南京工业大学高等数学ch24

1、第四节第四节 隐函数和参数方隐函数和参数方程求导、相关变化率程求导、相关变化率前页后页返回机动第四节第四节 隐函数和参数方程求导、相关变化率隐函数和参数方程求导、相关变化率n一、一、隐函数的导数隐函数的导数n二、由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数 n三、三、相关变化率相关变化率 n四、四、内容小结内容小结返回前页后页返回机动返回31xy若由方程0),(yxf可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导

2、方法求导方法: 0),(yxf0),(ddyxfx两边对 x 求导(含导数 的方程)y前页后页返回机动 ; 0sin )( 1 2dxdyxyeyxyyx确确定定，求求由由方方程程已已知知例例求求导导，求求导导过过程程中中两两边边同同时时对对，的的恒恒等等式式则则有有关关于于若若能能由由分分析析：xxyxfxxyyyxf, 0 )( )( 0),( （抽象式抽象式）视视y y 为中间变量为中间变量。求求导导，等等式式两两边边同同时时对对 x 解：解：# xy y e yyx2cos2 从从上上式式中中解解出出0 2 2）（得得yyxyeyyx cos前页后页返回机动；求求，由由方方程程已已知知

3、例例 sin )( 2 yyxyxyy 求求导导等等式式两两边边同同时时对对 x求求导导式式两两边边再再对对 x )cos(1 )sin( 3yxyxy 由此解得：由此解得：解：解： )1 ()cos(yyxy 解解得得 )cos(1)cos(yxyxy yyxyyxy )cos()1 ()sin(22)cos(1)cos(1)sin()cos(1 yxyxyxyyx 即即前页后页返回机动. sin cos , 3 yyxyx xy求求，满满足足方方程程设设例例等式两边取对数得等式两边取对数得 sinlncosln yxxy# coscoslnsincossinsinlncossin 为所求为

4、所求由式解得：由式解得：yxxyxxyyxyy对数求导法求导：求导：式两边同时对式两边同时对 sincossinln)cossin(cosln yyyxyxxyxyx解：解：前页后页返回机动 试一试：试一试：如何求下面函数的导数？ .43213 dxdyxxxxy ，求求设设练练习习： 41312111)4)(3()2)(1(31 3xxxxxxxxy结结果果：对对数数求求导导法法。方方法法： 返回前页后页返回机动ttaytax，圆圆周周运运动动如如： sin cos 为参数）为参数）（斜抛运动斜抛运动ttgtvytvx 21sin cos 200yx0v0vt（x,y）角速度角速度yx（x,

5、 y）0前页后页返回机动 dtdx dtdy ttdxdyxyytttttytx )(0 且且可可导导，。则则由由参参数数方方程程确确定定的的且且单单调调，均均可可导导，其其中中设设参数方程求导法则：参数方程求导法则：前页后页返回机动 ，单单调调、可可导导，且且由由条条件件 0 t tx ，视视 xtt y1证毕证毕 #证：证： tdxdtx t 1 存存在在且且可可导导，则则反反函函数数1dxdtdtdydxdy 由由复复合合函函数数求求导导法法则则有有 dtdxdtdy tt 1 前页后页返回机动方方法法：参参数数方方程程求求二二阶阶导导数数的的ydxddxyd则则22 记住方法！记住方法

6、！ ,4y y 依依此此类类推推，可可求求得得 x tt t y1 ，关关系系将将一一阶阶导导函函数数视视作作复复合合dxdtdtyd t t t dtd1前页后页返回机动.2232 1 4 dxyddxdyttytx及及，求求设设例例 解：解：tdtdxtdtdy2 , 31 2ttdtdxdtdydxdyy2123 dxdtdtyddxyd22 1dtdxdtyd322413212123tttt前页后页返回机动小小及及方方向向。时时刻刻炮炮弹弹飞飞行行速速度度的的大大为为参参数数）求求已已知知炮炮弹弹的的运运动动方方程程例例t ( 21 sin cos 5 ttgtvytvx 200如如图

7、图所所示示解解： y0 xv0g t vdtdyv vdtdxvyx垂垂直直速速度度水水平平速速度度sincos00大大小小：时时刻刻炮炮弹弹速速度度的的则则 sin cos 202022gtvvvvvtyx#00 cos sin tan vgtvdtdxdtdydxdy 方方向向：vyvxv前页后页返回机动 .点点处处的的切切线线方方程程在在求求曲曲线线例例 0 1 1 6 tt eyttxy 解：解：yyyyteedtdydtdyteedtdy1 解解得得由由隐隐函函数数求求导导法法： 1 1 11xeyxey或或切线方程：切线方程：100 edtdxdtdydxdytt斜斜率率 12)

8、1,0(0 tdtdxt，得切点得切点令令返回前页后页返回机动 )(, )(tyytxx为两可导函数yx ,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率前页后页返回机动例例7 7 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 500h解解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001已知,minm140ddth h = 500

9、m 时,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(前页后页返回机动试求当容器内水rhxhr 有一底半径为 r cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的vhr231)(231xhrxrh)(33322xhhhr两边对 t 求导tvdd22hr2)(xh,ddtx而,)(25222xhrh,2时当hx hxhrr故txdd) scm(25dd3tv) scm(100dd2rtx体积为 v , 则r返回前页后页返回机动四、内容小结四、内容小结返回1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式前页后页返回机动 设设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分别用对数微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxx