大学物理：机械振动3-2

1、1第七章 机械振动 以振动平衡位置为坐标原点，振动方向为纵轴，以振动平衡位置为坐标原点，振动方向为纵轴，t为为横轴的横轴的 x t 关系曲线。关系曲线。2cosxAtT3. 振动曲线振动曲线oxtTAx0旋转矢量旋转矢量振动方程振动方程振动曲线振动曲线2第七章 机械振动o()x cm( )t s13323解解例例已知振动曲线，求振动方程。已知振动曲线，求振动方程。x12 3Acm2Ts12sT13cos()2xt223cos()xt由振动曲线由振动曲线1，12t0时，时，x00，0 0由振动曲线由振动曲线2，t0时，时，x03，0 03第七章 机械振动相位差相位差利用相位差可比较两个振动的步调

2、是否一致利用相位差可比较两个振动的步调是否一致111cos()xAt222cos()xAt同方向、同频率振动同方向、同频率振动21()()tt21（初相差）（初相差）1. 超前和落后超前和落后 t xOA1-A1A2- A2x1x2若若 = 2- 1 0 , 则则 x2 比比 x1 早早 达到正最达到正最大大 , 称称 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后 )。4第七章 机械振动2k两振动步调相同两振动步调相同(21)kxtoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相2. 同相和反相同相和反相两振动步调相反两振动步调相反5第

3、七章 机械振动A比较谐振动的比较谐振动的x、v、a 的相位的相位cos()xAtsin()At 2cos()aAt cos2At2cosAtToxtaA22 令 可见，速度可见，速度v比位移比位移 x 相位超前相位超前/2；加速度；加速度 a 比速度比速度v 相位超前相位超前/2；加速度加速度 a 与位移与位移 x 反相。反相。6第七章 机械振动物体做一次全振动物体做一次全振动旋转矢量转一圈旋转矢量转一圈一个完整的余弦曲线一个完整的余弦曲线cos()xAt(1)振动系统振动系统初始条件初始条件A、 、振动方程振动方程画旋转矢量图画旋转矢量图振动曲线振动曲线(2)7第七章 机械振动四、四、 几种

4、常见的谐振动几种常见的谐振动1. 单摆单摆o由转动定理由转动定理MJmg222sindmglmldt当当 50时，时，sinsin220dgdtl（简谐振动）（简谐振动）gl22lTgcos()At角位移角位移角振幅角振幅8第七章 机械振动例例 用手拉摆球，单摆从平衡位置偏一小角用手拉摆球，单摆从平衡位置偏一小角0，无初速度释，无初速度释放，偏角大小不同，（放，偏角大小不同，（1）周期相同吗？（）周期相同吗？（2）振幅）振幅A相同相同吗？（吗？（3） 0是不是初相？是不是初相？o0解解单摆的振动方程：单摆的振动方程：cos()At2lTg由系统决定由系统决定A和和由初始条件决定由初始条件决定0

5、cos( )A0sin( )A 0A（振幅）（振幅）初相：初相：09第七章 机械振动2. 复摆复摆设刚体对轴的转动惯量为设刚体对轴的转动惯量为J J. . MJ5,sin时22g0m hdJdtJhmghmJTg2（物理摆）（物理摆）由转动定理由转动定理 g sinm hJ（简谐振动）（简谐振动）令令 2Jmh可得可得 gh可见，单摆是复摆的特例可见，单摆是复摆的特例 10第七章 机械振动五、五、 谐振动的能量谐振动的能量（以弹簧振子为例）（以弹簧振子为例） 1. 1. 动能动能221vmEk)(sin2122tkA2 41d1kAtETETttkk2. 2. 势能势能221kxEp)(cos

6、2122tkA3. 3. 机械能机械能221kAEEEpk（简谐振动系统机械能守恒）（简谐振动系统机械能守恒）cosxAtsinAt2max21kAEk0minkEPEEkEPExO212pEkx 结论结论1：系统的动能、势能都随系统的动能、势能都随t作周期作周期性变化，但系统总能量不变，且与振幅平性变化，但系统总能量不变，且与振幅平方成正比。方成正比。 结论结论2：系统作一次全振动，能系统作一次全振动，能量转换量转换2次。即能量转化的周期次。即能量转化的周期 振动的周期的一半振动的周期的一半11第七章 机械振动例例 质量为质量为m的平底船，底面积为的平底船，底面积为S，吃水深度为，吃水深度为

7、h，不计水的，不计水的阻力，求：船在竖直方向的振动周期阻力，求：船在竖直方向的振动周期T。（水的密度为。（水的密度为）水面解解取水平面为坐标原点，取水平面为坐标原点，船上任意一点都可代表船的位船上任意一点都可代表船的位置，取平衡时同水线上一点置，取平衡时同水线上一点PPoyh 建立动力学方程：建立动力学方程：ymg()hy Sg22d ymdtmghSgySg22d ymdt220d ySgymdt2Sgm2mTSg2hg（谐振动）（谐振动）12第七章 机械振动例例如图所示，一直角均质细杆，水平如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长为部分杆长为 l ，质量为，质量为 m ，竖直部，竖直部分杆长

8、为分杆长为 2l ，质量为，质量为 2m ，细杆可，细杆可绕直角顶点处的固定轴绕直角顶点处的固定轴 O 无摩擦无摩擦地转动，水平杆的末端与劲度系数地转动，水平杆的末端与劲度系数为为 k 的弹簧相连，平衡时水平杆处的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。于水平位置。求求 杆作微小摆动时的周期。杆作微小摆动时的周期。解解2g0lmlkxgcos2g sin2lMmm l2(2 g)Mm lkl 0() cosk xx lcos1sinxl13第七章 机械振动222d(2g)dJm lklt 22232)2(3131mllmmlJ）（22d2g0d3mkltmlmlklm3g2klmmlTg232) cos(0t2(2 g)Mm lkl 14第七章 机械振动能量的方法能量的方法 (t 时刻系统的能量时刻系统