线性代数：第一章 行列式

1、1 11 1122111221221112212221 12222112221 1212212211 21221121121121121112211122122122 ()0 , 1.1 a xa xba aa axbaa ba xa xba aa abaa ba bbaxaaxa aa aa aa aaa aa例： 设有二元一次线性方程组 ， 当时，设记号：二、三阶行列式22111122122112112212111 2222221baa aaba bbababaa bab则： 211 1122121 1222212212211 2121121122122111221221121122211

2、211121112212221221122, , a xa xba xa xbbaa ba bbaxxa aa aa aa aaaaaxxaaaaaaaabbbb这时，方程组的解为用行列式表示：312121223132013021 ( 2)0 322,232 ( 2)3 313133221302 03 1323131332xxxxxx 例：解方程组的解解：利用行列式表示411 1122133121 122223311223312233113213211233212213313223231 13223333121322233233111112132131220 a a aa aa xa xa x

3、baaa a aa a aa a aa a abbxa xa xba xa xa xbaaaaaaaaaaabx设有三元一次线性方程组 当时，方三阶行列式程组有惟一解：11131112212321223133313211121311121322321222321222331323331323112233132333233, , aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabbbbbbxxaaaa511233212112233122331132132 11121321222213313223133132331112132122233 132333 a a aa a aaaaaaa

4、aaaaaaaaaa aa a aa a aaaaaa aa阶行列式 用对角线规则计算：6789101112 (1) (2) (3) AmnAijijAik kiAjkijkikkkijiiiijjjcrrrrrcccci矩阵的是矩阵交换 的第 行和第 行： 第 列和第 列：的初等变换第 行乘于： 第 列 ：的第 行 非零乘于数 加到第 行：第 列乘于数 加到第 列：数131415161718192012131213111 (1)(1) (1)(1)000 (1)()0300nnccccccrrrrrrnab bbba bbnDbb baanbb bbanba bbDanbb baanbbbb

5、abanbabab计算阶行列式 例 . 解42112312341234123412341111122 0 2233331111111112201111)(2)(3)0223002133300031, 2, 3 0 xxxxxxxxxxxxxxxxaaaaxaaaxaaaxaaaxaaa 例例 解解方方程程： ： （ （解解为为 用用观观察察法法，解解法法1 1解解当当 取 取1 ，1 ，2 ，2 ，3 时3 时，行行列列式式法法2 : 2 : 例例的的值值为为零零 解 解方方程程 222324而而所以有 D =25262728214151 2312311251348046. 201120111

6、53316027846162 ( 1)1212111627205162 402051010rrrrD 例29111112222212311131112321121111 ()1 1. . 221 . nnnnijj i nnnnnnra rrnraaaaakknaaaaaaaknaaaaaaaDD 证证明明范范德德蒙蒙行行列列式式1 1用用归归纳纳法法： 当当时时，结结论论成成立立假假设设 时 时，结结论论成成立立 例例 3 . 当 3 . 当 时 时221 12131122221 231 3112121221 231 310001111 nnra rnnnnnnnnnnaaaaaaaa aa

7、a aaa aaa aaa aaa a 302321311222232131121111()()()()()() ()()nnnnnnniijj i njj i naaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 由归纳假设：311111213441916812764D ：例)34)(14)(13)(24)(23)(21 (121248111111112134121392741916141664812764HD 转置3233332222(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)12341111aaaaaaaaDaaaa：例222223333111112341(1)(2)(3)(4)(1)(

8、2)(3)(4)aaaaDaaaaaaaa 解：（）3314232222333311114321(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)ccccaaaaaaaaaaaa3! 2!1!123412211111111112212222222212211221111111111211,2,110nnnnnnnnnnnnninnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnninaababa bbaababa bbaababa bbaabababba aaa 计 计算算行行列列式式，其其中中 ， ， 解解原原式式例例211111111121222222222111111111111nnnnnnnnnnnnnnbbbbaaaabbbbaaaabbbbaaaa 352131415111211322114116111111111111111111