太原理工大学物理李孟167;26功 动能 动能定理

1、太原理工大学物理系太原理工大学物理系若若f是恒力且物体沿直线运动发生位移是恒力且物体沿直线运动发生位移 ab ,力对物体所作的功：力对物体所作的功：1. 恒力作用恒力作用 直线运动直线运动一、一、 功功 26 功功 动能动能 动能定理动能定理 功能原理功能原理 机械能守恒机械能守恒功是表示力对空间累积效应的物理量。功是表示力对空间累积效应的物理量。ofab 力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积与位移大小的乘积 . abfabfacos太原理工大学物理系太原理工大学物理系质点在变力的作用下沿曲线从质点在变力的作用下沿曲线从a点运动到点运

2、动到b点点2.一般运动一般运动 （变力作用（变力作用 曲线运动）曲线运动）曲线曲线直线直线变力变力恒力恒力isifib*a这段位移视质点受恒力作用这段位移视质点受恒力作用iisf.元功元功 iiiisfacos路径路径ab分为很多小弧段分为很多小弧段, ,位移位移 is太原理工大学物理系太原理工大学物理系变力沿曲线变力沿曲线 ab对物体所作之总功为：对物体所作之总功为：当当 时求和变为积分，沿曲线从时求和变为积分，沿曲线从ab变力变力 作的总功为：作的总功为：0isifdsfsdfababacosiiisfa.在直角坐标系里在直角坐标系里kdzjdyidxsdkfjfiffzyx)(dzfdy

3、fdxfsdfazyxbaba太原理工大学物理系太原理工大学物理系1） 功是标量，没有方向只有正负。功是标量，没有方向只有正负。 功的功的正正负负取取决于力与位移的决于力与位移的夹角。夹角。3）当几个力作用在质点上时，由于）当几个力作用在质点上时，由于各力对质点做功之和等于合力作的功各力对质点做功之和等于合力作的功.sfsfaiiiiiiidd讨论讨论2）一般地，功即与质点的初末位置有关，也与）一般地，功即与质点的初末位置有关，也与运动轨迹有关。运动轨迹有关。太原理工大学物理系太原理工大学物理系力在单位时间内做的功，用力在单位时间内做的功，用p 表示表示tapdddtsdfv f功率是反映力做

4、功快慢的物理量。功率越大，做功率是反映力做功快慢的物理量。功率越大，做同样的功花费的时间就越少。同样的功花费的时间就越少。3.3.功率功率4）功是相对量，与参考系的选择有关。）功是相对量，与参考系的选择有关。mmm对对m的支持力作功吗？的支持力作功吗？太原理工大学物理系太原理工大学物理系解：解： 这是变力做功的问题。以物体的起始位置为原这是变力做功的问题。以物体的起始位置为原点，向右为正取坐标如图：点，向右为正取坐标如图： 例例1 1 设作用在质量为设作用在质量为2kg物体上的力物体上的力f= 6tn,其中其中t为为时间时间.如果物体由静止出发沿直线运动，求头如果物体由静止出发沿直线运动，求头

5、2秒内该秒内该力所作的功？力所作的功？0fxppxxxtsfaood6d现需把现需把dx换成换成 t 的函数才能积分。的函数才能积分。tmfa3由牛顿第二定律由牛顿第二定律太原理工大学物理系太原理工大学物理系tdt3dvvv003ttdtd223tv223tdtdxdttdx223tdxa6因为因为两边积分两边积分得到得到由由得得外力在前外力在前2 2秒内作的功秒内作的功t dtt202236j36太原理工大学物理系太原理工大学物理系设质量为设质量为 m 的物体在合外力的作用下沿曲线的物体在合外力的作用下沿曲线 l 从从 ab，设初末速率分别为，设初末速率分别为 v0、v 物体在外力物体在外力

6、 作作用下发生位移用下发生位移 时，合外力所作的元功为：时，合外力所作的元功为： sdf二、二、 质点运动的动能定理质点运动的动能定理在自然坐标系中在自然坐标系中nnttefeffsfdadabsdftenetedssd太原理工大学物理系太原理工大学物理系dsfdatdsdtdmvvddtdsmvvdmdadtdmmafttvnnmaf 元功元功所以物体从所以物体从ab合外力合外力 所作的总功为所作的总功为 ： fvvvv0dmavv2v021m太原理工大学物理系太原理工大学物理系动能定理动能定理: 合外力对质点所作的功等于质点动合外力对质点所作的功等于质点动能的增量能的增量. . 功是一个过

7、程量，而动能是一个状态量功是一个过程量，而动能是一个状态量. .动能动能定理是过程量和状态量增量的关系。定理是过程量和状态量增量的关系。定义动能定义动能2vmek2112kkeea2022121vvmm太原理工大学物理系太原理工大学物理系4 4）质点速度接近光速，则动能定理的叙述不变，）质点速度接近光速，则动能定理的叙述不变，但但动能表达式改变动能表达式改变! !1 1）合力做正功时，质点动能增大；反之，质点）合力做正功时，质点动能增大；反之，质点动能减小。动能减小。2 2）动能的量值与）动能的量值与参考系参考系有关。有关。3 3）动能定理由牛顿第二定理推出，所以只适用于）动能定理由牛顿第二定

8、理推出，所以只适用于质点质点, ,只适用于只适用于惯性系惯性系。讨论讨论太原理工大学物理系太原理工大学物理系例例 质量质量m=1kg的质点，在的质点，在xoy平面内运动，已知运平面内运动，已知运动方程动方程x=5t，y=t2（si），在），在t=1s到到t=2s这段时间这段时间内外力对质点的功是多少。内外力对质点的功是多少。解：解：利用动能定理求解利用动能定理求解5xvty2v2722521v2942522vjma1)(212122vv太原理工大学物理系太原理工大学物理系 多个质点组成的质点系，既要考虑多个质点组成的质点系，既要考虑外力外力，又，又要考虑质点间的相互作用力（要考虑质点间的相互作

9、用力（内力内力）。）。两个质点在外力及内力作用下如图所示：两个质点在外力及内力作用下如图所示：三三 、质点系动能定理、质点系动能定理1f2f12f21fm1m2太原理工大学物理系太原理工大学物理系 对对m1 1运用质点动能定理：运用质点动能定理：对对m2 2运用质点动能定理：运用质点动能定理：111111211ddbabasfsf21012112121vvmm222222122ddbabasfsf22022222121vvmm1f2f12f21fm1m2太原理工大学物理系太原理工大学物理系作为系统考虑时，得到：作为系统考虑时，得到：外力对系统做功之和外力对系统做功之和内力对系统做功之和内力对系

10、统做功之和内力之和一定为零，而内力做功之和不一定为零内力之和一定为零，而内力做功之和不一定为零221122112211122211ddddbabababasfsfsfsf)2121()2121(22022101222211vvvvmmmm22112211ddbabasfsf2211221112ddbabasfsf太原理工大学物理系太原理工大学物理系质点系动能定理：质点系动能定理：所有外力与所有内力对质点所有外力与所有内力对质点系做功之和等于质点系总动能的增量。系做功之和等于质点系总动能的增量。令令内力做功也会改变系统的总动能内力做功也会改变系统的总动能! kkakbeeeaa内外2211221

11、1ddbabasfsfa外2211221112ddbabasfsfa内太原理工大学物理系太原理工大学物理系 本节讨论在由若干个物体组成的系统中本节讨论在由若干个物体组成的系统中, ,由于由于系统中各物体有相互作用而存在的能量系统中各物体有相互作用而存在的能量势能势能. .四、势能四、势能1.1.保守力保守力 功是过程量功是过程量. .一般地，沿不同路径做功的大小一般地，沿不同路径做功的大小是不同的是不同的. .按做功的特点，把力分为保守力和非按做功的特点，把力分为保守力和非保守力保守力. . 我们把做功仅与始末状态有关，而与路径无关我们把做功仅与始末状态有关，而与路径无关的力称为的力称为保守力

12、保守力。太原理工大学物理系太原理工大学物理系blasdf)(12l1labblasdf)(20)()(21albblasdfsdfalbblasdfsdf)()(21保守力的保守力的环流环流为零为零,该结论具有普遍意义该结论具有普遍意义. 保守力的保守力的另一种表述：另一种表述：沿任意闭合的路径移动沿任意闭合的路径移动一周做功为零。一周做功为零。0lsdf太原理工大学物理系太原理工大学物理系2. 几种保守力的功几种保守力的功 1 1）重力所作的功）重力所作的功 取物体与地球组成一取物体与地球组成一个个系统系统，重力是两者之重力是两者之间的内力，物体从间的内力，物体从 a 点点运动到运动到 b

13、点的过程中，点的过程中，计算重力所作的功计算重力所作的功. .yxhbha0abmgsdsdgmda 在元位移在元位移 中，重力中，重力 所做的元功是所做的元功是 gmsd太原理工大学物理系太原理工大学物理系mgmgj ymgabahhd)(abmghmgh kdzjdyidxsd在直角坐标系中在直角坐标系中yxhbha0abmgsdsdgmdamgdy太原理工大学物理系太原理工大学物理系r0r2 2）万有引力的功）万有引力的功 两个物体的质量分别为两个物体的质量分别为m 和和m，它们之间有万有，它们之间有万有引力作用。引力作用。m 静止，以静止，以 m 为原点为原点o 建立坐标系，研建立坐标

14、系，研究究m 相对相对m 的运动。的运动。rdfbabrarommsdsfadd02rrmmgfcos00sdrsdrdrdscos太原理工大学物理系太原理工大学物理系rrmmgd2baaad)()(abrmmgrmmgsdrrmmg02sfaddm 在在m的作用下，从的作用下，从a移动到移动到b，万有引力所做的功，万有引力所做的功barrrrmmgd2太原理工大学物理系太原理工大学物理系3 3） 弹性力的功弹性力的功如图所示的弹簧振子，弹簧原长如图所示的弹簧振子，弹簧原长l0，质点位于，质点位于o点。点。取取o点为坐标原点，水平向右为点为坐标原点，水平向右为x轴。轴。由胡克定律由胡克定律xx

15、boxax0l设设 两点为弹簧伸长后物体的两个位置，两点为弹簧伸长后物体的两个位置， 和和 分别表示物体的位移。分别表示物体的位移。ba、axbxkxf太原理工大学物理系太原理工大学物理系baxfadbaxxxkxd)2121(22abkxkx 共同特征共同特征1 1 做功与相对路径无关，只与始末位置做功与相对路径无关，只与始末位置有关。有关。共同特征共同特征2 2 这些力所做的功都可以表示为某个这些力所做的功都可以表示为某个函数的末态值与初态值之差的负值。函数的末态值与初态值之差的负值。这个函数称为势能函数，简称这个函数称为势能函数，简称势能势能. .重力、万有引力、弹性力都是保守力。重力、

16、万有引力、弹性力都是保守力。 以上讨论的三种情况，都不是单个力的功，而以上讨论的三种情况，都不是单个力的功，而是一对内力的总功。其共同特征有：是一对内力的总功。其共同特征有：太原理工大学物理系太原理工大学物理系重力势能重力势能保守力做功等于势能增量的负值。保守力做功等于势能增量的负值。保守力做功和势能增量的关系保守力做功和势能增量的关系basdf万有引力势能万有引力势能弹性势能弹性势能mghhep)(rmmgrep)(221)(kxxep)(ppabeepe3.3.势能势能太原理工大学物理系太原理工大学物理系1）根据动能定理，保守力做功使动能增加根据动能定理，保守力做功使动能增加.保守保守力做

17、功，将系统的势能力做功，将系统的势能转化转化为等量的动能为等量的动能.讨论讨论2) 势能属于相互作用物体之间，即势能属于相互作用物体之间，即属于相互作属于相互作用的系统用的系统，不为单个物体所具有。，不为单个物体所具有。3）系统内物体之间相互作用的形式不同，势能系统内物体之间相互作用的形式不同，势能表达式不同。表达式不同。4）势能之差等于是绝对量势能之差等于是绝对量basdf)(ppabeebaeepp太原理工大学物理系太原理工大学物理系5）要给出某点的势能值是多少，必须规定要给出某点的势能值是多少，必须规定势能势能零点零点（势能参考点）。（势能参考点）。若选末态若选末态b为势能零点为势能零点

18、,任意点任意点a的势能为的势能为0peapasdfe势能等于从势能等于从a点到势能零点点到势能零点b，保守力所做的功。，保守力所做的功。6）势能零点可以任意选取，习惯的取法是使势能势能零点可以任意选取，习惯的取法是使势能函数的形式最简单。函数的形式最简单。太原理工大学物理系太原理工大学物理系7 7）常见的势能的势能零点常见的势能的势能零点重力（系统）势能：重力（系统）势能：通常选取地面处为重力势能零点通常选取地面处为重力势能零点引力（系统）势能：引力（系统）势能：通常选取无穷远处为万有引力势能零点通常选取无穷远处为万有引力势能零点mghhep)(rmmgrep)(弹性（系统）势能：弹性（系统）

19、势能：通常选取弹簧没有形变处为弹性势能零点通常选取弹簧没有形变处为弹性势能零点221)(kxxep太原理工大学物理系太原理工大学物理系8 8）势能曲线势能曲线o重力势能重力势能)(xepxabo弹性势能弹性势能)(repo引力势能引力势能h)(hepr太原理工大学物理系太原理工大学物理系例例 某弹性力与弹簧伸长量的关系为某弹性力与弹簧伸长量的关系为 )(352sixxf求（求（1）弹簧从）弹簧从x1伸长到伸长到x2时，外力需做的功时，外力需做的功21)35(2xxdxxxfdxa（2）此弹簧力是保守力吗？）此弹簧力是保守力吗？答：答：此弹簧力做功只与弹簧的初末状态有关，该此弹簧力做功只与弹簧的

20、初末状态有关，该弹簧力是保守力。弹簧力是保守力。解：解：21)25(32xxxx )25()25(31213222xxxx太原理工大学物理系太原理工大学物理系五、机械能守恒定律五、机械能守恒定律1.功能原理功能原理 对质点系，由质点系动能定理对质点系，由质点系动能定理内力分为保守内力与非保守内力内力分为保守内力与非保守内力kakbeeaa内外kakbeeaaa内非保内保外由保守力的功和势能增量的关系由保守力的功和势能增量的关系)(ppabeea内保太原理工大学物理系太原理工大学物理系引入机械能引入机械能 pkeee 质点系的功能原理：质点系的功能原理：质点系所受的外力的功与质点系所受的外力的功与非保守内力的功之和等于系统机械能的增量。非保守内力的功之和等于系统机械能的增量。)()(pakapbkbeeeeaa非保内外abeeaa非保内外2.2.机械能守恒定律机械能守恒定律 当当abee 时，时，有