计算机图形学 7、图形变换

1、第七章 图形变换 图形变换是计算机图形学的基础内容之一，是图形显示过程中必不可少的环节。 为了从不同的方向观察对象，要求对对象做旋转变换；为了仔细观察对象，要求对对象做缩放变换；为了从一个观察点转移到另一个观察点，要求对对象做平移变换。 通过图形变换，也可由简单的图形生成复杂的图形，变换本身也是描述图形的有力工具。 常见的图形变换有：图形的平移，旋转，缩放，对称变换，剪切变换。 变换的实质是：根据模型原有的位置信息和变化的条件，计算出变换后的位置，并加以显示。二维图形平移 二维图形平移是将图形上任意一点P(x,y)在x轴方向y轴方向分别平移距离tx,ty，则变换后的新坐标x=x+txy=y+t

2、y 用矩阵表示pPtxtytytxyxyx,1001, , 二维图形旋转 二维图形旋转是将图形绕圆点旋转。图形上任意一点P(x,y)旋转后的位置为P(x,y)。 若|OP|=R,由图可知： x=Rcos,y=Rsin x=Rcos(+)=Rcoscos-Rsinsin=x cos-y sin y=Rsin (+)=x sin+ y cospPyxxyO用矩阵表示：R cossinsincos, yxyx二维图形缩放 二维图形缩放是将图形上任意一点P(x,y)在x轴方向缩放sx倍，y轴方向缩放sy倍，则变换后的新坐标x= sx xy= sy y 用矩阵表示pPSyxssyxyx00, 齐次坐标与

3、二维变换的矩阵表示 旋转和缩放可以用一个2X2矩阵表示，平移不行 我们希望将一种变换用一个矩阵来表示，这样就可以用矩阵合并的方法将一系列的简单变换用一个复杂变换来表示。这不仅可以节省运算量，还可以明确一个矩阵代表一种变换的概念。齐次坐标与二维变换的矩阵表示 为了将平移也用矩阵表示，点(x,y)用齐次坐标(x,y,h)表示。因为第3维h仅仅是为了增加一个维数，没有其他实际意义，用1代替。即一个二维平面点(x,y)用齐次坐标(x,y,1)表示。齐次坐标与二维变换的矩阵表示tyyytxxx101000111tytxyxyxcossinsincosyxyyxx 1000cossin0sincos11y

4、xyxysyxsxyx 100000011yxssyxyx平移：旋转：缩放：齐次坐标与二维变换的矩阵表示 在齐次坐标表示下，所有的二维变换都可以用3X3矩阵表示。1010001tytx平移变换矩阵T(tx,ty)旋转变换矩阵R()1000cossin0sincos缩放变换矩阵T(Sx,Sy)1000000yxss齐次坐标与二维变换的矩阵表示 二维变换可以统一表示为 Tyxyx11表示变换后的模型上任意一点表示变换前的模型上任意一点T表示变换矩阵，或者说，一个矩阵表示一种变换1yx1yx复合变换一个复杂变换也可以用一系列简单变换（旋转、平移、缩放）实现。绕任意点的旋转1.平移图形，使任意点与原点

5、重合2.绕原点旋转3.平移图形，使任意点回到原处以任意点为参考点的缩放1.平移图形，使任意点与原点重合2.以原点为参考点缩放3.平移图形，使任意点回到原处绕任意点的旋转(X0,y0)(X0,y0)(X0,y0)(X0,y0)(X0,y0)绕任意点的旋转 用矩阵表示各个过程1010001001yxT1000cossin0sincos2T 11111Tyxyx 2112211Tyxyx 32211Tyxyx1010001003yxT 32211Tyxyx32111TTyx3211TTTyx绕任意点的旋转 整个变换过程1cossin)cos1 (0cossin0sincos0000321yyxxTT

6、TT 32211Tyxyx32111TTyx3211TTTyx Tyxyx11复合矩阵可以减少计算量不进行矩阵合并1. 一个33矩阵与一个点向量相乘得到一个点向量，需要9次乘法（忽略加法）。2. 3次变换需要39=27次乘法。复合矩阵可以减少计算量先进行矩阵合并1. 一个33矩阵与一个33矩阵相乘得到一个33矩阵，需要27次乘法（忽略加法）。2. 进行2次矩阵相乘需要54次乘法。3. 合并矩阵与一个点向量相乘得到一个点向量，需要9次乘法。复合矩阵可以减少计算量 如果模型有10000个点向量，进行绕任一点旋转变换 不合并矩阵时计算量：1000027 合并矩阵时计算量：54+100009变换模式

7、有两种变换模式：固定坐标系模式，活动坐标系模式 固定坐标系模式：坐标系不变、图形变动。变换关系是指图形变动前后之间的坐标关系 活动坐标系模式：图形不变，坐标系变动。变换关系是指图形在新旧坐标系中的坐标之间的关系。变换模式 活动模式与固定模式实质一样，即两种变换关系完全等价，但变换参数相反。活动坐标系模式平移: tx,ty旋转:缩放:Sx,Sy固定坐标系模式平移: -tx,-ty旋转:-缩放:1/Sx,1/Sy变换模式 有时采用活动坐标系模式，是为了更好地理解变换前后两个对应物体之间的坐标关系。例如，关于绕任意点的旋转变换绕任意点的旋转(X0,y0)(X0,y0)(X0,y0)(X0,y0)-(

8、X0,y0)坐标系扶正其他变换对称变换1. 关于x轴的对称变换。特点: (x,y)(x,-y)2. 关于y轴的对称变换。特点: (x,y)(-x, y)3. 关于任意直线的对称变换 移动坐标，使坐标原点在直线上 旋转坐标，使x轴与直线重合 对图形以x轴做对称变换 旋转坐标，使x轴回到原方向 移动坐标，使坐标回到原位置其他变换 错切变换错切变换保持图形上各点的某一坐标值不变，而另一坐标值关于该坐标值呈线性变化。坐标保持不变的那个坐标轴称为依赖轴，余下的坐标轴称为方向轴。其他变换 变换图形、变换关系式和变换矩阵xy以y轴为依赖轴的错切变换yx以x轴为依赖轴的错切变换x=x+shxyy=yy=y+s

9、hyxx=x10001001)(xxyshshSH10001001)(yyxshshSH其他变换 在上述变换中，x轴（直线y =0）、y轴（直线x =0）又分别称为参考轴。 在对以任意直线为参考轴时，要事先通过变换，将任意线与x轴或y轴重合，再按上述方法进行变换，再进行变换将任意线恢复原状。y=yrefxy1001000110001001100100011001001refxrefrefxxyshyyshsh平移切变平移复合变换其他变换 仿射变换 仿射变换的特点是变换前的平行线在变换后依然平行。 前面提到的变换都是仿射变换。 仿射变换的关系式和变换矩阵ebyaxxfdycxy100fedbca

10、AF二维图形的显示流程 任何二维图形都存在于一个图形坐标系中。 如果这个坐标是是通用的、标准的，如大地坐标系，则这个坐标系称为世界坐标系。 如果这个坐标是用户按照自己熟悉或方便的方式建立的，则称为用户坐标系。 显示器的范围有限，不可能显示所有的图形。 常用的方法是在图形坐标系中取一个与x轴、y轴平行的矩形窗口，只显示窗口内的图形内容。二维图形的显示流程 在显示器上也建立了一个坐标系，称为显示坐标系或设备坐标系(DC)。 为了方便在任何尺寸的输出设备上输出图形，将设备坐标系作归一化处理，即在x,y方向上的最小值均为0，最大值均为1。这种坐标系叫归一化设备坐标系(NDC)。 NDC的图形在输出时，

11、只要将坐标值分别乘以输出设备的尺寸xmax,ymax，就可以将图形最大限度地输出到任何设备上。(0,0)(1,1)二维图形的显示流程 通常情况下，并不是整个屏幕都用来显示图形。往往在屏幕上划定一个平行于设备坐标轴的矩形区域作为图形显示区。这个区域称为视区。窗口到视区的变换 由于窗口和视区都平行于各自的坐标轴，只需要使用平移和缩放。窗口到视区的变换平移缩放平移窗口到视区的变换 窗口与图形坐标轴不平行的情况 由于必须要对图形进行裁剪，而裁剪方法主要是基于窗口边平行坐标轴的算法，因此，必须通过变换使窗口与坐标轴平行。 如此处理后，就可用上述方法进行窗口到视区的变换。三维几何变换 三维几何变换是二维几

12、何变换的简单推广 平移 缩放1010000100001),(zyxzyxttttttT1000000000000),(zyxzyxssssssS三维几何变换 旋转 旋转复杂一点，包括绕x轴，y轴，z轴，任意轴的旋转。 绕x轴，y轴，z轴的旋转矩阵如下：10000cossin00sincos00001)(xR10000cos0sin00100sin0cos)(yR1000010000cossin00sincos)(zR三维几何变换 绕任意轴的旋转xyzXxyzZY RTzyxzyx11 )(11 zRzyxzyx11111 1RTzyxzyx三维几何变换 错切变换 以z轴为依赖轴，则x,y坐标依

13、z坐标呈线性变换。10000100100001),(yxyxzshshshshSH三维几何变换 对称变换：在3维空间，对称单元是平面。 针对任意平面的变换：xzyxzyyzx RTzyxzyx11 xySYzyxzyx11 11111 1RTzyxzyx坐标系之间的变换 同一图形对象在坐标系与辅助坐标系之间的表示，涉及到坐标系之间的变换。XYXYTR=? RTzyxzyx11 111RTzyxzyx坐标系之间的变换 空间点（一个向量）在一个坐标系中的坐标等于该向量在坐标轴上的投影 A向量在B向量上的投影值等于A向量与B向量的单位向量之间的内积（点乘） X轴的单位方向矢量为（a11,a12) ，可表示为： a11i+a12j; Y轴的单位方向矢量为（a21,a22) 点P(x,y)可用矢量表示为： x i+ y j 点P(x,y)在X轴上的投影可用点乘得到，即x=a11 x +a12y 同样y=a21 x +a22y坐标系原点重合XYXYP 100001122122111aaaayxyxTR:正交矩阵TR-1=TRT1000022211211aaaa坐标系