高等数学一所学内容-知识点总结(包含自考真题)

1、九音小子编辑整理 翻版必究高等数学一所学内容-知识点总结第一章 函数第二章 极限与连续第三章 导数与微分第五章 一元函数积分学第六章 多元函数微积分第一章 函数1.1.1 初等代数的几个问题1.一元二次方程关于x的方程ax2bxc0（a0），称为一元二次方程，称为此方程的判别式.（1）求根公式：当0时，方程有两个不同的实根：当0时，方程有一个二重实根：当0时，方程有一对共轭复根：（2）根与系数的关系（韦达定理）：（3）一元二次函数（抛物线）：yax2bxc（a0），当a0时，开口向上，当a0时，开口向下.对称轴顶点坐标例1.若x3x2axb能被x23x2整除，则a、b是多少？结论：多项式f（x

2、），g（x）.若f（x）能被g（x）整除，则g（x）0的根均为f（x）0的根.解：令x23x20，解得x1或2，代入被除式得解得2.二元一次方程组两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组.当时，方程组有唯一解；当时，方程组无解；当时，方程组有无穷多解.例2.已知方程组（1）若方程组有无穷多解，求a的值；（2）当a6时，求方程组的解.解：（1）因为方程组有无穷多组解，所以,解得a4.（2）当a6是，原方程组变为,解得3.不等式（1）一元二次不等式考虑不等式ax2bxc0，如果记一元二次方程ax2bxc=0的两个不同实根分别为x1，x2，且x1x2，根据一元二次函数的图形可知：当a0时

3、，这个不等式的解集是xxx1或xx2；当a0时，它的解集是xx1xx2.用类似的方法可以求解不等式ax2bxc0，ax2bxc0和ax2bxc0.例3.解不等式x25x60.解：令x25x60,（x2）（x3）0,得x2或x=3, 解集为（，23，）.例4.解不等式x2（1a）xa0.解：令x2（1a）xa0,（xa）（x1）0,得xa或x1,若a1，解集为（a，1）,如a1，解集为,若a1，解集为（1，a）.（2）绝对值不等式不等式f（x）a0等价于f（x）a或f（x）a；不等式f（x）a等价于af（x）a.例5.解下列含有绝对值符号的不等式：（1）2x35 （2）3x17解：（1）原不等式

4、等价于52x35解得：1x4.所以解集为1，4.（2）原不等式等价于3x17或3x17，3x17的解集为x2，3x17的解集为x,所以解集为（，2，）.例6.解不等式x22x53.解：原不等式等价于x22x53的解集为（，），x22x53的解集为（2，4），所以原不等式的解集为（2，4）.4.数列（1）等差数列：相邻两项的差为定值，即an1and，d称为公差.通项公式：ana1（n1）d前n项和公式：当mnkl时，amanakal特别地有例7.设an是一个等差数列，且a2a3a10a1164，求a6a7和S12.解：因为 21131013所以a2a11a3a1032,又因为 6713，所以a6

5、a732,S12（a1a12）×12÷26（a1a12）6×32192.（2）等比数列：相邻两项的商为定值，即，q称为公比.通项公式：ana1qn-1前n项和公式：当mnkl时，amanakal特别地有例8.设an是一个等比数列，且a312，a548，求a1，a10和a2a6的值.解：所以q±2a10a5·q548×（±2）5±1536因为26358所以a2·a6a3·a512×48576.1.1.2 集合与逻辑符号1.集合的概念集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合

6、的元素.数集分类：N自然数集Z整数集Q有理数集R实数集C复数集合2.元素与集合的关系元素a在集合A中，就说a属于A，记为aA；否则就说a不属于A，记为aA.3.集合与集合的关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A.若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作AB.例9.A1，2，Cxx23x20，则A和C是什么关系？解：解方程x23x20，得x1或x2.所以C1，2，从而AC.4.空集不含任何元素的集合称为空集（记作）.规定空集为任何集合的子集.例10.xxR，x2105.集合的表示方法：列举法，描述法一般的，有限集用列举

7、法，无限集用描述法闭区间：a，bxaxb，xR；开区间：（a，b）xaxb，xR；半开半闭区间：左开右闭区间：（a，bxaxb，xR，左闭右开区间：a，b）xaxb，xR；（，bxxb，xR，a，xxa，xR；点a的邻域：U（a，）（a，a），0，即U（a，）是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用Ua表示；点a的去心邻域：N（a，）（a，a）（a，a），0.点a的去心邻域也可以表示为Na.6.集合之间的运算（1）并：由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为AB.ABxxA或xB，ABBA.例11.已知：A1，2，3，4，B2，4，6，8，10，12，求：AB.

8、解：AB1，2，3，4，6，8，10，12.例12.已知：Ax1x5，Bx3x2，求：AB.解：ABx3x5.（2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为AB.ABxxA且xB，ABBA例13.已知：A1，2，3，4，B2、4、6、8、10、12，求：AB.解：AB2，4.例14.已知：Ax1x4，Bx3x3，求：AB.解：ABx1x3.（3）余集（差集）：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为AB.ABxxA但xB.例15.已知：A1，2，3，4，B2，4，6，8，10，12，求：AB.解：AB1，3.7.一些逻辑符号p能推出q，记为pq，此时称p是q的充

9、分条件，q是p的必要条件.如果pq，qp同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件（充要条件），记作pq.1.2函数的概念与图形1.2.1 函数的概念1.定义设D是一个非空数集，f是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数xD，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作yf（x），xD.也称y是x的函数，其中x称为自变量，y称为因变量.当x0D时，称f（x0）为函数在点x0处的函数值.数集D叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数Wyyf（x），xD称为函数的值域.例1.已知：，求：y的定义域、值域.解：令1x20，解得：1x1,所以定义域为1，1.因为

10、01x21，所以01，所以值域为0，1.例2.已知：，求：y的定义域、值域.解：根据题意，得，解得1x1，所以定义域为（1，1），因为 01，从而，所以值域为1，）.2.函数的三要素：定义域、对应法则、值域.约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化.例3.判断下列两个函数是否相等，（1）yx3； （2）.例4.求函数的定义域.解：根据题意，得解得:2x3或3x5，所以定义域为2，3）（3，5）.3.函数的表示法：表达式法（解析法）、图形法、数表法.1.2.2 函数的图形1.函数图形的概念函数yf（x），xD的图形是指在xOy平面上的点集（

11、x,y）yf（x），xD.常见的几个幂函数的图形：2.函数的性质1.3三角函数、指数函数、对数函数1.3.1 三角函数1.3.2 指数/对数函数(1)定义 指数函数，y=ax(a0，且a1)，注意与幂函数的区别 对数函数ylogax(a0，且a1) 指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数 (2)指数函数y=ax(a0，且a1)与对数函数y=logax(a0，且a1)的图象和性质如表1-2 (3)指数方程和对数方程 指数方程和对数方程属于超越方程，在中学阶段只要求会解一些简单的特殊类型指数方程和对数方程，基本思想是将它们化成

12、代数方程来解其基本类型和解法见表1-3 1.4 函数运算1.4.1函数的四则运算定义1.10 设函数f（x），g（x）都在D上有定义，kR，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变（除法运算时除数为0的点除外），而函数值的对应定义如下：（1）加法运算 （fg）（x）f（x）g（x），xD .（2）数乘运算 （kf）（x）kf（x），xD.（3）乘法运算 （fg）（x）f（x）g（x），xD .（4） 除法运算 g（x）0， xD.其中等号左端括号表示对两个函数f，g 进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值.例1. 已知f（x）=ln（1x），g（x）=1cos

13、x，求 .解 因为函数f（x）=ln（1x）的定义域为（1，+），函数g（x）=1cosx 的定义域为（，+），且当x=2 k（k为整数）时，g（x）=0，所以，x（1， +）2k（k为整数）1.4.2复合函数如有函数f（x）和g（x）,它们的定义域分别为Df和Dg ，值域分别是 Zf 和Zg. 当ZgDf 时，对于任意xDg,都有唯一的g（x）ZgDf,，从而有唯一的f（g（x）Zf与xDg对应，这样就确定了一个从Dg到Zf的函数，此函数称为 f和g的复合函数，记作 重点是学会函数的分解与复合。例2. 分解下列复合函数（1） ；（2） 。解：（1）y=arcsinu，y=av， （2）y=s

14、in2u，u=lnv，v=x3+1例3.求下列复合函数的表达式和定义域（1）f（x）=lgx，g（x）=2x （2）f（x）=arcsinx， 解：（1）f（g（x）=lg2x=xlg2，定义域为R，（2） ， 令 解得：1x2，所以定义域为1,2.例4. 求下列复合函数的表达式（1） 设，求 。解：令x1=t，则x=t+1，则f（t）=（t+1）31=t3+3t2+3t,所以f（x） =x3+3x2+3x.（2） 设 ，求 。解：x+1=t,则x=t1，当0t11，即1t2时，g（t）=（t1）2=t22t+1，当1<t12，即2<t3时，g（t）=2（t1）=2t2，所以， （

15、3） 则有（ ）（A）f（f（x）=（f（x）2 （B） f（f（x）=f（x） （C） f（f（x）>f（x） （D） f（f（x）>f（x） 答案：B解析：令f（x）>0，得xR，所以f（f（x）=f（x）.（4）已知 若f（g（x）=lnx,则g（x）=（）.（A） （B） （C） （D） 答案：B解析：令x1=t，则x=t+1，则 所以 所以 1.4.3初等函数1.基本初等函数常见的六类函数，即常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，称为基本初等函数2.初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的函数，称为初等函数。1.5经济

16、学中的常用函数1.5.1需求函数与供给函数1.需求函数商品需求量Q与其价格P之间的函数关系QQ（P）称为需求函数.一般地，需求函数是一个单调递减函数.常见的几种需求函数模型如下：（1）线性需求函数：QabP，其中a，b是非负常数.（2）二次曲线需求函数：QabPcP2，其中a,b,c 是非负常数.（3）指数需求函数：QAebp，其中A，b是非负常数.2.供给函数商品供给量S与其价格P之间的函数关系SS（P）称为供给函数.一般地，供给函数是一个单调递增函数.常见的几种供给函数模型如下：（1）线性供给函数：SabP，其中a，b是非负常数.（2）二次曲线供给函数：SabPcP2，其中a，b，c是非负

17、常数.（3）指数供给函数：SAebP，其中A，b是非负常数.当供给量与需求量相等，即 时，这时的价格 称为均衡价格；这时的商品数量 称为均衡数量.例1.已知某种商品的需求量Q和供给量S与其价格P满足的关系式分别为Q220QP990和3S2P1230，求该商品的市场均衡价格和均衡数量.解：令QS，由Q220QP990与3S2P1230，得 由3S2P1230与 ，解得S1（舍去）和S6.当S6时，解得P15.故均衡价格为15，均衡数量为6.1.5.2成本函数一般地，总成本C可分为两部分，分别是固定成本C1和可变成本C2.C1是一个与产品数量无关的常数，C2与产品的数量q有关，是q的函数，记作C2

18、（q）.所以，总成本C（q）固定成本可变成本C1C2（q）.平均成本指的是总成本与产品数量之比 记作 .常见的成本函数模型是：（1）线性成本函数：C（q）C1cq,其中c是单位产品的可变成本.（2）二次成本函数：C（q）C1bpcq2.例2.已知某产品的总成本函数为 求生产50件该产品时的总成本与平均成本.解：所求总成本为平均成本为1.5.3收益函数与利润函数1.收益函数收益指的是出售商品得到的总收入，等于出售单价与售出总量的乘积，即总收益函数RR（q）qP（q），其中R表示收益，q表示售出的商品总量，P（q）是商品的单价与售出量的关系，是该商品的价格函数.平均收益函数为 2.利润函数在供需平

19、衡时，某种产品获得的总利润等于出售该产品获得的总收益与生产该产品付出的总成本之差，即总利润函数LL（q）R（q）C（q），其中，L表示总利润，q表示产品数量.平均利润函数为 当LL（q） R（q）C（q）>0时，是有盈余生产；当LL（q） R（q）C（q）<0时，是亏损生产；当LL（q） R（q）C（q）0时，是无盈余生产，无盈余生产时的产量q0称为无盈亏点.例3. 已知生产某商品的总成本为C（q）202q q2（万元）.若每售出一件该商品的收入是20万元，求生产20件该商品时的总利润和平均利润.解：总利润为L（q） R（q）C（q） 20q（202q q2）18q q220，所求

20、总利润为L（20）140（万元）；平均利润为第二章 极限与连续极限的求法：二、连续第三章 导数与微分第一节 导数一、导数的定义二、导数的求法举例第二节 微分第四章 微分中值定理和导数的应用第五章 一元函数积分学基本积分表第六章 多元函数微积分一、可分离变量的微分方程下面讨论一阶微分方程二、齐次方程三、线性方程即所求的通解.绝密 考试结束前全国2013年4月高等教育自学考试高等数学(一)试题课程代码：00020请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上

21、。2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1.设函数f(x)=x+a sin x,则A.f(x)为奇函数B. f(x)为偶函数C. f(x)为非奇非偶函数D. f(x)的奇偶性与参数a有关2.设函数f(x)满足f(1)=0, (1)=2，则=A.0B.1C.2D.不存在3.设函数f(x)在区间a,b上可导，且(x)<0, f(b)

22、>0,则在a,b上f(x)A.恒大于零B.恒小于零C.恒等于零D.有正有负4.微分方程y-=0的通解为A.y2=2x2B.y2=2x2+CC. y2=x2D. y2=x2+C5.设极限，则常数a=A.-2B.-C. D.2非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）6.收敛级数的和为_.7函数f(x)=+ln (5-x)的定义域是_.8设收益R与销售量q的函数关系为R=，则边际收益为_.9.设函数y=e3x+2+2，则微分dy=_.10.曲线y=的水平渐近线为_.11.已知函数f(x)=a sin

23、 x+cos 3x在x=处取得极值，则常数a=_.12.曲线y=x3-3x+1的拐点坐标是_.13设f(x)=1-x,且f(0)=1,则f(x)=_.14设函数f(x)在 ()上连续，且对任意的x，有，则f(x)=_.15.设函数z=xy2+sin ,则=_.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设函数f(x)=,确定常数a的值，使得f(x)在x=0处连续.17.利用定积分的性质，比较三个数1、e及的大小.18求极限.19设函数f(x,y)=xy,求全微分d20.计算定积分I=.四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21.设函数y=sin(ln x)+

24、ln(sin x),求.22.计算二重积分I=，其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域.23.设函数f(x)可导，且(cos x)=,f(0)=-2,求f(x).五、应用题（本题9分）24.某商品的销售量x(吨)与销售价格p(万元/吨)满足关系x=35-5p,边际成本为(x)=5(万元/吨)，固定成本为1（万元），求该商品获最大利润时的销售量及价格.六、证明题（本题5分）25.设函数f(x)连续，且，证明.绝密考试结束前全国2014年4月高等教育自学考试高等数学(一)试题课程代码：00020请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自

25、己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1.下列运算正确的是A.ln6+ln3=ln9B.ln6-ln3=ln2C.(1n6)(ln3)=ln18D.2.设函数f(x)可导，且,则导数f'(x)=A.B.-C.D.-3.设函数厂f(x,y)=，则f=A.B.C.D.4.函数f(x)=sinx+cosx是A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数5.下列各对函数中，为同一函数的是A.y=ln(x2)与y=21n|x|B.y=tan(2x)与y=2tanxC.y=x与y=D.y=x-1与y=6.设函数f(x)=2x2，g(x)=sinx，则当x0时A.f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B.f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C.f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小量D.f(x)与g(x)