第3章平面力系的合成与平衡32

1、 授课教师：花丽坤授课教师：花丽坤 理学院力学教研室理学院力学教研室 平面力系：平面力系：所有的外力都作用在一个平面内的所有的外力都作用在一个平面内的力系为平面力系。力系为平面力系。 平面汇交力系平面汇交力系力系中各力汇交于一点力系中各力汇交于一点 。 平面平行力系平面平行力系力系中各力相互平行。力系中各力相互平行。 平面任意力系平面任意力系力系中各力既不全部平行，力系中各力既不全部平行， 又不全部交于一点。又不全部交于一点。 平面力偶系平面力偶系： 若干个若干个力偶力偶组成的力系。组成的力系。平平面面力力系系 平面汇交力系平面汇交力系 平面平行力系平面平行力系 平面任意力系平面任意力系 空间

2、汇交力系空间汇交力系 空间一般力系空间一般力系 空间平行力系空间平行力系 31 31 平面汇交平面汇交力系合成与平衡力系合成与平衡 一、平面汇交力系的合成一、平面汇交力系的合成的的几何法（图解法）几何法（图解法）1 1、三角形法则、三角形法则A AF F2 2F F1 1F F4 4F F3 3表达式：表达式：R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA AF F1 1、F F2 2、F F3 3、F F4 4 为平面汇交力系：为平面汇交力系：4321FFFFR 把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。为力链

3、）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。为力多边形。2 2、力的多边形规则：、力的多边形规则：R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA AA AF F2 2F F1 1F F4 4F F3 3R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA A3 3、汇交力系的合成结果、汇交力系的合成结果 汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表

4、示。力系的力多边形的封闭边表示。矢量的表达式矢量的表达式：R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA AA AF F2 2F F1 1F F4 4F F3 3R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA A121FniniRFFF 0Fi 该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。的矢量和等于零。4 4、汇交力系平衡的几何充要条件：、汇交力系平衡的几何充要条件：F F5 5F F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA AA AF F2 2F

5、F1 1F F4 4F F3 3F F5 5A A6060P PB B3030a aa aC C(a)(a)NA B BA ACD D60603030E EP PN NB BN NA A60603030H HK K(c)(c)解：解：(1) (1) 取梁取梁AB AB 作为研究对象。作为研究对象。(4) (4) 解出：解出：N NA A=P =P cos30cos30 = = 17.3kN17.3kN，N NB B= P = P sin30sin30 = = 10 kN10 kN(2) (2) 画出受力图。画出受力图。(3) (3) 应用平衡条件画出应用平衡条件画出P P、N NA A 和和N

6、 NB B 的闭合力三角形。的闭合力三角形。 例题例题1 1 水平梁水平梁AB AB 中点中点C C 作用着力作用着力P P，其大小等于，其大小等于20kN20kN，方向与梁的轴线成方向与梁的轴线成6060角，支承情况如图角，支承情况如图(a)(a)所示，试求固定所示，试求固定铰链支座铰链支座A A 和活动铰链支座和活动铰链支座B B 的反力。梁的自重不计。的反力。梁的自重不计。 二、平面汇交力系的合成与平衡的解析法（数解法）二、平面汇交力系的合成与平衡的解析法（数解法）1 1、力在坐标轴上的投影：、力在坐标轴上的投影：cosxFF cosFFy结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与结论：

7、力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间该轴正向间夹角的余弦。夹角的余弦。y y b b a a a ab bF FO Ox xB BF Fx xF Fy y已知合力求分力公式注意：力的投影是代数量！注意：力的投影是代数量！ 反之，当投影反之，当投影Fx 、Fy 已已知时，则可求出力知时，则可求出力 F F 的大小的大小和方向：和方向：2y2xFFF FFFFyxcos cos y y b b a a a ab bO Ox xB BxyFF tan已知分力求合力公式A AF F2 2F F1 1(a)(a)F F3 3F F1 1F F2 2R RF F3 3xA AB BC CD D(

8、b)(b) 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和同一轴上的投影的代数和。 证明：证明： 以三个力组成的共点力系为例。设有三个以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力共点力F F1 1、F F2 2、F F3 3 如图。如图。2 2、合力投影定理、合力投影定理合力合力 R 在在x 轴上投影：轴上投影：F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 推广到任意多个推广到任意多个力力F1、F2、 Fn 组成的平面组成的平面汇汇交力系，可得：交力系，可得：a ab bc cd d各力在各力在x 轴上投

9、影：轴上投影：abFx 1bcFx 2dcFx 3dcbcabadRx xxxxFFFR321 ixnxxxxxFFFFFR321 xnxxxFFFFR21x ynyyyyFFFFR21合力的大小合力的大小 2222xyxyRRRFF合力的方向合力的方向 cos , cos yyxxRFFRRRRR 根据合力投影定理得根据合力投影定理得合力作用点：为该力系的汇交点合力作用点：为该力系的汇交点 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的系的合力为零合力为零。3 3、汇交力系平衡的解析充要条件、汇交力系平衡的解析充要条件0022 yxRRR 00yyxxFRF

10、R 或：力系中所有力在各个坐标轴上投影的代或：力系中所有力在各个坐标轴上投影的代数和分别等于零。数和分别等于零。解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤: :1.1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设 的已知条件。的已知条件。2.2.建立坐标系。建立坐标系。3.3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程求解将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程求解。00 xyFF 2 2个方程解能求解个方程解能求解2 2个未知力。个未知力。 解：解：1. 1. 取滑轮取滑轮B B 轴销作为研究对象。轴销作为研究对象。2. 2.

11、画出受力图（画出受力图（b)b)。SBCTPx xy y30303030 b b B B3030B BA AC C3030 a a 3. 3. 列出平衡方程：列出平衡方程：x0:F 4. 4. 联立求解，得联立求解，得 反力反力S SAB AB 为负值，说明该力实际指向与图上假为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆定指向相反。即杆AB AB 实际上受拉力。实际上受拉力。 con 30sin300BCABSST sin30cos 300BCSPT kN5 .54 ABSkN5 .74 BCSy0:F SBCTPx xy y30303030 b b B B3-2 3-2 力线的平移力线的

12、平移 根据力的可传性原理，力沿其作用线移动到根据力的可传性原理，力沿其作用线移动到刚体刚体上任意一点，而不改变力对刚体的效应。上任意一点，而不改变力对刚体的效应。 那么，力离开作用线向任意点平移（即力线的那么，力离开作用线向任意点平移（即力线的平移）呢？平移）呢？ A A点的力平行移动至点的力平行移动至B B点时，必须附加一个相应的力点时，必须附加一个相应的力偶，这样才与原偶，这样才与原P P力对物体作用的效应相等。力对物体作用的效应相等。3-2 3-2 力线的平移力线的平移FFFF”FFM=Fh F = F=F力的平移定理力的平移定理 作用于刚体上的力可以平行移动至刚体内任作用于刚体上的力可

13、以平行移动至刚体内任意一点，欲不改变它对刚体的作用效应，则必须意一点，欲不改变它对刚体的作用效应，则必须附加一个相应的力偶，此力偶矩等于原力附加一个相应的力偶，此力偶矩等于原力F F对新的对新的作用点之矩。作用点之矩。MF h FF FhFM 力线平移的应用力线平移的应用划船划船例如用丝锥攻丝例如用丝锥攻丝 PP如一厂房中行车梁立柱受力如一厂房中行车梁立柱受力 将将P P力平移至立柱力平移至立柱轴线的轴线的O O点处点处 ，并附加，并附加一个力偶，该力偶矩一个力偶，该力偶矩 M=Pe式中，式中，e e称为偏心距。称为偏心距。3-3 3-3 平面一般力系的简化平面一般力系的简化= =1 1、力系

14、向给定点、力系向给定点O O的简化、简化中心的简化、简化中心F1F3F2F1F2F3平面一般力系平面一般力系 F1、F2Fn 平面汇交力系平面汇交力系 F1、F2 Fn平面力偶系平面力偶系: :M1、M2 Mn F1= F1F2= F2Fn =Fn 1122(),(),()oononMMFMMFMMF 简化中心简化中心0R0 0M3-3 3-3 平面一般力系的简化平面一般力系的简化 应用力线平移定理，可将刚体上平面任意应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点某一给定点O 。从而这力系被分解为。从而这力系被分解

15、为平面汇交平面汇交力系力系和和平面力偶系平面力偶系。这种变换的方法称为力系。这种变换的方法称为力系向给定点向给定点O 的简化。点的简化。点O 称为称为简化中心简化中心。(1)(1)主矢主矢R R0 0 汇交力系汇交力系F F1 1、F F2 2 F Fn n的合成结果为一的合成结果为一作用点在点作用点在点O O 的力的力R0, 这个力矢这个力矢R0称为原平面任意称为原平面任意力系的力系的主矢主矢。01212nnRFFFFFF 2 2、主矢和主矩、主矢和主矩 R0的大小与方向由原力系各力的矢量和决定，的大小与方向由原力系各力的矢量和决定，可用力多边形法则的图解法求解，或用数解法求出。可用力多边形

16、法则的图解法求解，或用数解法求出。 用数解法时，先计算用数解法时，先计算R0在在x x轴和轴和y y轴上的投影：轴上的投影： (1) (1) 主矢主矢R R0 0121noxxxnxixiRFFFF 121noyyynyiyiRFFFF 22oyoxRRR oxoyRR tan 附加力偶系附加力偶系M1、M2 Mn的合成结果是作用在的合成结果是作用在同平面内的同平面内的合合力偶，该力偶的矩用力偶，该力偶的矩用MO 代表，称为原代表，称为原平面任意力系对简化中心平面任意力系对简化中心 O O 的的主矩主矩。(2(2) ) 主矩主矩M M0 012121()()()()onooonnoiiMMMM

17、MFMFMFMF 主矩主矩M0等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。 主矢主矢R R0 0与与主矩主矩 M M0 0合成的结果得到原力系的合力合成的结果得到原力系的合力R R 。 (3) (3) 合力合力R R 0000MFMhRR 合力合力R R的大小、方向与主矢的大小、方向与主矢R R0 0相同，作用线距相同，作用线距简化中心的垂直距离为：简化中心的垂直距离为：MOO0RO0RR00MhR A0ROR A00MhR 00RRR3 3、平面任意力系对简化中心、平面任意力系对简化中心O O 的简化结果的简化结果主矩：主矩：主矢：主矢：012nRFFF

18、121()()()()noooonoiiMMFMFMFMF = =平面一般力系简化结果的讨论平面一般力系简化结果的讨论 （1 1）00 R00 M 简化为一个合力偶简化为一个合力偶M M0 0，则原力系无合力，而只有，则原力系无合力，而只有合力偶矩。此时主矩与简化中心的位置无关。合力偶矩。此时主矩与简化中心的位置无关。 （2 2）00 R00 M力系简化成为过简化中心的一个合力。力系简化成为过简化中心的一个合力。 ? ? 若另选一适当点作为简化中心，力系能否简若另选一适当点作为简化中心，力系能否简化为一力偶？化为一力偶？不能，因为主矢与简化中心无关。不能，因为主矢与简化中心无关。合力偶合力偶

19、合力合力（3 3） RO0，MO0 原力系简化成一个力偶和一个作用于点原力系简化成一个力偶和一个作用于点O O 的力。这时的力。这时力系还可简化为一个合力。力系还可简化为一个合力。 0000MPMhRR MOO0RO0RR00MhR A0ROR A00MhR 00RRR（4 4） RO=0，MO=0，原力系平衡。原力系平衡。合力合力平衡平衡总总 结结 RO=0，MO=0RO=0 ，MO0RO0，MO0RO0，MO=0例题例题3 3 在长方形平板的在长方形平板的O O、A A、B B、C C 点上分别作点上分别作用着有四个力：用着有四个力：F F1 1=1kN=1kN，F F2 2=2kN=2k

20、N，F F3 3= =F F4 4=3kN=3kN（如（如图），试求以上四个力构成的力系对点图），试求以上四个力构成的力系对点O O 的简化结的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。果，以及该力系的最后的合成结果。解：解：取坐标系取坐标系OxyOxy。1 1、求向、求向O O点简化结果：点简化结果：求主矢求主矢R R0 0 kNFFFFRxx598. 030cos60cos4320 F1F2F3F4OABCxy2m3m30306060 614. 0 Rcos000 RRxx、kN794. 0 20200 yxRRR 652 , R x 789. 0 Rcos000 RRyy、 5437 , R

21、0 ykNFFFFRyy768. 0213232130sin60sin4210 R R0 0O OA AB BC C x xy y 652 F1F2F3F4OABCxy2m3m30306060 求主矩求主矩： ioOFmM 30sin3260cos2432FFF（2 2）求合成结果：求合成结果： 合成为一个合力合成为一个合力R R，R R 的大的大小、方向与小、方向与R R0 0 相同。其作用线相同。其作用线与与O O点的垂直距离为：点的垂直距离为：00.50.63m0.794oMhRy yR R 0 0O OA AB BC C x xMo oRhm)(kN5 . 0 F F1 1F F2 2

22、F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060一、平面一般力系平衡的平衡方程一、平面一般力系平衡的平衡方程1 1、平面一般力系平衡充要条件、平面一般力系平衡充要条件： 力系的主矢等于零力系的主矢等于零 ，且力系对任一点的主矩，且力系对任一点的主矩也等于零。也等于零。 平面一般力系平面一般力系平衡的必要与充分条件平衡的必要与充分条件：力系中力系中各力对坐标轴投影的代数和为零，且对平面内各力对坐标轴投影的代数和为零，且对平面内任任意点意点的力矩的代数和也为零。的力矩的代数和也为零。00 R00 M3-3-4 4 平面一般力系的平面一般力系的平衡方程和

23、应用平衡方程和应用无移动无移动无转动无转动2 2、平衡方程、平衡方程基本形式基本形式: : 平衡方程的二力矩式：平衡方程的二力矩式：0)(000 FMFFyx0)(0)(0 FMFMFBAx（A A、B B连线不垂直连线不垂直X X轴）轴） ABxABx 平衡方程的三力矩式平衡方程的三力矩式(A(A、B B、C C三点不共线三点不共线) ) 0)(0)(0)( FMFMFMBACABCF 若若A A、B B、C C三点共线，在三点共线，在R R0 000，也满足上面，也满足上面三个方程，但力系不是平衡力系。三个方程，但力系不是平衡力系。例例 4 4 求图示结构的支座反力。求图示结构的支座反力。

24、解：解：(1) (1) 取取AB AB 杆为研究对象画受力图杆为研究对象画受力图 Fx = 0：0AXF 4 2200AYBYFF Fy = 0： MA = 0：4 2 120 240BYF 注意：平面一般力系只能列出三个独立方程，只能求出注意：平面一般力系只能列出三个独立方程，只能求出三个未知数。三个未知数。(2)(2)列平衡方程列平衡方程(3) (3) 解方程解方程16AYFkN 12BYFkN 0AXF 8AXFkN 0AyByFF5AyFKN F Fy y = 0 = 0 ：MMA A = 0 = 0 ：2 4 2 4 40ByF 5ByFKN F FX X = 0 = 0 ：解：解：

25、 （1 1）取整个结构为研究对象画）取整个结构为研究对象画受力图受力图2 40AXF 4kNm（2 2）列平衡方程）列平衡方程（3 3）解方程）解方程4kNmFAyFAxFBy1、取梁、取梁AB，受力分析受力分析力系类型：力系类型：、建坐标系，、建坐标系，解方程解方程平面一般力系平面一般力系 （）xy列平衡方程列平衡方程2 2、列平衡方程、列平衡方程、3 3、解方程、解方程0,xF FlqlMFqlFFAAyAx 2, 020,yF 0,AM 0AxF 0AyFqlF 202AqlMFl 例题例题8 p41 8 p41 例例3-6 3-6 一个三角形管道支架固定在砖柱上，支架由两根型一个三角形

26、管道支架固定在砖柱上，支架由两根型钢与节点板构成。节点钢与节点板构成。节点A A，B B，C C均采用焊接，在分析支架受均采用焊接，在分析支架受力情况时，可简化为铰接计算，已知每一管道重为力情况时，可简化为铰接计算，已知每一管道重为248N248Nmm，支架间距为，支架间距为6m6m。试求支架。试求支架A A，B B两处的约束反力。支架两处的约束反力。支架自重忽略不计。自重忽略不计。解（解（1 1）作计算简图）作计算简图12248 6 1488N 1.488kNFF （2 2）取整体作受力分析）取整体作受力分析AyFAxFA AF2F1030BF（3 3）建立坐标系，列平衡方程：）建立坐标系，

27、列平衡方程：F2A AF1030AyFAxFBFE0:xF 0cos300BAxFF （4）联立求解：）联立求解： FB= 5.67k N； FAx= 4.91kN； FAy= 0.141k N0yF 0 xF 0AM 0:yF 012sin300AyBFFFF 0:AM 0121.26sin3011.40BFFF 另解另解：F2A AF1030AyFAxFBFE 0:AMF 0121.26sin3011.40BFFF 0:CMF 121.26(1.26 1)(1.4 1.26)0AyFFF 0:xF 0cos300BAxFF 0 xF 0AM 0cM 如果：如果：0:yF 0sin3020A

28、yBFFF 0AM 0BM 0CM 或建立或建立三力矩式三力矩式平衡方程平衡方程独立的独立的平衡方程数：平衡方程数：3 二、结构（二、结构（物体系统或刚体系统物体系统或刚体系统）的平衡问题）的平衡问题 若干构件通过一定形式联结而成的系统称为结构。在若干构件通过一定形式联结而成的系统称为结构。在静力学中构件模型都是静力学中构件模型都是刚体刚体，因而结构也称为刚体系统因而结构也称为刚体系统。例例 刚体系统的平衡问题的特点与解法刚体系统的平衡问题的特点与解法 、刚体系统平衡的特点：、刚体系统平衡的特点： 当刚体系统平衡时，其任意组成部分或每个构当刚体系统平衡时，其任意组成部分或每个构件也都处于平衡状

29、态。件也都处于平衡状态。整体平衡则局部必然平衡。整体平衡则局部必然平衡。 每个构件可列每个构件可列3 3个平衡方程，整个系统可列个平衡方程，整个系统可列3 3n n个方程（设刚体系统中有个方程（设刚体系统中有n n 个刚体）个刚体）2 2、解、解刚体系统刚体系统问题的一般方法：问题的一般方法： 例题例题9 9 p43p43，例，例3-83-8 已知已知F=qaF=qa，求三铰刚架，求三铰刚架A A、B B处的支座反力。处的支座反力。q qDC CE EA AB Bq qC CE EB 铰接梁由铰接梁由 AB 杆和杆和 BC 杆在杆在 B 处用铰连接而成，其中处用铰连接而成，其中C为辊轴（可动铰

30、）支座，为辊轴（可动铰）支座，A 为固定端。如图，若已知为固定端。如图，若已知q、M、l， 求支座求支座A，C 处的处的约束力约束力。例题例题10 10 B BqCMllllADE例题例题9 9 B BqCMllEBxFByFCF 0:BMF 202ClFlqlM 24CMqlFlB BqCMllllADECFAMAxFAyF0:xF 0AxF 0:yF 20AycFqlF 0:AMF 2240ACMqllMFl 742AyqlMFl 23AMqlM 一、平面平行力系的合成一、平面平行力系的合成 作用在物体同一平面内的力是相互平行的，作用在物体同一平面内的力是相互平行的，称之为平面平行力系。称

31、之为平面平行力系。1F2F3F合力合力： iFFFFR321 合力作用线位置合力作用线位置：可在该平面内任选一点为参考点：可在该平面内任选一点为参考点(如如0点点)，利用合力矩定理求得，利用合力矩定理求得 FMRhFhFhFh03322111F2F3FR1h2h3hhyo 001( )2llqxFq x dxdxqll 0( )lCF xq xxdx 22013lqxdxqll 2211323Cxqlqll分布载荷分布载荷q q( (x x) )的合力大小及作用线的合力大小及作用线q(x)xyOdxxab图形面积badxxqR)( 图形形心babaRdxxqxdxxqxRxROqlRl/2ql

32、2l/3RqlR 2qlR 1 1、平面平行力系平衡的充要条件、平面平行力系平衡的充要条件 力系中各力的代数和等于零力系中各力的代数和等于零 ，以这些力对任一点的，以这些力对任一点的矩的代数和也等于零。矩的代数和也等于零。 二、二、 平面平行力系的平衡平面平行力系的平衡2 2、平面平行力系的平衡方程：、平面平行力系的平衡方程：二矩式二矩式ABAB连线不能平行于力的作用线连线不能平行于力的作用线0)(0 FMFAy（设力线与（设力线与X X轴垂直）轴垂直）一矩式一矩式0)(0)( FMFMBAABxy01F2F3F利用平衡方程只能求解二个未知量。利用平衡方程只能求解二个未知量。 0 xF 0yF 0iM 平面平面力偶系力偶系()0OiMF 0 xF 0yF 0)(0 FMFAy作业：作业：p46 3-7, 3-11, 3-7, 3-11, 3-17(c,d,g,i),3-18(d),3-19(a)3-17(c,d,g,i),3-18(d),3-19(a)补充：平面图形的形心补充：平面图形的形心形心形心: :当不考虑物体的容重与厚度时，称物体的重心为形心。当不考虑物体的容重与厚度时，称物体的重心为形心。此时物体只具有平面图形此时物体只具有平面图形. . 形心的位置只与平面图形的几