弯曲内力--机械)

1、51 弯曲的概念及实例弯曲的概念及实例52 梁的支座和荷载的简化梁的支座和荷载的简化53 剪力和弯矩剪力和弯矩54 剪力方程与弯矩方程，剪力图和弯矩图剪力方程与弯矩方程，剪力图和弯矩图55 荷载集度、剪力和弯矩间的关系荷载集度、剪力和弯矩间的关系56 刚架和曲杆的弯曲内力（刚架和曲杆的弯曲内力（*） 51 弯曲的概念及实例弯曲的概念及实例一、弯曲的概念一、弯曲的概念1. 弯曲弯曲: : 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2. 梁：梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。 集中力集中力P3. 3. 工程实例工程实例纵向对称面纵向对称面MP1P2q梁的实体图

2、梁的实体图动画动画链接链接墙梁楼板ql对称弯曲也称为 平面弯曲。纵向对称面纵向对称面MP1P2q 对称弯曲对称弯曲 工程实际中常用的梁的横截面至少有一条对称轴，这工程实际中常用的梁的横截面至少有一条对称轴，这 些对称轴构成对称面。些对称轴构成对称面。 所有外力所有外力都作用在梁的都作用在梁的对称面内对称面内时，梁弯曲变形后的时，梁弯曲变形后的轴轴线线将是位于这个将是位于这个对称面内对称面内的一条曲线，这种弯曲形式称的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲。为对称弯曲。非对称弯曲 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。 下面几章中，将以对

3、称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。 二二. 梁的计算简图梁的计算简图1. 构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。2. 载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。均匀分布荷载线性(非均匀)分布荷载Me集中力集中力偶固定铰支座如：桥梁下的固定支座。3. 支座简化支座简化可动铰支座如：桥梁下的辊轴支座。固定端如：跳水板的支座，电线杆下端的支座等。XAYAMA三三. 梁的分类梁的分类按支座情况分按支座情况分简支梁 集中力集中力Pq(x) 分布力分布力悬臂梁外伸梁 集中力集中力Pq 均布力均布力梁按支承反力的求解方法分： 集中力集中

4、力P超静定梁静定梁52 弯曲内力弯曲内力 剪力和弯矩剪力和弯矩 一、受弯构件横截面上的内力一、受弯构件横截面上的内力图示梁，求截面图示梁，求截面n-n上的内力上的内力1.首先确定支反力首先确定支反力RA、RB、XA（ XA =0）2.然后使用截面法然后使用截面法，假想在，假想在n-n处切处切开，并取脱离体。开，并取脱离体。判断判断n-n截面上有哪些内力分量？截面上有哪些内力分量？?弯矩：M 剪力：Q剪力Q: 使研究对象有顺时针方向转动趋势的剪力为正；反之为 负。弯矩M：使梁变成下凸上凹形的弯矩为正；使梁变成上凸下凹 的弯矩为负。Q(+)Q()Q()Q(+)M(+)M(+)M()M()二、剪力和

5、弯矩的正负号规定二、剪力和弯矩的正负号规定已知：如图，P，a，l。 求：距A端x处截面上内力。PaPlRAXARBAABB求外力lalPRFlPaRmXFAYBAAX)( , 0 , 00 , 0ABPRAXARBmmx求内力截面法xRMmlalPRQFACAY , 0)( , 0ARAQMRBPMQCC 例例：求图（a）所示梁1-1、22、3-3截面处的内力。xyqLQQqLFY11 0 0解：解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。图（a）0 0 0)(1111qLxMMqLxFmiAqqLab1133qLQ1AM1图（b）x1qL22qL Q2 MqLaFmiB0,

6、0)(22-2截面处截取的分离体如图（c） QqLFY0 02qLaM2图（a）qLQ2BM2a图（c）3-3截面处截取的分离体如图（d）qLQ3BaM3图（d）qL03 Q23MqLaMqab113322qLqL结论：紧邻集中力作用的左、右截 面上，剪力发生突变，变化 值为集中力的大小；弯矩值 不发生变化。 剪力方程和弯矩方程：剪力和弯矩与截面位置坐标x间的函数 关系式。2. 剪力图和弯矩图：)(xQQ 剪力方程)(xMM 弯矩方程)(xQQ 剪力图的图线表示)(xMM 弯矩图的图线表示53 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图建立坐标系建立坐标系. .剪力图纵

7、坐标以向上为正；弯矩图纵坐标以剪力图纵坐标以向上为正；弯矩图纵坐标以向上为正向上为正.3、作内力图步骤、作内力图步骤求支反力：求支反力：列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程a、取其中的一段梁在任意位置以假想截面截开、取其中的一段梁在任意位置以假想截面截开c、应用静力平衡方程得到剪力、应用静力平衡方程得到剪力Q（x）和弯矩）和弯矩M（x）的表达式）的表达式b、取以左（或以右）为研究对象，在截面加上所求的剪力、取以左（或以右）为研究对象，在截面加上所求的剪力Q（x）和弯矩）和弯矩M（x）（方向假定为正方向方向假定为正方向）由剪力由剪力Q（x x）和弯矩）和弯矩M（x）的表达式按比例作图。）的表

8、达式按比例作图。 8/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：任选一截面任选一截面x x ，写出，写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x lxqxxQ0 lxqxxM02/2依方程画出剪力依方程画出剪力图图和弯矩和弯矩图图QxMxql2/2qll由剪力由剪力图、弯矩图可见。最图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为大剪力和弯矩分别为qlQmax2/2maxqlM4例例qx xM xQ例例 求图示梁的剪力图和弯矩图（梁的长度为求图示梁的剪力图和弯矩图（梁的长度为l)。0AM0BMRPblRPalA

9、B,PABabxARBRC求支反力：求支反力：找控制面分段找控制面分段分段列剪力和弯矩方程：分段列剪力和弯矩方程：BlxBR( )Q x( )M xQ xRPalB( ) ()axlM xRlxPallxB( )()()AxAR( )Q x( )M xQ xRPblA( ) (0)xaM xRxPblxA( ) AC左CB右(0)xa()axl由剪力由剪力Q（x）和弯矩）和弯矩M（x）的表达式按比例作图）的表达式按比例作图。PblPalQxPABabxARBRCPablMx从图中不难看出：从图中不难看出：在集中力在集中力P作用处，作用处，Q图有突变，图有突变，且突变值等于且突变值等于P，M图有

10、尖角图有尖角Q xRPalB( ) ()axlQ xRPblA( ) (0)xa(0)xaM xRxPblxA( ) M xRlxPallxB( )()()()axl BAl图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMRAM / l RB -M / l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2lMa/x1AC axlMxQ110/ axlMxxM1110/CBbxlMxQ220/bxlMxxM2220/3. 3. 依方程画出依方程画出剪力

11、图和弯矩图。剪力图和弯矩图。lM /lMb/CMab例：例：在集中力偶矩作用处，紧邻其左、在集中力偶矩作用处，紧邻其左、右两侧截面的剪力相同，而弯矩发右两侧截面的剪力相同，而弯矩发生突变，其突变值等于该力偶矩之生突变，其突变值等于该力偶矩之值。值。Q Q图图M图图例例 求图示梁的剪力图和弯矩图。求图示梁的剪力图和弯矩图。求支反力：求支反力：22 24AqaqaRa 54BAqaRqaR求剪力和弯矩方程：求剪力和弯矩方程：1( )4Q xqa 1( ),(02 )4M xqaxxa ( )(3)Q xqax21( )(3) ,(23 )2M xqaxaxa AB2aaARBRCqxBRAB2aa

12、ARCqxAB段段BC段段画剪力图和弯矩图：画剪力图和弯矩图：Pa4Pa剪力图：弯矩图：22qaBRAB2aaARCqx1( )4Q xqa 1( ),(02 )4M xqaxxa ( )(3)Q xqax21( )(3) ,(23 )2M xqaxaxa AB段段BC段段一、载荷集度、剪力、弯矩间的微分关系一、载荷集度、剪力、弯矩间的微分关系对dx 段进行平衡分析，有：0)(d)(d)()(0 xQxQxxqxQFY)x(Qx)x( qdd dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy xqxxQddq(x)以向上为正5-5 5-5 载荷集度、剪

13、力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy0)(d)()()(d(21)d(, 0)(2xMxMxMxxqxxQFmiA)(d)(dxQxxM略去二阶微量)()()(d)(d 22xqxdxdQxxM)(d)(dxQxxM荷载集度与剪力、弯矩的关系是：荷载集度与剪力、弯矩的关系是：)()()(22xqdxxdQdxxMd xqxxQddd( )d( )Q xxq xd( )d( )M xxQ xd( )dd( )d( )22M xxQ xxq x左式说明：剪力图在一处的斜率等于该处的分左式说明：剪力图在一处的斜率等于

14、该处的分 布力的数值布力的数值表示M图上某处的斜率等于该截面处剪力Q之值 。表示M图上某处的斜率的变化率等于该处载荷集度q之值。根据载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系，可判断图形的性质：根据载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系，可判断图形的性质：)()(22xqdxxMdq q0 0，Q Q= =常数，常数， 剪力图为直线；剪力图为直线；M M(x) (x) 为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，Q Q( (x x) ) 为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线； M M(x) (x) 为为 x x 的二次函数，弯矩

15、图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形； 分布载荷向下（分布载荷向下（q q 0 0q0QQ0 x斜直线增函数xQxQ降函数xQCQ1Q2Q1Q2=P自左向右突变xQC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM凹状xM凸状自左向右折角 自左向右突变与m反xM折向与P同向MxM1M2mMM21总结：剪力、弯矩图的特征总结：剪力、弯矩图的特征简易作图法简易作图法: : 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。 例例44 用简易作图法画下图所示梁的内力图。解: 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。特殊

16、点特殊点: :端点、分区点（外力变化点）和驻点等。aaqaqA2230qaM;Q0 ; MqaQ2 ;qaMqaQ223; 0qaMQaaqaqA左端点：左端点：线形：线形：根据)(d)(dxQxxM)(d)(d22xqxxM； xqxxQdd；及集中载荷点的规律确定。分区点分区点A：M 的驻点的驻点：右端点：右端点：Qx223qaqa2qaxM按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图一、叠加原理一、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。)()()()(221121nnnPQPQPQPPPQ )()()()(221121nnnPMPMPMPP

17、PM 适用条件适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 叠加方法叠加方法步骤：步骤： 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。 例例 按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。qqPP=+AAABBBxM2xM1xM 2Pa+22qa222qaPa=+ 三、对称性与反对称性的应用：三、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，图反对称

18、，M图对称；对图对称；对称结构在反对称载荷作用下，称结构在反对称载荷作用下，Q图对称，图对称，M图反对称。图反对称。例例 作下列图示梁的内力图。PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0QxQ1xQ2x0.5P0.5P0.5P+PPPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0MxM1xM2x0.5PLPL0.5PL+0.5PL+例例 改内力图之错。a2aaqqa2ABQxxM+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/447;4qaRqaRBA例例 已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。Q(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+M(kNm)x+111.2556 刚架和曲杆的内力图刚架和曲杆的内力图一、平面刚架一、平面刚架1. 平面刚架：平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相 互刚性连接而组成的结构。 特点：特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N。2. 内力图规定：内力图规定： 弯矩图：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。例例 试作图示刚架的内力图。