自考线性代数(经管类)PPT第16讲- 实对称矩阵的相似标准形

1、25.4 实对称矩阵的相似实对称矩阵的相似性质性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。 性质性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向 量必定正交。对一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。性质性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。推论：推论：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：3的特征向量。的属于特征值征向量，求的特的属于特征值是），（个特征值，的是三阶实对称方阵，例：设1101131111AAAT,1TzyxA）（的特征向量为的属于特征值设正交，与10yx0,1）（解解:

2、T），（0112, 0, 1zy取三元方程, 1, 0zy取T），（1003.13322的全部特征向量的属于特征值即为Akk.),(32不全为零kk4定理定理1：实对称矩阵实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。一定与对角矩阵相似。为对角阵。，使求正交阵为对角阵。，使求可逆阵，：设例AQQQAPPPA11)2() 1 (2424222211242422221EA2)2)(7(定理定理2：实对称矩阵实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似。一定与对角矩阵正交相似。. 2, 7321三、实对称矩阵的相似对角化：三、实对称矩阵的相似对角化：5242422221A, 715424522287EA000110542.

3、)221 (1T，特征向量为)7(OXEA解18180990542000110102323121xxxx, 2, 7:321特征值64424422212EA, 232对00000022132122xxxTT) 1 , 0 , 2(,)0 , 1 , 2(:32基础解系；的线性无关的特征向量为属于特征值2,32)2(OXEA解242422221A, 2, 7:321特征值7TT) 1 , 0 , 2(,)0 , 1 , 2(:232的特征向量.)221 (711T，的特征向量为102012221321P令2271APP242422221A, 2, 7:321特征值8单位化，得：，将T)221 (

4、1正交化，得：将TT) 1 , 0 , 2(,)0 , 1 , 2(32再单位化，得：再单位化，得：，T)0 ,51,52(2TT)5 , 4 , 2(51)0 , 1 , 2(222233322），（），（，.3232311T），（T)535,534,532(3,321Q令2271AQQ9的特征向量。它们仍为属于，；先正交化再单位化为；个线性无关的特征向量所对应的每一个重特征值用施密特正交化方法将iiriiiriiiimimiriiiii), 2 , 1(,), 2 , 1(,)(2121.), 2 , 1(,)(121nrmiriimiiiriiiii由性质知；征向量个线性无关的特，求出对

5、应的对每一个重特征值;,)(21mAi的所有相异的特征值求出为对角阵。此时即为所求的正交方阵。，则阶方阵一个向量作为列向量，排成将上面求得的正交单位AQQAQQQQnivT1)(用正交阵将实对称矩阵用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：化为对角阵的步骤：10.:4 . 4 . 5一定是正交相似矩阵阶对称矩阵两个有相同特征值的同定理证略！结结1:11三者的互求及或QPA,.PAAA似变换矩阵及相在相似时求出对角阵能否与对角阵相似，并判断从而可以的特征值及特征向量，可以求出已知的特征向量。为APPPPPnn,),(11APP1的特征值；为Ann,11. APAA，也可以求出矩阵与量，也就是已知的特征值及特征向与对角阵相似且已知反之，若1PPA结结2:12.,)2 , 1, 2(,) 1 , 2, 2(,)2 , 2 , 1 (. 3 , 2 , 1,1321AiiAATTTii求满足：设三阶方阵例. 3 , 2 , 1, iiAii的特征向量。的属于特征值是3 , 2 , 1,321A与对角阵相似。A212122221),(321P3211PPA62225020731212122221911P解解:13.1122,1113111221AAATT特征向量，求的的属于特征值是），（），（个特征值，的是三阶实对称方阵，：设例011121121),(321P