第2章平面汇交力系

1、1理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系第第 2 章章 平面汇交力系平面汇交力系2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法2理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系的定义平面汇交力系的定义： 若力系中各力的作用线在同一平面内且相交于若力系中各力的作用线在同一平面内且相交于一点的力系，称为一点的力系，称为平面汇交力系平面汇交力系。 刚体静力学中平面汇交力系可以简化为平面共刚体静力学中平面汇交力系可以简化为平面共点力系。点力系。本章研究的本章研究的两个问题两个

2、问题： 平面汇交力系的平面汇交力系的合成（简合成（简化）化）和平面汇交力系的和平面汇交力系的平衡平衡。几何法和解析法。几何法和解析法。研究方法：研究方法：3理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法1. 合成合成inFFFFFFFFF.21R321R 连续应用连续应用力的三角形法则力的三角形法则，将，将各力依次合成各力依次合成。ABCD称为称为力多边形力多边形。用几何作图求合力的方法，。用几何作图求合力的方法，称为称为几何法几何法。4理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系2. 平衡平衡 平面汇交

3、力系平衡的必要和充分条件是合力为平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零零，即，即:FR=0 ；在几何法中，；在几何法中，合力为零即为力多边形自合力为零即为力多边形自行封闭行封闭。5理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系3. 三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理 若若刚体刚体受受三个力三个力作用而作用而平衡平衡，且其中两个力的，且其中两个力的作用线相交于一点，则其余一个力的作用线必汇交作用线相交于一点，则其余一个力的作用线必汇交于同一点，而且三个力的作用线在同一平面内。于同一点，而且三个力的作用线在同一平面内。6理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系 利用三力

4、平衡汇交定理确定铰利用三力平衡汇交定理确定铰A处约束力的方位。处约束力的方位。例例 题题 2- 17理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系 试指出图示各力之间的关系。试指出图示各力之间的关系。思思 考考 题题 2- 1(a)(d)(c)(b)8理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系例例 题题 2- 2 水平梁水平梁 AB 中点中点 C 作用着力作用着力 ，其大小等于，其大小等于20 kN，方向与梁的轴线成，方向与梁的轴线成 60角，支承情况如图所角，支承情况如图所示。试求固定铰链支座示。试求固定铰链支座 A 和活动铰链支座和活动铰链支座 B 的约的约束力。梁

5、的自重不计。束力。梁的自重不计。 F9理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系 解：解：1. 取梁取梁AB为研究对象。为研究对象。 FA = 17.0 kN ， FB = 10.0 kN2. 根据三力平衡汇交定根据三力平衡汇交定理画出受力图。理画出受力图。3. 选定合适的比例尺作出选定合适的比例尺作出相应的力三角形。相应的力三角形。4. 由力三角形中量出：由力三角形中量出：例例 题题 2- 2 它们的方向如图所示。它们的方向如图所示。可见用几何法可以求解两个未知量。可见用几何法可以求解两个未知量。10理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系2-2 平面汇交力系合

6、成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法1. 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影图图(a)平行光线照射平行光线照射下物体的影子下物体的影子图图(b)力在坐标轴力在坐标轴上的投影上的投影11理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系 由图由图知，若已知力知，若已知力 的的大小为大小为F 及其与及其与x轴、轴、y轴轴的夹角分别为的夹角分别为a a、b b，则，则a ab bsincosFFFy a acosFFx 即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的正向间夹角的余弦。当正向间夹角的余弦。当a a、b b 为锐角时，为锐角时，

7、Fx、Fy 均均为正值；当为正值；当a a、b b 为钝角时，为钝角时，Fx、Fy 为负值。为负值。故力故力在坐标轴上的投影是个代数量。在坐标轴上的投影是个代数量。12理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系 而如将力而如将力 沿正交的沿正交的x、y 坐标轴方向分解坐标轴方向分解，则所得分力则所得分力 、 的的大小与力大小与力 在相应轴上的在相应轴上的投影投影Fx、Fy的绝对值相等。的绝对值相等。但是当但是当Ox、Oy 两轴不正两轴不正交时，则没有这个关系。交时，则没有这个关系。FxFyFF13理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系 注意：注意：力的投影是代数

8、量，而力的分量是矢量；力的投影是代数量，而力的分量是矢量；投影无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。投影无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。22yxFFF 22cosyxxFFF a a22cosyxyFFF b b式中式中cosa a 和和cosb b 称为力称为力 的方向余弦。的方向余弦。F 反之，若已知力反之，若已知力 在两正交坐标轴上的投影为在两正交坐标轴上的投影为Fx、Fy,则力则力 的大小和方向为：的大小和方向为：FF14理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系思思 考考 题题 2- 2 试分析在图示的非直角坐标系中，力试分析在图示的非直角坐标系中，力 沿沿

9、x、y轴方向的分力的大小与力轴方向的分力的大小与力 在在x、y 轴上的投影的大轴上的投影的大小是否相等？小是否相等？FF15理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系2. 合力投影定理合力投影定理 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。影的代数和。nynxyyyFxxxF 21R21R推广之推广之21R21RR21, ,yyFxxFacFbcxabxyxx同理同理16理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系3. 合成合成2R2RRyxFFF xyFFRRtan a ayyxxFFFF RR 应用合力投影定理

10、，用解析计算的方法求合力应用合力投影定理，用解析计算的方法求合力的大小和方向，称为的大小和方向，称为解析法解析法。A17理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系4. 平衡平衡02R2RR yxFFF00RR yyxxFFFF即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在x轴和轴和y轴上的投影之代数和均等于零。轴上的投影之代数和均等于零。 由于提供的由于提供的独立的方程有两个独立的方程有两个，故可以，故可以求解两求解两个未知量个未知量。A18理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系 重物质量重物质量m =10 kg,悬挂在

11、支架铰接点悬挂在支架铰接点 B 处，处，A、C 为固定铰支座，杆为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支件位置如图示，略去支架杆件重量，试求重物架杆件重量，试求重物处于平衡时，处于平衡时， 杆杆AB、BC所受的力。所受的力。例例 题题 2- 319理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系FAB= 88.0 N， FCB= 71.8 N。联立上述两方程，解得：联立上述两方程，解得： 解：取铰解：取铰B为研究对象，其上作用为研究对象，其上作用有三个力：重力有三个力：重力 ；BC 杆杆的约束力的约束力 （设为拉力）设为拉力）及及AB杆的约束力杆的约束力 （设为压力），列出平衡方程设为压力

12、），列出平衡方程CBFABFPmgPFFPFFFFABCByABCBx 054 sin30 sin, 0054 cos30 cos, 0例例 题题 2- 320理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系 由于求出的由于求出的 和和 都是正值，所以原先假设都是正值，所以原先假设的方向是正确的，即的方向是正确的，即 BC 杆承受拉力，杆承受拉力，AB 杆承受压杆承受压力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与原假定的方向相反。原假定的方向相反。ABFCBF例例 题题 2- 321理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系注意

13、：为避免解联立方程，可把一个轴放在与一个注意：为避免解联立方程，可把一个轴放在与一个未知力的作用线相垂直的位置上，这个未知力在轴未知力的作用线相垂直的位置上，这个未知力在轴上的投影为零，于是投影方程中就只有一个未知数，上的投影为零，于是投影方程中就只有一个未知数，不必解联立方程。如在下例中不必解联立方程。如在下例中 图图(b)这样建立坐标系这样建立坐标系FT 和和FN相互耦合相互耦合Fx=0, FTP sin30=0可求得可求得FT 图图(c)图图(a)22理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系思思 考考 题题 2- 3 重量为重量为 P 的钢管的钢管C 搁在斜槽中，如图所示

14、。试搁在斜槽中，如图所示。试问平衡时是否有问平衡时是否有 FA = P cosq q，FB = P cosq q ？为什么？为什么？qcos2PFA答：答：23理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系 如图所示，重物如图所示，重物P=20 kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，上，钢丝绳的另一端水平绕在铰车钢丝绳的另一端水平绕在铰车D上。杆上。杆AB与与BC 铰接，并以铰接，并以铰链铰链A，C与墙连接。如两杆与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略铰链与滑轮的自重不计并忽略铰链中的摩擦和滑轮的大小，试求中的摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆平衡时杆AB 和杆和杆BC

15、 所受的力。所受的力。例例 题题 2- 424理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系 解：取滑轮解：取滑轮B为研究对象，忽为研究对象，忽略滑轮的大小，得一平面汇交力系。略滑轮的大小，得一平面汇交力系。设杆设杆AB受拉，杆受拉，杆BC 受压受压，受力图受力图及坐标如图。及坐标如图。列平衡方程列平衡方程解方程得：解方程得：压杆）压杆）压杆）压杆）(kN 3 .27366. 1(kN 32. 7366. 0 PFPFBCBA显然，显然，F1=F2=P060 cos30 cos, 0060 sin30 sin, 02121 FFFFFFFFBCyBAx例例 题题 2-425理论力学电子教案理论力学电子教案平面汇交力系平面汇交力系 求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：(1) 弄清题意弄清题意，明确已知量和待求量；，明确已知量和待求量；(2) 恰当恰当选取研究对象选取研究对象，明确所研究的物体；，明确所研究的物体；(3) 正确画出研究对象的正确画出研究对象的受力图受力图（主动力，约束力，（主动力，约束力，二力构件等）；二力构件等）；(4) 合理选取坐标系，合理选取坐标系，列平衡方程列平衡方程并求解；并求解；(5) 进行校核，并对结果进行