信号与系统【习题作业与答案】第2章 习题

1、建立了信号与系统的数学描述方法。建立了信号与系统的数学描述方法。讨论了信号自变量变换对信号的影响。讨论了信号自变量变换对信号的影响。介绍了作为信号分析基础的基本信号：复指数介绍了作为信号分析基础的基本信号：复指数信号、正弦信号、单位冲激与单位阶跃信号。信号、正弦信号、单位冲激与单位阶跃信号。讨论了离散时间正弦信号的周期性问题。讨论了离散时间正弦信号的周期性问题。定义并讨论了系统的六大基本特性及系统的互连。定义并讨论了系统的六大基本特性及系统的互连。讨论了增量线性系统及其等效方法。讨论了增量线性系统及其等效方法。第一章第一章 信号与系统信号与系统 小结小结 第二章第二章 线性时不变系统线性时不变

2、系统 小结小结本章主要讨论了以下内容本章主要讨论了以下内容： lti系统的描述方法：系统的描述方法：用用 描述系统（也可用描述系统（也可用 描述）描述）；用用lccde连同零初始条件描述连同零初始条件描述lti系统；系统；( )( )h th n、( )( )s tn、s( )( ) ()( )( ) ()kx nx knkx txtd 信号的时域分解信号的时域分解: : lti系统的时域分析系统的时域分析卷积和与卷积积分卷积和与卷积积分 奇异函数奇异函数 用方框图描述系统（等价于用方框图描述系统（等价于lccde描述）。描述）。( )( )h th n、 系统级联、并联时，系统级联、并联时，

3、 与各子系统与各子系统的关系。的关系。( )( )h th n、( )h t 、( )h n 记忆性、因果性、稳定性、可逆性与记忆性、因果性、稳定性、可逆性与 的关系；的关系； lti系统的特性与系统的特性与 的关系：的关系： 若若 ，则，则( )( )( )x nh ny n000()( )( )()()x nnh nx nh nny nn卷积和满足差分、求和及时移特性：卷积和满足差分、求和及时移特性：恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：( )( )( )x nh ny n( )( )( ) ( )( )nnnkkkx kh nx nh ky k

4、若若 ，则，则 ( )(1)( )( )( )(1)( )(1)x nx nh nx nh nh ny ny n卷积运算性质：卷积运算性质：若若 ，则，则( )( )( )x th ty t000()( )( )()()x tth tx th tty tt卷积积分满足微分、积分及时移特性：卷积积分满足微分、积分及时移特性：( )( )( )x th ty t( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )tttx th tx th ty txdh tx thdyd若若 ，则，则粗略绘出下列各函数式的波形图粗略绘出下列各函数式的波形图 ttuttftutftcosedd )2(1)

5、1(221 描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。 例1 101112tttu从而求得从而求得波形图为波形图为ot)(1tf 21(1)1ftu t ,1112 ttutu由由于于:)( 的特性可知的特性可知根据根据tu 1101)1(2 tutt 0101)1(2 tutt ttuttftc

6、osedd )2(2 此题应注意冲激信号的性质此题应注意冲激信号的性质 tfttfttut 0 dd 2d ecosdecose sinecosecossin2ecos4ttttttfttu tttt u ttttt u tttu tt 波形如下图波形如下图 ot)(2tf43 47 1 1例例2已知序列已知序列 如图（如图（a）所示，）所示，试求序列试求序列 nx 323nxny，并作图，并作图。本例是关于离散信号运算的例题，离散信号的移位、本例是关于离散信号运算的例题，离散信号的移位、反褶、标度运算与连续信号的运算相同。但需注意，反褶、标度运算与连续信号的运算相同。但需注意，序列的尺度倍乘

7、将波形压缩或扩展，这时要按规律去序列的尺度倍乘将波形压缩或扩展，这时要按规律去除某些点或补足相应的零值。除某些点或补足相应的零值。o12311221n nx(a)如图（如图（b）所示。）所示。 231nxny 09 , 6 , 3 , 0 , 3 31 其他其他nnxny ,0,0,0,-2,0,0,1,0,02001-01 nny， ny把把 改写为改写为第一步设第一步设 则则(b)o12311221n3nx93如图（如图（c）所示）所示 nyny 12 ,0,0,-12,0010,0,0,0,0,2-02 nny，第二步设第二步设则则o31221n3nx93(c)如图（如图（d）所示。）所

8、示。第三步将第三步将 右移右移2位即得位即得 ny2 ,0,0,-1, 2,0010,0,0,0,0,2-0 ，nnyo51221n323nx71(d)2求下列函数值求下列函数值 tttft edd)1( tftde)2(3 本例目的在于熟悉并正确应用冲激函数的性质。本例目的在于熟悉并正确应用冲激函数的性质。 例3 tttft edd tt dd 方法一：方法一：方法二：方法二： ttttttttttf eddeddedd tttttttt ee t 方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过程较繁。另外，对冲激偶信号的性质程较繁。另外，对冲激偶信号的性质

9、 tftfttf 00 往往被错误写成往往被错误写成 tfttf 0从而得出错误结论。从而得出错误结论。 tttft edd)1( 3(2)ed 3d d3d 3ttttf t tu t tftfttf 00 在描绘某些信号的波形时，有时不必求出函数的表达在描绘某些信号的波形时，有时不必求出函数的表达式，而可直接利用信号运算及相应的波形变换图解。式，而可直接利用信号运算及相应的波形变换图解。画画(2)的波形时，应先画出的波形时，应先画出(1)的波形。的波形。需要注意，对信号的基本运算都是对独立的、单一的需要注意，对信号的基本运算都是对独立的、单一的变量变量t而言的，而不是对变量而言的，而不是对

10、变量at或或at+b进行变换。进行变换。 )26()1(tf )26(dd)2(tft 已知信号已知信号f(t)的波形如图所示，请画出下列函数的波形。的波形如图所示，请画出下列函数的波形。ot1212 tf例4对信号的波形进行微分变换时，对信号的波形进行微分变换时，应注意在函数的跳变点处会出应注意在函数的跳变点处会出现冲激信号。现冲激信号。 ot1212 tf26 3ot121 tft26dd 3)1()1()2( 例例5序列。若是周期序列试确定其基波周期序列。若是周期序列试确定其基波周期n。判断下列离散信号是周期序列还是非周期判断下列离散信号是周期序列还是非周期 3sin16sin11nnn

11、f 62sin68cos16sin222nnnnf 实际是非周期序列。实际是非周期序列。乘积序列乘积序列周期序列，所以二者的周期序列，所以二者的是非是非，但，但期是期是虽然是周期序列，其周虽然是周期序列，其周nfnnn13sin3216sin 3sin16sin11nnnf3216sin21 nn 的的周周期期是是168cos2 nn 的的周周期期是是462sin63 nn 是是 。基波周期，所以的最小公倍数是32nnf32n,n,n2321 2fn 是三个周期序列的和组成的序列，所以它的基是三个周期序列的和组成的序列，所以它的基波周期是这三个周期序列周期的最小公倍数。波周期是这三个周期序列周

12、期的最小公倍数。 62sin68cos16sin222nnnnf在检验一个系统的线性时，重要的是要牢记：系统必在检验一个系统的线性时，重要的是要牢记：系统必须同时满足可加性和齐次性。须同时满足可加性和齐次性。 性性系系统统？描描述述的的系系统统是是否否为为线线判判断断方方程程txty2 先经系统先经系统 txtytxtxtytx22222111 再线性运算再线性运算 tbxtaxtbytay222121 ,21为为两两个个输输入入信信号号设设txtx例6 22333122222121222121212 2 2xtytxtaxtbxta xtb xtabxt xta ytb ytaaytxttb

13、bxty所以系统是非线性的。所以系统是非线性的。 312( )x tax tbxt设系统的输入为系统的输入为x(t)，输出为，输出为y(t)，系统关系如下，判断系统是，系统关系如下，判断系统是否是因果系统。否是因果系统。 1cos )1( ttxty txty )2( 在检验一个系统的因果性时，重要的是要考查在检验一个系统的因果性时，重要的是要考查系统的输入系统的输入- -输出关系，同时要把输入信号的影响仔输出关系，同时要把输入信号的影响仔细地从在系统定义中所用到的其他函数的的影响区细地从在系统定义中所用到的其他函数的的影响区分开来。分开来。 例7 1cos )1( ttxty txty )2

14、( 在某个正的时刻在某个正的时刻t0的输出的输出y(t0)=x(-t0) ，仅仅决定于，仅仅决定于输入在时刻输入在时刻(-t0)的值，的值，(-t0)是负的，因此属于是负的，因此属于t0的过去的过去时刻，这时可能要得出该系统是因果的结论。然而，时刻，这时可能要得出该系统是因果的结论。然而，我们总是要检查在全部时间上的输入我们总是要检查在全部时间上的输入-输出关系，对于输出关系，对于 t0，如，如 44,4xyt 所以在这一时间上输出就与输入的将来有关。因此，所以在这一时间上输出就与输入的将来有关。因此，该系统不是因果系统。该系统不是因果系统。 在这个系统中，任何时刻在这个系统中，任何时刻t的输

15、出等于在同一时的输出等于在同一时刻的输入再乘以一个随时间变化的函数，因此仅仅是刻的输入再乘以一个随时间变化的函数，因此仅仅是输入的当前值影响了输出的当前值，可以得出该系统输入的当前值影响了输出的当前值，可以得出该系统是因果系统。是因果系统。 例 8)30(2)(1011)(21 tttftttfot tf1111 ot tf2323o 2f3 23o tf223o 1f111 3 tt t ttt -13 tt tf2两波形没有公共处，二者乘积为两波形没有公共处，二者乘积为0 0，即积分为，即积分为0 0 021 tff 021 tftftg1 t-1 t 13 tt2ft 向右移向右移 tf

16、2 时两波形有公共部分，积分开始不为时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限积分下限- -1，上限，上限t ，t 为移动时间为移动时间;1 t12111( )( )()dd2ttg tff tt1422 t 41242 tt1 t 2o 1f111 3 tt tf2 113tt即即1 t 2 tttg d21)(112 t 4o 1f111 3 tt tf2即即2 t 4 1313tt224d)(21)(213 ttttgt o 1f111 t 43 tt tf2即即t 4t- -3 1 0 tg卷积结果 ttttttttttg其他其他04222421114124)(22ot tf1111

17、 ot tf2323)(tgto2421 1例9 61 nununnx 162 nununx nxnxns21 已知离散信号已知离散信号求卷积，求卷积，求离散信号的卷积有多种方法，本例只介绍其中的几种求离散信号的卷积有多种方法，本例只介绍其中的几种方法一：利用单位脉冲序列求卷积方法一：利用单位脉冲序列求卷积方法二：借助图解，分区间求卷积方法二：借助图解，分区间求卷积方法三：利用对位相乘法求卷积方法三：利用对位相乘法求卷积方法一：利用单位样值信号求卷积 mmx nx m nm任何一个离散信号可以用单位样值信号表示为任何一个离散信号可以用单位样值信号表示为 234562 nnnnnnx 16 12

18、2334455mmxnm u mu m nm n n n n n对于本例对于本例 2121nnnnnnn 利用单位样值信号的卷积性质利用单位样值信号的卷积性质 3529112141152103643521 nnnnnnnnnnxnxns结果如图（结果如图（a）所示。）所示。这种方法虽然计算比较简单，但表达式较长，因而只适应于较短这种方法虽然计算比较简单，但表达式较长，因而只适应于较短的时限序列。另外，用这种方法求得的卷积结果有时不容易写出的时限序列。另外，用这种方法求得的卷积结果有时不容易写出其函数表达式的闭式形式。其函数表达式的闭式形式。说明说明o nsn461361015141295(a)

19、 mmnxmxnxnxns2121首先将首先将 反转，然后确定反转，然后确定 非零值区间的横坐非零值区间的横坐 标，其下限为标，其下限为 ，上限为，上限为 ，如图（，如图（b）所示。）所示。 nx2 mnx 22 n6 n根据卷积的定义式根据卷积的定义式方法二：借助图解，分区间求卷积606 nn时时，即即当当 021 nxnxns155616 nnn时时，即即和和当当 76216121 nnmnxnxnsnm 122115265122112221512051025221 nnnnnnmjmmmnxnxnsmnjmnmnm305266 nnn时时，即即和和当当 mnx 2再将再将 平移，并分区间

20、求出卷积结果。平移，并分区间求出卷积结果。结果与方法一相同结果与方法一相同。 021 nxnxns 4 030 12211515- 76216 021nnnnnnnnnxnxns462 nn，即即当当则则 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ,0601nnununnx 00, 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1162nnununx 5 9 12 14 15 10 6 3 1 : 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 1 1 1 1 : x5 4 3 2 1 : 321 nnsnnx方法三：利用对位相乘法求卷积此方法适应于

21、时限序列。此方法适应于时限序列。 35, 9 ,12,14,15,10, 6 , 3 , 1nns所以所以1a0a ty ty ty tf)(a例10 某连续系统的框图如图某连续系统的框图如图(a)所示，写出该系所示，写出该系统的微分方程。统的微分方程。 系统框图有两个积分器。故描述该系统的是二阶微分方系统框图有两个积分器。故描述该系统的是二阶微分方程。由于积分器的输出是其输入信号的积分，因而积分程。由于积分器的输出是其输入信号的积分，因而积分器的输入信号是输出信号的一阶导数。器的输入信号是输出信号的一阶导数。 ty左方积分器的输入信号为左方积分器的输入信号为 ty 从加法器入手，找其入出关系。从加法器入手，找其入出关系。 ty则其输入信号为则其输入信号为图中设右方积分器的输出信号为图中设右方积分器的输出信号为 tftyatyaty 01将上式除将上式除f(t)以外的各项移到等号左端，得以外的各项移到等号左端，得 tftyatyaty 01由加法器的输出，得由加法器的输出，得连续系统或离散系统除用数学方程描述外，还可用连续系统或离散系统除用数学方程描述外，还可用框图表示系统的激励与响应之间的数学运算关系，框图表示系统