第1章真空中静电场

1、Electrostatic field1 库仑定律库仑定律2 电场电场 电场强度电场强度3 高斯定理高斯定理4 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势差和电势电势差和电势5 等势面等势面 电势梯度电势梯度NeQ 1 1 库仑定律库仑定律一一. .电荷电荷 电荷量子化电荷量子化 (charge quantization )1906-1917年，密立年，密立根用液滴法首先从根用液滴法首先从实验上证明了，微实验上证明了，微小粒子带电量的变小粒子带电量的变化不连续。化不连续。 两种两种e=1.610-19C在一个和外界没有电荷在一个和外界没有电荷交换的系统内，正负电交换的系统内，正负电荷的代数和在任何

2、物理荷的代数和在任何物理过程中保持不变。过程中保持不变。Qci 电荷守恒定律电荷守恒定律 (law of conservation of charge)二二. .库仑定律库仑定律( Coulomb Law)( Coulomb Law) 17851785年，库仑通过扭称实验得到。年，库仑通过扭称实验得到。 在真空中，在真空中， 两个静止点电两个静止点电荷之间的相互作用力大小，荷之间的相互作用力大小，与它们的电量的乘积成正比与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成，与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着它反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，们的联线，同号电荷相斥，异号电荷

3、相吸。异号电荷相吸。1. 1. 定律内容定律内容221rqqKF rerqqKF2211req1q2rq1q2r2re2 2、静电力矢量表达、静电力矢量表达12211rerqqKF22212rerqqKF3 3、K rerqqF20214令令041 KNmC1085. 822120 真空介电常量真空介电常量 或真空电容率或真空电容率QqriiiiiierqqFF 4 204 4、静电力的叠加原理、静电力的叠加原理离散状态离散状态连续分布连续分布rerQqFF204d d1FF2Fq1q2qFddQrre例、例、电量都相同的三个点电荷电量都相同的三个点电荷 q 放在等边三角形的顶放在等边三角形的

4、顶点上，为不使它们由于斥力作用而散开，可在三角形点上，为不使它们由于斥力作用而散开，可在三角形中心放一符号相反的点电荷中心放一符号相反的点电荷q，试求，试求 q的电荷量的电荷量qq202023346cos42aqqaqqq33LaQq0 0例例、长为长为L均匀带电直线带电荷量为均匀带电直线带电荷量为Q，求它对放，求它对放在距离其端点为在距离其端点为a 处的点电荷处的点电荷q0 0的库仑力。的库仑力。ddQQxL020dd4q QFr020d4QqxLL a x 解：建立如图所示的一维解：建立如图所示的一维坐标，在坐标坐标，在坐标 x 处取一电处取一电荷元荷元对对 q0 0 的库仑力大小为的库仑

5、力大小为各电荷元对各电荷元对 q0 0 的电场力方向一致，可直接相加的电场力方向一致，可直接相加0200dd4LQqxLFFL a x 00114q QL aaLLaOq0 0dFxdxr00114q QFLaaL00004()4()q Qq QLL a aLa aL0204q QFa当当L远小于远小于a时时可见：当带电体的尺度和它到场点的距离相比可见：当带电体的尺度和它到场点的距离相比可以忽略时，该带电体可以看作点电荷。可以忽略时，该带电体可以看作点电荷。LaQq0 0dxxFd最简最简:20020044xdxLQqrdQqdFLaaqQxdxLQqdFFLaa020442 2 (elect

6、ric field)(electric field) 电荷电荷电荷电荷电场电场 对放在其内的任何电荷都有作用力对放在其内的任何电荷都有作用力 电场力对移动的电荷作功电场力对移动的电荷作功 静电场中放入的导体或电介质，会与电场静电场中放入的导体或电介质，会与电场 相互作用，导体会发生静电感应现象，相互作用，导体会发生静电感应现象， 电介质会发生极化现象电介质会发生极化现象电场的基本性质电场的基本性质在电场中引入在电场中引入试验电荷试验电荷q0 0, ,研究其受力规律研究其受力规律 1、 q0不变，逐点试验不变，逐点试验q0 0的受力的受力QPF0q 2、选定场点，改变、选定场点，改变q0 0，试

7、验试验其受力其受力不同场点比值一般不同不同场点比值一般不同实验表明：实验表明：0qF与试验电荷无关与试验电荷无关确定场点比值确定场点比值定义电场强度定义电场强度0qFE zyxErEE, 一般一般 描述一矢量场描述一矢量场 ),(zyxE点电荷的场强公式点电荷的场强公式rerrrerqqerqqqFE200200044qq0 分布特征：球分布特征：球对称；对称； 公式中公式中 q 为代数量，决定为代数量，决定场强指向场强指向re从源电荷指向场点从源电荷指向场点向外辐射；向外辐射；0q向心；向心；0qrerqE2040qFEni1i0i0ni1iiqFqFriiiiiierqEE 420由由 n

8、 个点电荷组成带电体系个点电荷组成带电体系iqirq0rie例、例、求电偶极子连线上一点求电偶极子连线上一点A和中垂线上一点和中垂线上一点B的的场强。场强。解：两个相距为解：两个相距为l的等量异号点电荷的等量异号点电荷+ +q和和- -q组成组成的点电荷系，当场点到两点电荷连线中点的距的点电荷系，当场点到两点电荷连线中点的距离远大于离远大于l时，这一带电系统称为电偶极子。时，这一带电系统称为电偶极子。lqP称为该电偶极子的电偶极矩（电矩）。称为该电偶极子的电偶极矩（电矩）。qqll取取- -q指向指向+ +q的矢径为的矢径为 ，则矢量，则矢量 lrx Al E EAE（1 1）连线上点）连线上

9、点A的场强的场强AEEE2200114422qqiillrr2240241122qrlillrrr 3300121244qlPirr ly Blr E EBE（2 2）中垂线上点）中垂线上点B的场强的场强coscosBEEEi220221422qlillrr 3222044qlilr330044qlPirrrQQerqEE204ddEdQdq带电体带电体分割为无限多个电荷元，每个电荷元都是点电荷分割为无限多个电荷元，每个电荷元都是点电荷P Pr电荷密度电荷密度体密度体密度面密度面密度线密度线密度 几类电荷分布几类电荷分布体电荷体电荷面电荷面电荷线电荷线电荷pa电荷线密度为电荷线密度为 求：到直

10、线距离为求：到直线距离为a a的的P P点的电场强度点的电场强度例例 长为长为l 的的均匀带电直线均匀带电直线yxoxdEydExxdEd21 120 xsinsina4E210ycoscosa4E结果分析结果分析例、例、半径为半径为R的半圆环上均匀地分布电荷，电荷的半圆环上均匀地分布电荷，电荷线密度为线密度为( (0) 0) 在求圆心的电场强度。在求圆心的电场强度。ROROdE）解：取一线元，带电量为解：取一线元，带电量为ddqR在在圆心圆心产生的场强为：产生的场强为：200ddd44RERR 由于对称性，由于对称性，各线元在各线元在O 点产生电场点产生电场的水平分量的水平分量相互抵消，矢量

11、和为零相互抵消，矢量和为零。000sin d42yEERR 竖直分量为：竖直分量为：0ddsin4yER 例例、 均匀带电圆环轴线上的场强（已知：均匀带电圆环轴线上的场强（已知：R,Q ) )Q解：解：在圆环上任取电荷元在圆环上任取电荷元rrqE4dd20 RxyzoxqdrEdxEEx 23220 xRx4xQE结果分析结果分析点电荷点电荷 圆环圆环 圆盘圆盘球面球面 球体球体点电荷点电荷直导线直导线 柱面柱面 柱体柱体 大平板大平板叠加叠加 3Gauss theoremGauss theoremSNEdd 用于形象描述场强分布用于形象描述场强分布一一. .电场线（电力线）电场线（电力线）d

12、S疏密：疏密：方向：方向：曲线上每一点的切向为该点场强方向；曲线上每一点的切向为该点场强方向；在任一场点，取垂直于该点场强在任一场点，取垂直于该点场强方向的面积元，使通过单位面积方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目该点场强的量值。的电力线数目该点场强的量值。E 性质性质 (1)两条电场线不能相交；两条电场线不能相交； (2)电场线源自正电荷电场线源自正电荷(或无穷远处或无穷远处)； 止于负电荷止于负电荷(或无穷远处或无穷远处) 电场线有头有尾，不是闭合曲线。电场线有头有尾，不是闭合曲线。场强为的地方没有电场线场强为的地方没有电场线 几种电荷的几种电荷的 线分布线分布E带正电的带正电的 电偶

13、极子电偶极子均匀带电均匀带电的直线段的直线段点电荷点电荷形象地给出各点场强的方向，各处场强的强弱。形象地给出各点场强的方向，各处场强的强弱。 (electric flux)(electric flux) 定义：定义：通过某面积通过某面积S的电场线条数称为过该面的电通量的电场线条数称为过该面的电通量 = ESSE1、匀强匀强场场过平面过平面S S的电通量的电通量 （S S与与电场线垂直电场线垂直）S S2、匀强匀强场场过平面过平面S S的电通量的电通量 （S S与与电场线不垂直电场线不垂直） = ES = EScos SE neneSSES3、非匀强场过任意曲非匀强场过任意曲面面S的电通量的电通

14、量 S通过整个曲面的电通量通过整个曲面的电通量SSEdSEdd SdE 通过面元通过面元 的电通量的电通量 Sd4、非匀强场、非匀强场通过任通过任意闭合曲面的电通意闭合曲面的电通量量SSEd闭合面的电通量为穿过闭合面的电通量为穿过整个闭合面的电场线的整个闭合面的电场线的净根数净根数。 1 21n 2n 1E2E规定：规定：闭合曲面面元的方闭合曲面面元的方向规定由里向外为正向向规定由里向外为正向0d iiSqSE内内闭合面闭合面高斯面高斯面1.表述表述: 在真空静电场内，电场过任一闭合面的电通量在真空静电场内，电场过任一闭合面的电通量等于这闭合面所包围的电量的代数和除以等于这闭合面所包围的电量的

15、代数和除以01q 1q2q 2qS2 2. . 高斯定律的证明高斯定律的证明: :1 1）. .点电荷点电荷q的电场的电场通过通过q为球心的的球面的电通量为球心的的球面的电通量 等于等于q/ 0SSEd0202041d41qdsrqeSerqnrEnerSdqS因为点电荷电场线是因为点电荷电场线是连续地延伸到无限远连续地延伸到无限远qS2 2）. .点电荷点电荷q的电场的电场通过包围通过包围q任意闭合曲面任意闭合曲面的电通的电通 量等于量等于q/ 03 3）. .点电荷点电荷q的电场的电场通过不包围点电荷通过不包围点电荷q 的任意闭合的任意闭合 曲面的电通量都等于曲面的电通量都等于0 0。 通

16、过闭合曲面通过闭合曲面S的电通量等于的电通量等于0； 而闭合曲面而闭合曲面 S上各点处的场强并不等于上各点处的场强并不等于0， 过各面元的通量也并不为过各面元的通量也并不为0。这也是因为点电荷的这也是因为点电荷的 电场线是连续地电场线是连续地延伸到无限远延伸到无限远qS4 4）. .点电荷系的电场过任意闭合曲面的电通量点电荷系的电场过任意闭合曲面的电通量 SEde002010内iqqqSEESEEdd2121内内外外1q 1q2q 2qS等于这闭合面所包围的电量的代数和除以等于这闭合面所包围的电量的代数和除以01、 由由 的值决定，与的值决定，与 分布无关；分布无关；内内 q内内q 2、高斯面

17、为几何面，、高斯面为几何面， q内内 和和 q外外 容易分清；容易分清；4 4、源于库仑定律、源于库仑定律 高于库仑定律高于库仑定律0diiSqSE内3 3、式中场强表示高斯面上各点的场强，、式中场强表示高斯面上各点的场强， 与与q内内和和q外外都有关系都有关系例例 一点电荷带电量为一点电荷带电量为q，放在边长为，放在边长为l的正方体中的正方体中心，求穿过该正方体一面的电通量。心，求穿过该正方体一面的电通量。解：电荷解：电荷q放在正方体中心，穿过该正方体每个面放在正方体中心，穿过该正方体每个面 的电通量都相等。的电通量都相等。电荷电荷q放在正方体的一个顶点上，穿过该正方体放在正方体的一个顶点上

18、，穿过该正方体上表面的电通量呢？上表面的电通量呢？06qe024qe 3 3、高斯定理的应用、高斯定理的应用 1 1）、高斯定理揭示了静电场为有源场。）、高斯定理揭示了静电场为有源场。0d0 SSEq，内0d0 SSEq，内 N入入 N出出，面内有汇，汇于负电荷，面内有汇，汇于负电荷 常见的电荷分布的对称性：常见的电荷分布的对称性： 球对称球对称 柱对称柱对称 面对称面对称点电荷点电荷球面球面球壳球壳球体球体( (无限长无限长) ) 直线直线 柱面柱面 柱壳柱壳 柱体柱体( (无限大无限大) ) 平面平面 平板平板2 2）、对某些电荷具有对称性分布的带电体）、对某些电荷具有对称性分布的带电体,

19、 ,可用可用 高斯定理求其场强的分布高斯定理求其场强的分布 对称性的分析对称性的分析 取合适的高斯面取合适的高斯面 应用高斯定理应用高斯定理例例 均匀带电球面均匀带电球面的电场强度分布的电场强度分布SSEdSSE dSSE d 24rErRQEPSd 球对称，方向沿径向球对称，方向沿径向 取半径为取半径为r的同心球面为高斯面的同心球面为高斯面(对称面对称面)rSQQ 024内qrEr0内qRrQqRr内0rE 204rQErEr0REr曲线曲线rrS若为均匀带电球体，结果会如何？若为均匀带电球体，结果会如何？练习：若为均匀带电球体，结果会如何？练习：若为均匀带电球体，结果会如何？r0ERRQ,

20、QRrqRr33内QqRr内304RQrEr 204rQEr 024内qrErEr曲线曲线+ +Q- -QR2 2R1 1例例 两同心均匀带电球壳，内球球壳半径两同心均匀带电球壳，内球球壳半径R1 1 、带、带电量电量+ +Q，外球球壳半径，外球球壳半径R2 2 、带电量、带电量-Q ，不计球，不计球壳厚度，试求电场强度的分布。壳厚度，试求电场强度的分布。+ +Q- -QR2 2R1 1解：选择如图所示的高斯面解：选择如图所示的高斯面（电场球对称）（电场球对称）2120,4QRrR Er220(),4QQrR Er ,0rR E2014QEr0E例例 一内、外半径分别为一内、外半径分别为R1

21、1和和R2 2的球壳上均匀分布的球壳上均匀分布电荷，密度为电荷，密度为 ，试分析电场强度分布。，试分析电场强度分布。 R1R2O解：由于电场呈球对称，选解：由于电场呈球对称，选择半径为择半径为r的球面为高斯面。的球面为高斯面。SOR2R1331214 () 3RrRqrR 内，3120()3rRErer332214 () 3rRqRR内，1 0 0rRqE内，331120()3rERRer1.1.E的分布的分布E0rR2R12204Rq 131122033112200()3()3rrrRREreRrRrRR erRr，其中，其中，其中2.2.特殊情况：特殊情况：E0rR2203R令令R1 1=

22、0=0，得均匀带电球体的电场分布：，得均匀带电球体的电场分布：0322033rrreER er，球内，球外 （球球面面外外），（球球面面内内） , 2040reqEr 在在r=R处处E不连续，不连续，是因为忽略了电荷分布层的是因为忽略了电荷分布层的厚度所致。厚度所致。E0rR204Rq 令令R1 1= =R2 2= =R，得均匀带电球面的电场分布，得均匀带电球面的电场分布例例 一半径为一半径为R的球体内分布电荷，密度随半的球体内分布电荷，密度随半径的关系为径的关系为 ，试分析电场强度分布。，试分析电场强度分布。Ar解：由于电场呈球对称，选择半解：由于电场呈球对称，选择半径为径为r的球面为高斯面

23、。的球面为高斯面。204qEr内204ArE240 4rrRqr drAr 内时，240 4RrRqr drAR 内时，4204ARErSOR 对称性的分析：柱对称对称性的分析：柱对称 高斯面：以直线为轴半径为高斯面：以直线为轴半径为r r高为高为h h的的 圆柱面圆柱面+ +上下底面上下底面应用高斯定理求场强应用高斯定理求场强SSEd两底面侧面SESEdd rhESEr2d侧面0h rEr02sdE0例例 线电荷密度为线电荷密度为 的的无限长均匀带电长直导线周围空间无限长均匀带电长直导线周围空间的电场。的电场。 r rhESEr2d侧面0h练习：若为无限长均匀带电柱面或柱体，练习：若为无限长

24、均匀带电柱面或柱体， 结果会如何？结果会如何？E例例 面密度为面密度为均匀带电的无限大平面的场强分布均匀带电的无限大平面的场强分布 对称性的分析（面对称）对称性的分析（面对称） 高斯面：对称面高斯面：对称面+ +侧面侧面SSEd侧面两底面SdESdE底ES2应用高斯定理求场强应用高斯定理求场强0S底02E匀强场匀强场0EE底ES20S底例例 试求真空中两块带等量异号电荷的无限大平行试求真空中两块带等量异号电荷的无限大平行板板( (电容器）间的电容器）间的相互作用力。相互作用力。202SFQ E解：负极板处于正极板产生电场解：负极板处于正极板产生电场中，受力为中，受力为RQEPrSE02E 02

25、内qrhEr 024内qrEr4这一节研究静电场中静电场力做功的性质。这一节研究静电场中静电场力做功的性质。一、一、静电场力的功静电场力的功点电荷的静电场中，电场力作功点电荷的静电场中，电场力作功：EFrr 2r1rld0qq12 210012114rrqqA 做功与起点、终点的位置有关，与移动做功与起点、终点的位置有关，与移动路径无关，说明点电荷的静电场是保守力场。路径无关，说明点电荷的静电场是保守力场。任意点电荷系或连续带电体都可以看成由点电任意点电荷系或连续带电体都可以看成由点电 荷组成的系统荷组成的系统,于是它们的静电场也是保守力场。于是它们的静电场也是保守力场。rd 0lEd说明说明

26、2、高斯定律是静电场的第一个重要规律，、高斯定律是静电场的第一个重要规律， 揭示了静电场是揭示了静电场是有源场有源场 环路定理是静电场的第二个重要规律。环路定理是静电场的第二个重要规律。 揭示了静电场是（揭示了静电场是（保守场）无旋场保守场）无旋场 1、此式左端的积分称为静电场的此式左端的积分称为静电场的环流环流， 它是场强沿闭合路径的线积分它是场强沿闭合路径的线积分静电场的环路定理静电场的环路定理二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理3、利用环路定理（静电场的保守性）使我们、利用环路定理（静电场的保守性）使我们 可以引入另一个描述静电场性质的物理量可以引入另一个描述静电场性质的物理量-电势

27、电势 babalEqWWd0ab0qQ两点电势能差两点电势能差三、电势能差三、电势能差 电势能电势能(W:表示表示q0在在Q场中某处的电势能场中某处的电势能) 静电场中某点电势能静电场中某点电势能 00daalEqW(0):表示电势能零参考点表示电势能零参考点,积分与路径无关积分与路径无关)Electric potentialbabaldEUUba0baldEqWW(0)aaldEU(0)a0aldEqW电势能差和电势能电势能差和电势能（取决于场以及放（取决于场以及放 入场中的电荷）入场中的电荷）（仅取决于场本身所以常（仅取决于场本身所以常 也用电势描述场的性质）也用电势描述场的性质）电电 势

28、势)0(daalEU电势是从电场力作功的角度来描述电场的物理量。电势是从电场力作功的角度来描述电场的物理量。电场强度是从电场力的角度来描述电场的物理量。电场强度是从电场力的角度来描述电场的物理量。理论计算理论计算: 对有限带电体选无限远为参考点；对有限带电体选无限远为参考点；实际应用实际应用：取大地、仪器外壳等。：取大地、仪器外壳等。电势电势(能能)零点的选择：零点的选择：场强与电势之间不是点点对应关系：场强与电势之间不是点点对应关系：场强大的地方，电势不一定高；场强大的地方，电势不一定高；电势高的地方，场强也不一定大；电势高的地方，场强也不一定大；场强为场强为0 0 的地方，电势不一定为的地

29、方，电势不一定为0 0 ；电势为电势为0 0 的地方，场强也不一定为的地方，场强也不一定为0 0 ；场强相等的地方，电势不一定相等；场强相等的地方，电势不一定相等；电势相等的地方，场强不一定相等。电势相等的地方，场强不一定相等。例例求点电荷场的电势公式求点电荷场的电势公式（中心对称；（中心对称；是标量）是标量）prlE dp0r4qrqU04 PrpE PPlEUdqpr20rr4qd（场强沿径向，因为电场是（场强沿径向，因为电场是 保守场，保守场，P点到点到 点的路点的路 径可以任选，选径向路径）径可以任选，选径向路径） 叠加法叠加法 定义法定义法)0(daalEU适用于求场强分布容易求的电

30、场的电势适用于求场强分布容易求的电场的电势（点电荷场、对称场的电势）（点电荷场、对称场的电势）ii0iiir4qUU(Q)0(Q)r4dqdUUiqirP PQrdqP P例例 试由均匀带电圆环轴线上任一点的电势试由均匀带电圆环轴线上任一点的电势 （已知（已知Q、R、x）解解：由电势叠加有由电势叠加有22000444)(RxQrQrdQxUQRxOP叠加法举例叠加法举例-非对称场非对称场例例均匀带电圆面上电荷分布面密度为均匀带电圆面上电荷分布面密度为 ，半径，半径分别为分别为R ，如图所示。，如图所示。求：求：轴线上与圆心相距轴线上与圆心相距x处的电势。处的电势。x PR xOx PR xOr

31、dr解：取环元，电量为：解：取环元，电量为：2dqrdr 22220042dqrdrdUrxrx在在P点的电势为：点的电势为：22002RprdrUdUrx220()2Rxx 例例 求电量为求电量为 的带电球面在球心的电势的带电球面在球心的电势QRqU04dd QdUURQ04 RQo解解：qd 在球心的电势为在球心的电势为qd例例计算均匀带电球面的电势分布计算均匀带电球面的电势分布 PlEUdrrQlRRrd4d020 RQo解：由高斯定理均匀带电球面电场的分布为解：由高斯定理均匀带电球面电场的分布为rrQERrERr4020 Rr RrPR4QU0球面内任一点电势相等，等于球面的电势球面内

32、任一点电势相等，等于球面的电势(球面外场点电势分布与球面外场点电势分布与 点电荷点电荷的电势分布相同的电势分布相同)Ur0R分布曲线分布曲线例例 两同心球面半径分别为两同心球面半径分别为R1 1、R2 2( (R2 2 R1 1),),内、外内、外球面分别带电球面分别带电+ +Q、- -Q，试求空间的电势分布。，试求空间的电势分布。R1 1R2 2解：该导体球壳的电场分布为解：该导体球壳的电场分布为1122020,1,40,rRQERrRrrR2,0rrR UE dl22120211,()4RrrRQRrR UE dlE drE drrR1212101211,()4RRrrRRQrR UE d

33、lE drE drE drRRR1 1R2 2例例一对无限长共轴直圆筒一对无限长共轴直圆筒( (圆柱面圆柱面) )，半径分别为，半径分别为R1 1、R2 2( (R2 2 R1 1),),内筒带正电，外筒带负电，线密内筒带正电，外筒带负电，线密度沿轴线方向分别为度沿轴线方向分别为+、-，试求下列情况下，试求下列情况下的电势分布及两筒的电势差：的电势分布及两筒的电势差：(1)(1)设外柱面设外柱面R2 2处为处为电势零参考点。电势零参考点。(2)(2)设共轴圆筒的轴线设共轴圆筒的轴线( (r =0)=0)处为处为电势零参考点。电势零参考点。R1R2R1R2L2110RlrUE dlEdr202E r12RrR时：时：212001ln22RRRUdrrR10E 2rR时：时：30E 1rR时：时：22200ln22RrRUdrrr121233201ln2RRlrRRUE dlEdrE drRR1R2L0110lrUE d