每一位的“1”代表代表固定的数值：固定的数值：恒权恒权）5421码码编码分类编码分类（常用常用）恒权代码：恒权代码：变权代码：变权代码：8421码码循环码循环码(Gray code:格雷码格雷码）余余3循环码循环码（每一位的（每一位的“1”不代表不代表固定的数值固定的数值：变权变权）BCDBCD代码代码：用：用4 4位二进制数码表示位二进制数码表示1 1位十进制数，这些位十进制数，这些代码称为二十进制代码，简称代码称为二十进制代码，简称B

10、CDBCD代码。代码。十进十进制数制数8421BCD码码2421BCD码码5121BCD码码余余3码码余余3循环码循环码0000000000000001100101000100010001010001102001000100010010101113001100110110011001014010001000111011101005010110111000100011006011011001001100111017011111011010101011118100011101011101111109100111111111110010101.8421码是码是BCD代码中最常用的一种。若把每一个代码

11、都看成是一代码中最常用的一种。若把每一个代码都看成是一个四位二进制数，各位的权依次为个四位二进制数，各位的权依次为8，4，2，1。另外，每个代码。另外，每个代码的数值恰好等于它所表示的十进制数的大小。的数值恰好等于它所表示的十进制数的大小。2.2421BCD码也是一种有权码，它的另两个特点是：编码方案不唯码也是一种有权码，它的另两个特点是：编码方案不唯一（如十进制数一（如十进制数“5”可以编码为可以编码为“1011”或或“0101”）；）；09、18、27等数字编码互为按位取反结果，这有助于十进制的运等数字编码互为按位取反结果，这有助于十进制的运算简化；算简化；3.余余3码被看成码被看成4位二

12、进制数时，则它的数值要比它所表示的十进制位二进制数时，则它的数值要比它所表示的十进制数码多数码多3。如果将两个余。如果将两个余3码相加，所得的和将比十进制数和所对码相加，所得的和将比十进制数和所对应的二进制数多应的二进制数多6。因此，在用余。因此，在用余3码作十进制加法运算时，若两码作十进制加法运算时，若两数之和为数之和为10，正好等于二进制数的，正好等于二进制数的16，于是从高位自动产生进位，于是从高位自动产生进位信号。信号。4.余余3循环码是一种无权码，其特点是：每两个相邻编码之间只有循环码是一种无权码，其特点是：每两个相邻编码之间只有一位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不易出现错误

13、；一位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不易出现错误；格雷码（格雷码（GrayGray） 格雷码的特点是：格雷码的特点是：v 任意两个相邻码组之间只有一位码原不同（任意两个相邻码组之间只有一位码原不同（0和最大和最大数之间也只有一位不同），因此格雷码也称为循数之间也只有一位不同），因此格雷码也称为循环码；这种编码在形成和传输时不易出错；环码；这种编码在形成和传输时不易出错；v 最高位的最高位的0和和1只改变一次。若以最高位的只改变一次。若以最高位的0和和1的交的交界为轴，其他低位的代码以此轴对称，利用这一界为轴，其他低位的代码以此轴对称，利用这一特点可以很容易地构成位数不同的格雷码；特点可

14、以很容易地构成位数不同的格雷码；v 格雷码是一种无权码，不易直接进行运算，但可以格雷码是一种无权码，不易直接进行运算，但可以很容易地与二进制进行换算；很容易地与二进制进行换算；v 格雷码有许多形式，如余格雷码有许多形式，如余3循环码等；循环码等；一 种 典 型 的 格 雷 码两位格雷码两位格雷码0 00 11 11 00 0 00 0 10 1 10 1 01 1 01 1 11 0 11 0 00 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11

15、0 0 11 0 0 0三位格雷码三位格雷码四位格雷码四位格雷码0 00 11 11 01 01 10 10 00110 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 00 0 00 0 10 1 10 1 01 1 01 1 11 0 11 0 0例：例：四位循环码四位循环码(Gray code:格雷码格雷码）: 十十进进制制数数 Gray码码 0 0000 1 0001 2 0011 3 0010 4 0110 5 0111 6 0101 7 0100 十十进进制制数数 Gray码码 8 1100 9 1101 10 1111 11 1110

16、12 1010 13 1011 14 1001 15 1000 相邻相邻相邻相邻相邻相邻相邻相邻例：例：四位循环码四位循环码(Gray code:格雷码格雷码）: 十十进进制制数数 Gray码码 0 0000 1 0001 2 0011 3 0010 4 0110 5 0111 6 0101 7 0100 十十进进制制数数 Gray码码 8 1100 9 1101 10 1111 11 1110 12 1010 13 1011 14 1001 15 1000 后两位循环码后两位循环码前两位循环码前两位循环码4.2 逻辑代数中的基本运算逻辑代数中的基本运算描述客观事物逻辑关系的数学方法，称为布描

17、述客观事物逻辑关系的数学方法，称为布尔代数。由于布尔代数被广泛应用于解决开关电尔代数。由于布尔代数被广泛应用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计上，所以也把布路和数字逻辑电路的分析与设计上，所以也把布尔代数叫做尔代数叫做逻辑代数逻辑代数或或开关代数开关代数。 逻辑代数中也用字母表示变量，称为逻辑代数中也用字母表示变量，称为逻辑变逻辑变量量。在二值逻辑中，。在二值逻辑中，每个逻辑变量的值只有每个逻辑变量的值只有“1”1”和和“0”0”两种两种。它们不再表示数量的大小，。它们不再表示数量的大小，只代表两种不同的逻辑状态。只代表两种不同的逻辑状态。 逻辑代数的基本运算：与、或、非三种。逻辑代数的

18、基本运算：与、或、非三种。4.2.1 逻辑与逻辑与BAY全为全为1，则为则为1。ABYYBA0 0 00 0 10 1 01 1 1断断断断暗暗通通断断暗暗断断通通暗暗通通通通亮亮ABY只有当决定一件事情的条件全部具只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生，否则备之后，这件事情才会发生，否则不发生。这种逻辑关系称为逻辑与不发生。这种逻辑关系称为逻辑与的关系。逻辑与的运算符号是的关系。逻辑与的运算符号是“”，也可以省略。也可以省略。BAY把实现逻辑与运算的单元电路叫做把实现逻辑与运算的单元电路叫做与与门。门。ABY“与与”门图形符号门图形符号ABY0 0 = 0 0 1 = 01

19、0 = 0 1 1 = 14.2.1 逻辑与逻辑与BAY有有1，则为则为1。ABYYBA0 0 01 0 11 1 01 1 1断断断断暗暗通通断断亮亮断断通通亮亮通通通通亮亮ABY当决定一件事情的几个条件中，只当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这要有一个或一个以上条件具备，这件事情就会发生，这种逻辑关系称件事情就会发生，这种逻辑关系称为逻辑或的关系。逻辑或的运算符为逻辑或的关系。逻辑或的运算符号是号是“+”，不能省略。，不能省略。4.2.2 逻辑或逻辑或BAY把实现逻辑或运算的单元电路叫做把实现逻辑或运算的单元电路叫做或或门。门。A1BY“或或”门图形符号门图形符号0

20、 + 0 = 0 0 + 1 = 11 + 0 = 1 1 + 1 = 1ABY4.2.2 逻辑或逻辑或AY 0非则非则1，1非则非则0。AY1 0 0 1 断断亮亮通通暗暗YA YA某事情发生与否，仅取决于一个某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。这样的逻不具备时事情才发生。这样的逻辑关系称为逻辑非。辑关系称为逻辑非。4.2.3 逻辑非逻辑非AY 把实现逻辑非运算的单元电路叫做把实现逻辑非运算的单元电路叫做非非门。门。A1Y“非非”门图形符号门图形符号AY4.2.3 逻辑

21、非逻辑非ABY 1、与非运算与非运算ABYABYA B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 4.2.4 复合逻辑复合逻辑BAYA1BYABYA B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 2、或非运算或非运算4.2.4 复合逻辑复合逻辑3、异或运算异或运算4.2.4 复合逻辑复合逻辑异或异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为取值相同时，逻辑函数值为0 0；当两个变量；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为取值不同时，逻辑函数值为1 1。 ABY000110110011ABY1ABYBABABAYA B Y 0 0 1

22、 0 1 0 1 0 0 1 1 1 相同为相同为“1”不同为不同为“0”BAYBABA=1ABY4、同或运算同或运算4.2.4 复合逻辑复合逻辑4.3 逻辑代数中的基本定律和常用公式逻辑代数中的基本定律和常用公式1、交换律、交换律ABB A ABBA4.3.1 基本定律基本定律2、结合律、结合律3、分配律、分配律 CBACBACBACBA CABACBACABACBABAABBABA4、反演律（、反演律（ 摩根定律）摩根定律）4.3 逻辑代数中的基本定律和常用公式逻辑代数中的基本定律和常用公式1、常量与常量、常量与常量2、常量与变量、常量与变量3、变量与变量、变量与变量4.3.2 基本公式基

23、本公式0110111110000111010000110100AAAAAAAAAAAAAAAAAA104.3.3 常用公式常用公式1、原变量的吸收：、原变量的吸收： A + AB = A证明：证明：左式左式=A(1+B)原式成立原式成立口诀：口诀：长项长项短项短项 =A =右式右式1|长中含短长中含短 留下短留下短 2、 反变量的吸收：反变量的吸收： A + A B = A + B 证明：证明：=右式右式口诀：口诀：长中含反长中含反去掉反去掉反原原(反反)变量变量反反(原原)变量变量添冗余项添冗余项BAABA 左式左式)AA(BA 1|3、混合变量的吸收：、混合变量的吸收： 证明：证明：添冗余

24、因子添冗余因子A B + A C + BC=AB+AC 互互为为反反变量变量=右式右式口诀：口诀：正负相对正负相对余全完余全完（消（消冗余项）冗余项）添加添加BCCAAB 左式左式BC)AA(CAAB BCAABCCAAB )BCACA()ABCAB( CAAB 3、混合变量的吸收：、混合变量的吸收： A B + A C + BC=AB+AC 互互为为反反变量变量口诀：口诀：正负相对正负相对余全完余全完（消（消冗余项）冗余项）冗余因子冗余因子含有冗余因子的含有冗余因子的项，叫冗余项。项，叫冗余项。只要该项是冗余只要该项是冗余项，就可消去！项，就可消去！ACBABCDACBACAABBCDCAA

25、B4.4 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法逻辑函数逻辑函数如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，那么当输入变量的取值确定之后，输出输出，那么当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之确定。因此，输出和输入之间是的取值便随之确定。因此，输出和输入之间是一种函数关系，这种函数关系称为一种函数关系，这种函数关系称为逻辑函数逻辑函数。.，CBAFY 4.4.1 4.4.1 逻辑函数的建立逻辑函数的建立例：三个人表决一件事情，结果按例：三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数少数服从多数”的原则的原则决定，试建立该逻辑函数。决定，试建立该逻辑函数。 建

26、立逻辑函数的步骤：建立逻辑函数的步骤：第一步第一步：定义自变量和因变量。将三人的意见设置为自变量：定义自变量和因变量。将三人的意见设置为自变量A A、B B、C C，并规定只能有同意或不同意两种意见。将表决结果设置为，并规定只能有同意或不同意两种意见。将表决结果设置为因变量因变量Y Y，显然也只有通过或不通过两种情况。，显然也只有通过或不通过两种情况。第二步第二步：定义变量状态的逻辑取值。：定义变量状态的逻辑取值。对于自变量对于自变量A A、B B、C C设：同意为逻辑设：同意为逻辑“1”1”，不同意为逻辑，不同意为逻辑“0”0”。对于因变量对于因变量Y Y设：表决通过为逻辑设：表决通过为逻辑

27、“1”1”，没通过为逻辑，没通过为逻辑“0”0”。第三步第三步：根据题意及上述规定列写逻辑函数：根据题意及上述规定列写逻辑函数 4.4.1 4.4.1 逻辑函数的建立逻辑函数的建立例：三个人表决一件事情，结果按例：三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数少数服从多数”的原则的原则决定，试建立该逻辑函数。决定，试建立该逻辑函数。 真值表A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 11由真值表可以看出，当自变由真值表可以看出，当自变量量A A、B B、C C取确定值后，因变取确定值后，因变量量Y Y的值就完全确定了。所以的值就完全确定了。

28、所以，Y Y就是就是A A、B B、C C的函数。的函数。A A、B B、C C常称为输入逻辑变量，常称为输入逻辑变量，Y Y称为输出逻辑变量。称为输出逻辑变量。4.4.2 4.4.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法：逻辑函数的表示方法：逻辑状态表（真值表）、逻辑函数式、逻辑状态表（真值表）、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。逻辑图和卡诺图。有一有一T型走廊，在相会处有一盏路灯，在进入走廊的型走廊，在相会处有一盏路灯，在进入走廊的A、B、C三地各有一个控制开关。三地各有一个控制开关。任意任意闭合一个闭合一个开关，灯开关，灯亮亮；任意任意闭合两个闭合两个开关，灯开关，灯灭灭；三

29、个开关三个开关同时闭合同时闭合，灯，灯亮亮。ABCY4.4.2 4.4.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法有一有一T型走廊，在相会处有一盏路灯，在进入走廊的型走廊，在相会处有一盏路灯，在进入走廊的A、B、C三地各有一个控制开关。三地各有一个控制开关。任意任意闭合一个闭合一个开关，灯开关，灯亮亮；任意任意闭合两个闭合两个开关，灯开关，灯灭灭；三个开关三个开关同时闭合同时闭合，灯，灯亮亮。ABCY第一步：第一步：定义自变量和因变量。定义自变量和因变量。控制开关为控制开关为自变量自变量，分别用，分别用A、B、C表示，其状态只有表示，其状态只有闭闭合合和和断开断开两种；两种；路灯为路灯为因变量因

30、变量，用，用Y表示，其状态只有表示，其状态只有亮亮和和不亮不亮两种。两种。4.4.2 4.4.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法有一有一T型走廊，在相会处有一盏路灯，在进入走廊的型走廊，在相会处有一盏路灯，在进入走廊的A、B、C三地各有一个控制开关。三地各有一个控制开关。任意任意闭合一个闭合一个开关，灯开关，灯亮亮；任意任意闭合两个闭合两个开关，灯开关，灯灭灭；三个开关三个开关同时闭合同时闭合，灯，灯亮亮。ABCY第二步：第二步：定义变量状态的逻辑取值定义变量状态的逻辑取值控制开关控制开关（自变量）（自变量）：闭合：闭合“1”，断开，断开“0”；路灯路灯（因变量）（因变量）：亮：亮“1”

31、；灭；灭“0”。4.4.2 4.4.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法有一有一T型走廊，在相会处有一盏路灯，在进入走廊的型走廊，在相会处有一盏路灯，在进入走廊的A、B、C三地各有一个控制开关。三地各有一个控制开关。任意任意闭合一个闭合一个开关，灯开关，灯亮亮；任意任意闭合两个闭合两个开关，灯开关，灯灭灭；三个开关三个开关同时闭合同时闭合，灯，灯亮亮。ABCY第三步：第三步：根据逻辑要求列写逻辑函数。根据逻辑要求列写逻辑函数。4.4.2 4.4.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法逻辑真值表逻辑真值表：将逻辑自变量的各将逻辑自变量的各种可能取值和对应的因变量的取种可能取值和对应的因变量

32、的取值排列在一起而组成的表格值排列在一起而组成的表格。条件条件：任意闭合一个开关，灯亮；：任意闭合一个开关，灯亮； 任意闭合两个开关，灯灭；任意闭合两个开关，灯灭； 三个开关同时闭合，灯亮。三个开关同时闭合，灯亮。逻辑状态数逻辑状态数=2n n是自变量的个数是自变量的个数ABCY11100000010101000111011100001111为避免遗漏，各自变量的取值组合应为避免遗漏，各自变量的取值组合应按照按照二进制递增二进制递增的次序排列。的次序排列。 ABCY4.4.2 4.4.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法条件条件：任意闭合一个开关，灯亮；：任意闭合一个开关，灯亮； 任意闭合

33、两个开关，灯灭；任意闭合两个开关，灯灭； 三个开关同时闭合，灯亮。三个开关同时闭合，灯亮。ABCY11100000010101000111011100001111为避免遗漏，各自变量的取值组合应为避免遗漏，各自变量的取值组合应按照按照二进制递增二进制递增的次序排列。的次序排列。 ABCY真值表的特点：真值表的特点：1 1、函数关系、函数关系最直观最直观。2 2、表达函数关系、表达函数关系最方便最方便。3 3、缺点缺点：当变量比较多时，表：当变量比较多时，表比较大，显得过于繁琐。比较大，显得过于繁琐。 逻辑真值表逻辑真值表：将逻辑自变量的各将逻辑自变量的各种可能取值和对应的因变量的取种可能取值和

34、对应的因变量的取值排列在一起而组成的表格值排列在一起而组成的表格。4.4.2 4.4.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法逻辑函数式逻辑函数式：把自变量与因变量：把自变量与因变量之间的逻辑关系用之间的逻辑关系用“与与”、“或或”、“非非”等运算符来表达，等运算符来表达，即得即得逻辑函数式逻辑函数式。由逻辑真值表写出逻辑函数式由逻辑真值表写出逻辑函数式ABCCBACBACBAY1、找出与函数值找出与函数值“1”所对应的所对应的自变量取值组合，写出与该自变量取值组合，写出与该取值组合对应的自变量乘积取值组合对应的自变量乘积项项。“1”写成原变量，写成原变量，“0”写成反变量。写成反变量。2、将

35、这些乘积项相加，即得、将这些乘积项相加，即得Y的逻辑函数式。的逻辑函数式。CBACBACBAABC条件条件：任意闭合一个开关，灯亮；：任意闭合一个开关，灯亮； 任意闭合两个开关，灯灭；任意闭合两个开关，灯灭； 三个开关同时闭合，灯亮。三个开关同时闭合，灯亮。ABCY11100000010101000111011100001111ABCY4.4.2 4.4.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法ABCCBACBACBAYCBACBACBAABC11100000010101000111011100001111ABCY逻辑函数式的特点：逻辑函数式的特点：便于研究逻辑电路，通过便于研究逻辑电路，通过

36、对逻辑函数式的化简，可对逻辑函数式的化简，可以简化逻辑电路。以简化逻辑电路。缺点：缺点：逻辑函数式所表达逻辑函数式所表达的逻辑关系不直观。的逻辑关系不直观。条件条件：任意闭合一个开关，灯亮；：任意闭合一个开关，灯亮； 任意闭合两个开关，灯灭；任意闭合两个开关，灯灭； 三个开关同时闭合，灯亮。三个开关同时闭合，灯亮。ABCY逻辑函数式逻辑函数式：把自变量与因变量：把自变量与因变量之间的逻辑关系用之间的逻辑关系用“与与”、“或或”、“非非”等运算符来表达，等运算符来表达，即得即得逻辑函数式逻辑函数式。由逻辑真值表写出逻辑函数式由逻辑真值表写出逻辑函数式4.4.2 4.4.2 逻辑函数的表示方法逻辑

37、函数的表示方法逻辑图逻辑图：将逻辑函数中各变量之：将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑运算用图间的与、或、非等逻辑运算用图形符号表示出来，即得形符号表示出来，即得逻辑图逻辑图。ABCCBACBACBAY1AA1CCA1BBBCY1条件条件：任意闭合一个开关，灯亮；：任意闭合一个开关，灯亮； 任意闭合两个开关，灯灭；任意闭合两个开关，灯灭； 三个开关同时闭合，灯亮。三个开关同时闭合，灯亮。ABCY方法：方法：根据逻辑函数式中各逻根据逻辑函数式中各逻辑变量运算的优先级顺辑变量运算的优先级顺序画出逻辑图。序画出逻辑图。 4.4.2 4.4.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法4.5 逻辑函数

38、的公式化简法逻辑函数的公式化简法与或逻辑式与或逻辑式：逻辑式若是由几个乘积项相加组成：逻辑式若是由几个乘积项相加组成的，则这种形式的逻辑式叫的，则这种形式的逻辑式叫与或逻辑式与或逻辑式。BCCABY如：与非逻辑式与非逻辑式：逻辑式若是全部由与非运算组成的：逻辑式若是全部由与非运算组成的，则这种形式的逻辑式叫，则这种形式的逻辑式叫与非逻辑式与非逻辑式。BCCABBCCABY如：将与或逻辑式化为与将与或逻辑式化为与非逻辑式非逻辑式最简与或式：最简与或式：乘积项的乘积项的项数最少。项数最少。每个乘积项中每个乘积项中变量个数最少。变量个数最少。4.5 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法公式化简法

39、的原理公式化简法的原理就是反复使用逻辑代数就是反复使用逻辑代数的的基本公式基本公式和和常用公式常用公式消去函数式中多余消去函数式中多余的乘积项和多余因子，以求得函数式的的乘积项和多余因子，以求得函数式的最最简形式简形式。公式化简法没有固定的步骤。公式化简法没有固定的步骤。例题：例题：BADCBABDABDBAF1 合并项合并项DCBABDABDB 吸收消去吸收消去（长中含短，留下短）（长中含短，留下短）BDB （长中含反，去掉反）（长中含反，去掉反）（最简与或式）（最简与或式）吸收消去吸收消去DBF1 4.5 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法DEFGEFBACEFBDCAABDAADF

40、2 ( (合并项合并项) )（长中含短，留下短）（长中含短，留下短）ADEFGEFBBDCAA ( (长中含反长中含反, ,去掉反去掉反) )吸收吸收消去消去( (正负相对正负相对, ,余全完余全完) )吸收消去吸收消去（最简与或式）（最简与或式）EFBBDCAF2 DEF:冗余因子冗余因子DEFG:冗余项冗余项)GF(ADEDBDBCBCBCAABF3 添冗余项：添冗余项：BA(正负相对正负相对,余全完余全完)消冗余项消冗余项DBDBCBCBA （长中含短，留下短）（长中含短，留下短）添冗余项：添冗余项：DC（最简与或式）（最简与或式）(正负相对正负相对,余全完余全完)DCDBCBAF3 合

41、并项：合并项： A添冗余项：添冗余项：DC（最简与或式）（最简与或式）( (正负相对正负相对, ,余全完余全完) )添冗余项：添冗余项：BA( (正负相对正负相对, ,余全完余全完) )消冗余项消冗余项DBDBCBCBA （长中含短，留下短）（长中含短，留下短）合并项：合并项： ADCDBCBAF3 )GF(ADEDBDBCBCBCAABF3 )GF(ADEDBDBCBCBCAABF3 经过化简得最简与或式经过化简得最简与或式:或者或者:讨论讨论:DCDBCBAF3 DCDBCBAF3 化简结果不唯一化简结果不唯一4.6 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法4.6.1 逻辑函数的卡诺图

42、表示法逻辑函数的卡诺图表示法1、逻辑函数最小项之和的形式、逻辑函数最小项之和的形式最小项最小项 在在n变量逻辑函数中，若变量逻辑函数中，若m为包含为包含n个因子的乘积个因子的乘积项，而且这项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称中出现一次，则称m为该组变量的最小项。为该组变量的最小项。n变量的变量的最小项应有最小项应有2n个。个。例如：例如：A、B、C三个变量的最小项有三个变量的最小项有:CBACBACBACBACABCBABCAABC 、 、 、 、 、 、共有：共有：23=8个个ABC00000011010201131004101511

43、061117编号最小项使最小项为1的变量取值对应的十进制数 三变量最小项的编号表输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1。C B AC B AC B AC B AC B AC B AC B AC B A为了使用的方便，将最小项用为了使用的方便，将最小项用m加上它对应的十进制加上它对应的十进制数为下脚标的形式来编号。数为下脚标的形式来编号。0m1m2m3m4m5m6m7m最小项的性质：最小项的性质：1、在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且、在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为仅有一个最小项的值为1；2、全体

44、最小项之和为、全体最小项之和为1；3、任意两个最小项的乘积为、任意两个最小项的乘积为0；4、具有相邻性（两个最小项只有一个因子不同）的、具有相邻性（两个最小项只有一个因子不同）的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一对因两个最小项之和可以合并成一项，并消去一对因子。子。BABCACBA :如逻辑函数的最小项之和形式逻辑函数的最小项之和形式例如：例如：BCCABY利用基本公式利用基本公式 A + A = 1 可以把任何一个逻辑函可以把任何一个逻辑函数化为最小项之和的标准形式。数化为最小项之和的标准形式。)BCA(ACABBCAABCCAB376mmmiiim)7 , 6 , 3()7 , 6 ,

45、 3(m例：将逻辑函数式展开为最小项之和的形式例：将逻辑函数式展开为最小项之和的形式DABDCADCABYD)CAB(CDCBBADCABDCABDABCDCBADCABDCAB14)m(7,12,13,DABCDCBADCABDCAB逻辑函数的最小项之和形式逻辑函数的最小项之和形式2、用卡诺图表示逻辑函数、用卡诺图表示逻辑函数将将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有具有逻辑相邻性的最小项逻辑相邻性的最小项（即两个最小项只有（即两个最小项只有1位位取值不同）在几何位置上也相邻地排列起来，所取值不同）在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做

46、得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图变量最小项的卡诺图。因为这种方法是由美国工程师卡诺首先提出的，因为这种方法是由美国工程师卡诺首先提出的，所以把这种图形叫做卡诺图。所以把这种图形叫做卡诺图。1、图形两侧标注的、图形两侧标注的“0”和和“1”是对应变量的是对应变量的格雷码编码格雷码编码；2、逻辑变量、逻辑变量格雷码编码组合格雷码编码组合所对应的所对应的方格方格与取与取该编码组该编码组合合时时值为值为“1”的的最小项最小项对应对应；3、逻辑变量、逻辑变量格雷码编码组合格雷码编码组合所对应的所对应的十进制数大小十进制数大小是对是对应的应的最小项的编号最小项的编号；4、表中最小项之间包含、表中最小项之

47、间包含自然相邻自然相邻和和逻辑相邻逻辑相邻。表格中每。表格中每行或每列的行或每列的首尾项首尾项为为逻辑相邻逻辑相邻。两变量两变量卡诺图卡诺图三变量三变量卡诺图卡诺图四变量四变量卡诺图卡诺图（d）五变量（）五变量（A、B、C、D、E）最小项的卡诺图）最小项的卡诺图四位循环码四位循环码(Gray code:格雷码格雷码）: 十十进进制制数数 Gray 码码 0 0000 1 0001 2 0011 3 0010 4 0110 5 0111 6 0101 7 0100 8 1100 9 1101 十十进进制制数数 Gray码码 10 1111 11 1110 12 1010 13 1011 14 1

48、001 15 1000特点特点：相邻相邻两个编码两个编码之间，之间，只有只有一位一位变量变量的状态的状态取值不同。取值不同。相邻相邻相邻相邻相邻相邻相邻相邻两位循环码两位循环码既然任何一个逻辑函数都能表示为若干最小项既然任何一个逻辑函数都能表示为若干最小项之和的形式，那么也就可以用卡诺图表示任意一之和的形式，那么也就可以用卡诺图表示任意一个逻辑函数。个逻辑函数。传统方法：传统方法：1、将逻辑函数化为最小项之和的形式；、将逻辑函数化为最小项之和的形式；2、在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填、在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入入“1”，在其余位置上填，在其余位置上填“0”或者不填。或者不填。

49、任何一个逻辑函数都等于它的卡诺任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入图中填入“1”的那些最小项之和。的那些最小项之和。2、用卡诺图表示逻辑函数、用卡诺图表示逻辑函数例：例： 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数BAACDDBADCBAY解：解：1、首先将、首先将Y化为最小项之和的形式化为最小项之和的形式)D)(DC(CBA)CDBA(BD)CB(CADCBAYDCBADCBADCBACDBAABCDDCBADBCADCBmmmmmmm2、用卡诺图表示逻辑函数、用卡诺图表示逻辑函数2、画出四变量最小项的卡诺图，在对应于函数式、画出四变量最小项的卡诺图，在对应于函数式

50、中各最小项的位置上填中各最小项的位置上填“1”。DCBADCBADCBACDBAABCDDCBADBCADCBAmmmmmmmABCD000111100001111011111111函数函数Y的的卡诺图表卡诺图表示形式示形式2、用卡诺图表示逻辑函数、用卡诺图表示逻辑函数卡诺图化简法步骤卡诺图化简法步骤:一、布阵（画法规则）一、布阵（画法规则）二、填项二、填项（用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数）三、勾圈化简三、勾圈化简（用卡诺图用卡诺图化简）化简）三三步步曲曲4.6.2 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数A BC D0 00 11 11 00 00 11

51、1 1 0相邻两项只有一相邻两项只有一个变量取值不同个变量取值不同逻辑相邻逻辑相邻(四个四个)2 2）循环码编排循环码编排1 1）N=2N=2n n 格格: : 最小项（以有最小项（以有A A、B B、C C、D D四个四个 输入项为例说明）输入项为例说明）DCBADCBACDBADCBADCBADCBABCDADBCADABCABCDDCABDCABDCBADCBACDBADCBA3 3）最小项：取值最小项：取值=0=0，反变量；取值，反变量；取值=1=1，原变量。，原变量。一、布阵一、布阵A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 02 2）循环码编排循环码编排1 1）N=

52、2N=2n n 格格: : 最小项（以有最小项（以有A A、B B、C C、D D四个四个 输入项为例说明）输入项为例说明）DCBADCBACDBADCBADABCABCDDCABDCAB3 3）最小项：取值最小项：取值=0=0，反变量；取值，反变量；取值=1=1，原变量。，原变量。ABDCDCBADCBABCDADBCADCBADCBACDBADCBA一、布阵一、布阵A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ABDC 最小项最小项编号方式二：编号方式二：按十进制数编号：按十进制数编号： m0 m15（8421码）码） m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m8

53、m9 m11 m10 m12 m13 m15 m14高位高位低位低位用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数1）最小项直接填入；）最小项直接填入；2）刷项（填公因子所包含的项）；）刷项（填公因子所包含的项）；按按Y=1的的与或式与或式填项填项3）按）按 （m0 , m15) 编号填入。编号填入。二、填项二、填项例例1:BADCBABDABDBAD)C,B,(A,Y1A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0ABDC1直接填入直接填入)CC （1公因子公因子:BDA有重复有重复“1”者，只填一个者，只填一个“1”。A BC D0 00 11 11 00 00 11 1 1 0