矩阵的初等变换及其应用

1、1线性代数第一次讨论课1. 导语2. 讨论内容目录3. 正文个人总结键入文字4导语：矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。它的理论和方法在自然科学、工程 技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。矩阵作为一些抽 象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。 本文从矩阵 的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换 及其应用。讨论内容目录矩阵的初等变换及其应用1. 两个矩阵的等价2. 两个矩阵的乘积3. 将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4. 求矩阵的秩5. 求可逆矩阵的逆矩阵6. 求线性方程组的解7. 判断向量组的线性

2、相关性8. 求向量组的秩与极大无关组9. 求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）10. 二次型化为标准形正文一、矩阵的等价1. 定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为 B矩阵，则称A 与B行等价；若矩阵A经过一系列初等列变换化为 B矩阵, 则称A与B列等价；若矩阵A经过一系列初等变换化为B 矩阵，则称A与B等价（相抵）。2. 矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列） 的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合

3、 变为一样的，两个矩阵等价。3. 矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A与自身等价；（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算， 得到的是一个新矩阵，这键入文字5个矩阵一般与原矩阵不会相等。J13-64、08-24100-412-234-128广13-64 '<2新r_13-6082410<3_土408-240-412-20-41234-128<04-12F面举例说明矩阵等价及等价变换:380041036-1000-6-24004 ?10-284<31<32<1

4、-13-64、08-24100003J1°00°二 B键入文字#键入文字30广-13-6010-30'01-30<1<2 、<、01-300001-<10001<0000><0000丿二 C13r120匕<1 如3'A显然,根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。是一个s*n二. 矩阵的乘法1.定义：设A= ( aj )是一个m*s的矩阵，B= ( g ) 的矩阵，规定矩阵A与矩阵B的乘积是m*n矩阵C=( q ),记为C=AB , 其中sCj 二 aMj ai2b2j

5、-aisbsj厲山耳im(i=1,2,m;j=1,2,n)由矩阵乘积的定义可见，不是任何两个矩阵都可以相乘。位于左边 矩阵的列数与位于右边矩阵的行数相等的两个矩阵才能相乘； 其乘积 是一个与左边矩阵有相同行数，与右边矩阵有相同列数的矩阵；乘积 矩阵的第i行第j列的元等于左边矩阵第i行的各元与右边矩阵第j列 的对应元乘积之和。所谓对应元，及第i行的列号与第j列的行号相 同的元。例：求矩阵31-123A=204与B=15的乘积。1 -120331-123解:AB=:204151-12033 X2+ 1X 1 +(-1) X03 X 3 + 1X5 + - 1 X3=2 X2 + 0 X1 +4 X

6、02 X 3 +0 X5 + 4 X31X2 +-1X1+ 2 X01 X 3 + -1 X5 + 2 X3711= 41814注意：1).矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB MBA.2) .两个非零矩阵之积可能为零矩阵。3) .若 A MO,AB=AC,不能推出 B=C.2、矩阵乘法满足下列运算规律：(1) (AB) C=A(BC);(2) A(B+C)=AB+BC,(B+C)A=BA+CA;(3) ?(AB) = ?=A(?其中？是数;(4) ? ?= ?= ?三、将矩阵化为行阶梯型、行最简型、标准型将矩阵化为行阶梯型、行最简型、标准型就是利用矩阵的初等变 换。下面是以上三种形式的

7、定义：1、若满足以下两个条件：（1） 若有零行（元全为0的行），则零行位于非零行（元不全为 0 的行）的下方；（2）每个首非零元（非零行从左边数起第一个不为零的元）前面零 的个数逐行增加。则为行阶梯型，简称阶梯型。2、首非零元为1，且首非零元所在的列其他元都为 0的行阶梯形称 为行最简矩阵，简称最简形。3、对任何m*n矩阵A，必可经有限次初等变换化为如下形式的矩阵/E o ）N =| r2 o丿我们称N为矩阵A的等价标准形。此标准形是有m，n，r完全确 定的，其中r就是行阶梯矩阵中非零行的个数。是否每个矩阵都能经过初等变换化为行阶梯型或行最简型呢？下 面这个定理给出了肯定的回答。定理1:任意m

8、*n矩阵A总可以经初等变换行阶梯型及行最简型 矩阵。推论：m冷矩阵A经过初等变换化为的行最简型是唯一的。例：-13-64 '08-2410r卡0-412-2一,04-128丿-13-64 (-13-64、2册108241008-24103寺0-412-20-412-204-128丿34-128丿-13-64 )(-13-64°8 -24 10 一咅 0 8 -24 10 =b0 0030 0030 00630001J13-6010-30寸r2 4%01-3001-30=C1企1 -ro0001L00018 2300<0000则B为阶梯型，C为最简型。四、求矩阵的秩矩阵的

9、秩是矩阵的一个重要的数值特征，是反映矩阵本质属 性的一个不变的量。它在线性方程组等问题的研究起着非常重 要的作用。下面我们介绍一下矩阵秩的求解方法。1. 矩阵的秩的定义：如果矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，而所有的 叶1阶子式(如果存在的话)全为 0，那么D称为矩阵A 的一个最高阶非零子式。数r称为矩阵A的秩，记作R(A) 或r(A)，并规定零矩阵的秩为0.由定义可得：(1) 若矩阵A有一个r阶子式不等于零，则(R)> r ,若矩阵A的所有叶1子式全为零，则(R) <r.(2) 若任意m*n矩阵A，必有R(A)=R(AT).(3) 矩阵A的秩既不会超过它的行数，也不会超过它的

10、列数。(4) 若矩阵B是矩阵A的子矩阵，则R(B) WR(A).2. 求矩阵的秩的方法(1)子式判J别法(定义)j 234、B =0 270例000丿为阶梯型矩阵，求R(B).1202丰0解:由于，存在个一阶子式不为零，而所有一阶子式全为零，所以R(B) =2.结论：阶梯型矩阵的秩=台阶数.(2)用初等变换发求矩阵的秩定理：初等变换不改变矩阵的秩推论 设A是任一 m*n矩阵，P、Q分别是m阶、n阶可逆(满 秩)矩阵，则必有R(PA)=R(AQ)=R(PAQ).例：f 102一 4A= 1 2113-6 1IT-1-12求 R(A)。卩02-4 解:A 501-1 2,0-11 -2 ,kM 0

11、2-4、T0 1-12 000丿所以R(A)=2.求矩阵A的秩方法：1) 利用初等行变换化矩阵 A为阶梯形矩阵B2) 数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。五、求可逆矩阵的逆矩阵逆矩阵是矩阵中单独的一个分支，但是其求解等各种方法与矩阵 基本方法规律相同。下面是矩阵的逆矩阵的定义：设A为n方阵，若存在你阶方阵B，使AB=BA=E则称A为可逆矩阵或A是可逆的，并且称B为A的逆矩阵。 可逆矩阵具有 唯一性，即A若可逆，其可逆矩阵是唯一的。 矩阵的逆矩阵的求法有三种：(1)特殊的矩阵。1) 矩阵为对角阵或者分块都为对角阵，可用特殊的方法求解。 若矩阵为对角阵，逆矩阵就是每一个元素分别求倒数放到原来

12、位置。若矩阵分块都为对角阵，可将每个小块分别求逆矩阵，然后将逆 矩阵放到原来的位置即可。2) 矩阵为两阶的矩阵，可运用公式求解(公式根据逆矩阵的 定义推出)若ad-bC却，则矩阵A=lc J可逆且逆矩阵为 (2)运用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵。1(dad - be ica其原理如下：若A为n阶可逆矩阵，其逆也是n阶可逆矩阵，故A可表示 为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵 RR,，Pm，使得 A，=RP2Pm。由逆矩阵定义，有A(A E) =(E -A4)即RP2Rm(AE)=(Ek)即有(At)初等行变换(E；A)若摆放方式不同也可以将A, E竖放在经过初等列变换可得逆矩阵与单位矩阵。与第一个

13、问题相关的是，变换前后两个矩阵 等价。根据公式A A=AA二AE，可知a的逆矩阵为aj 1 A .IA这个公式在使用时十分复杂，但是若用于理论及电脑计算就有较大优势.例：信息加密问题将26个英文字母按顺序逐一与数字对应后，S'end money ”编码为 19,5,14,13,15,14,5,25，如果直接发出编码，很容易被人破译，显然 这是不可取的，如何进行加密呢，可将式子表示为一个三阶方阵，乘 以一个三阶方阵后密码的破译难度就大多了，问题是如何解密呢？根据式子AB=C，知B=A（-1） C.可知破译方式，即将得到的信息乘 以逆矩阵就可以了。2 3 2、A= 13 2J 1b则广 1

14、-10'A_ = 10-2213明文SEND MONEY对应的9个数值按3列被排成以下矩阵：19414'B= 5135<14 1525矩阵乘积:232、广19414、817793"AB =1325135=6273791hJ41525>,383244对应密文编码为：81,77,93,62,73,79,38,32,44合法用户用密钥乘上述矩阵即可解密得到明文广1-10 'r817793、*19414、A(AB)=1 0-2627379=5135<-213.383244 ；<141525最后得到的序列对应写出明文即可这里所述仅是信息加密的原理

15、，实际应用中密钥矩阵的阶数可能很 大，其构造也十分复杂。六、求线性方程组的解求线性方程组的解可利用行列式和矩阵1.利用行列式求解用行列式求线性方程组的解的主要原理是克拉默法则，下面是克 拉默法则的内容：如果线性方程组的系数行列式 D=|A|和，则线性方程组有唯一解 且Dj .Xj =石,j=1,2,3,n;其中Dj是用常数项bi,b2/ ,bn替换系数矩阵D中的第j列所称的行列式。 由克拉默法则，可得下述定理：齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式|A|=0.这种方法是十分容易理解的，用于计算机计算也十分方便，但 是不看出判断线性方程组的解的根本性质，因此要用到矩阵等方法进一步讨论。

16、2利用矩阵判定线性方程组的解 判断线性方程组的解有如下定理：n元线性方程组Ax=b，（1）有解的充要条件是R（A）= R（B）；（2）有唯一解的充要条件是R（ A）=R（ B）=n ；（3）有无穷多解的充要条件是 R（A）=R（B）n.（其中B为A的增广矩阵）注意：（1）的你否命题为：线性方程组 Ax=b误解的充要条件是R（A）R（ B）.对于齐次线性方程组，判断其解有 定理：n个方程的n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0. 推论：n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0.通过以上讨论，线性方程组的判断已经很容易了， 下一步就是要使用 向量这个工具讨论线性方

17、程组通解性质。下面就是求线性方程组通解的方法：关于基础解系的定义：齐次线性方程组Ax=O的解空间V的基称为该方程组的基础解系基础解系的特解线性无关，且方程组任一解都基础解系解的线性组 合。首先讨论线性方程组通解的性质：性质1 :若备兀是Ax=0的任意两个解，则X1+X2也是Ax=O的解。：性质2 :若X是Ax=O的解，k为任意数，则kX也是Ax=O的解。性质3 :设人入2为非齐次线性方程组的任意两个的解，则 人咲?是它对应的齐次线性方程 组的解。性质4 :设X是非其次线性方程组的特解，Z为它对应的齐次线性方程组的特解，则 Z+X是 非其次线性方程组的解。有了以上性质加上有关定理就可以很简单的求

18、出通解了，关于齐次非其次线性方程组通解的定理分别如下：定理1 :设A是m*n矩阵，若R(A)=r<n,则齐次线性方程组Ax=O有基础解系，且每个基 础解系都含有n-r个解向量。定理2 :设Z为非其次线性方程组的特解，X,X 2,x n为它对应的齐次线性方程组的基础解系,则非其次线性方程组的通解为X二Z+C1X1 C2X2CnXn其中G,C2,，Cn丄为任意常数。下面举一个简单的例子来说明解线性方程组的方法：求非其次线性方程组x x? * 2 X3 * X4 = 12x x? + X3 + 2X4 = 3 Xi -X3 X4 =213x _ X2 3X4 二 5的通解，并且由对应的齐次线性

19、方程组的基础解系表示。解：对增广矩阵做初等行变换1-12111-121110-1122-112301-30101-301A =10-11201-30100000-103511°2-602>11°000°R(A)二R(A) =2,将X3,X4取作自由未知量。由原方程组的同解方程组公£1+ k13+ k20010<0><0><1X2 =1 +3x3X3 = X3X4 =X3Xi =2+x3 _X4因而得通解为x=以上例子是有一个很简单而又不失普遍性的线性方程组求解过程，即:先判断方程组是否有解，在根据定理一判断对应齐次线性

20、方程组的解 空间维数，然后求出齐次线性方程组通解，根据定理二加上一组特解即可求出对应非其次线性方程组的通解。七、判定向量组的线性相关性线性相关的定义如下：设am,，am为n维向量，若存在一组不全为零的 匕应 出,使kiaik2a?km =0则称向量组印忌，am线性相关；否则印禹 舄线性无关线性表示的定义如下:设有两个向量组若向量组Ti的每一个向量都可由向量组T2线性表示，则称向 量组Ti可 由向量组T2线性表示。又若向量组Ti与向量组T2可以相互线性表示， 则称向量组Ti与向量组T2等价。向量组的线性相关有如下的性质：1) 如果一个向量组的某个部分组线性相关，那么该向量组必线性相关。2) 当m

21、>n时，m个n维向量组成的向量组耳总,鸟一定线性相 关。3) 设有两个向量组：Tij =(aij,a2j,，aj)T(j =1,2,m)T2: j =(aij,a2j,4门可心,anj )T( j = 1,2/,m)若向量组Ti线性无关，则向量组T2也线性无关；反之，若向量组T2线性相关，则向量组也线性相关。判断向量组线性相关性判断方法的定理有下面几个：1) 向量组耳总,am线性相关的充要条件是它构成的矩阵 A=(am,am)的秩小于向量的个数m;向量组线性无关的充要条件是 R ( A)=m。结合矩阵，上定理有如下两个推论：(1) m个m维向量组c,a2,am线性相关的充要条件是它构成的

22、 矩阵A=(印总,am)的行列式|A|=0 ；印忌,am线性无关 的充要条件是|A|和；(2) 设A为m*n矩阵，贝S1. 矩阵A的列向量线性相关(无关)的充要条件是R (A)<n (R(A)二 n).2. 矩阵A行向量线性相关(无关)的充要条件是R (A)<m(R(A )=m).2) 向量组ai©,，am (m>=2 )线性相关的充要条件是其中至少有 一个向量可以有其余几 m-1个向量表示。3) 向量组包,，am线性无关，而向量组62, ,am,b线性相关,则b可由a1,a2,am线性表示，而且表示式是唯一的。4) 若向量组T : ai,a2,，am可由向量组T2

23、 ： bb, ,bm线性表示，且 m>n,则向量组线性相关。该定理有如下两个推论：(1) 若向量组T : ai,a2,，am可由向量组T? :4线性表示, 且向量组Ti : 6总,，am线性无关，则m<=n.(2) 若两个线性无关组等价，则它们所含的向量个数相等。5)矩阵A经过初等行变换化为B,则(1)矩阵A与B对应的列向量构成的列向量具有相同的线性组合关系；(2)矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价。线性相关作为向量间的关系与向量组的内在性质在向量领域应用广 泛，是作为基础存在的。其应用与矩阵类似，可用来求解线性方程组八. 求向量组的秩与极大无关组向量组的T的一个部分组冃总,a

24、r满足：(1) 3总,ar线性无关；(2) 向量组T的每一个向量都可由a1,a2/ ,a线性表示。则称耳总厂且是向量组T的一个极大线性无关组，简称极大无关组关于向量组秩的定义：向量组,am的极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩，记作R ( ai,a2/ ,am )规定只含零向量的向量组的秩为 0极大线性无关组具有的性质为：极大性：向量组的极大线性无关组是所有与该向量等价的部分组中韩 向量最多的向量组。极小性：向量组的极大无关组是所有与该向量组等价的部分组中含向 量最少的向量组。关于秩的性质有如下几条：（1）矩阵的秩等于他的列向量组的秩，也等于他的行向量组的秩。（2）若向量组Ti可由向量

25、组T2表示，则向量组Ti的秩不超过向量组T2的秩。该性质有如下推论：等价向量组的秩相等。求向量组的秩方法根据性质（1）可知，即把向量组看作以及矩阵求 矩阵的秩，然后就可以得到向量组的秩。还可以根据性质等价向量组 的秩相等，将向量组做等价变换求秩，这个方法实质上和利用矩阵求 的方法一样，因此，求向量组的秩的方法归根结底就是将像向量组看 作熟悉的矩阵求解。向量组的秩的应用与矩阵的秩在矩阵中间的运用大致相同，是向量组的特征量，可以解决很多向量组的问题。九. 求矩阵的对角矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）对角矩阵的定义：如果n阶方阵的主对角线以外的元全为零，即G 0'<0an&

26、gt;则称它为对角矩阵，记作diag伽忌,，ann）.对角线上全为1的矩阵称 为单位矩阵。对角矩阵特征如下：1. 对角矩阵都是对称矩阵；2. 对角矩阵是上三角矩阵及下三角矩阵；3. 零矩阵恒为对角矩阵。一维的矩阵也恒为对角矩阵；4. 对角矩阵diag（an,a22,松）的行列式为如忌,，a.n的乘积。对角矩阵的运算：矩阵加法可用下式表示：diag(an,a22, ,ann) diag(bi,b22, ,bnn)二 diag(aaa bi,a22 b22, ,ann bnn)矩阵乘法可用下式表示：diag(an,a22, ,ann)* diag(5,b22, ,bnn) =diag(aaa*bi

27、i,a22*b2； ,ann*bnn) 求对角矩阵的逆表示如下：餉月22,ann均不为零，若上述条件成立，则1 二 二diag(an,a22, ,ann厂=diag(an 忌，a.n ).求对角矩阵的n次方计算也十分简便，有定义有下面公式：rr rrdlag (ai i, a22, ann) dlag(3n ,a22 , , ann )对角矩阵的计算十分简单，因此运用也十分的广泛，实际中遇到问题 应尽量转化为对角矩阵进行求解，可节省较多的计算工作。下面的问题就是如何将一个矩阵对角化以便利用对角矩阵相应的性质简化计算。所用到的工具有特征值和相似矩阵相关性质。先讨论方阵的特征值的概念：设A是n阶方

28、阵，如果存在常数入和n维非零列向量x使Ax= ?x则称数入为矩阵A的一个特征值，非零列向量x称为矩阵A的属于(或 对应于)特征值入的特征向量。求解方法就是利用特征多项式|疋-A|令值为零得到对应的特征方程 求解。然后将对应的值代入方程|疋-A|x=O求出特征值对应的 特征向 量。线性组合每一个特征向量可得到全部特征向量。矩阵的特征值有如下有关性质及推论：定理1 :设n阶方阵A= ( aj )的n个特征值为忙2,则有： 1, ' 2 , 'n =| A|； 1 2'n = ai1 ' a22ann；推论：设A为n阶方阵，则|A|=0的充要条件是数0为矩阵A的特征值

29、。定理2 :设入是方阵A的一个特征值，x是A的对应的特征值入的特征向量。则有：(1) 当A可逆时，1是A二的特征值；(2) 当A可逆时，凶是A的伴随矩阵A*的特征值；九(3) f(x)是x的一元多项式，则f(为是f(A)的一个特征值，并且x是 对应矩阵A,f(A),A*的特征向量。定理3 :设'1,'2-,'n是方阵A的n个互不相同的特征值，X1,X2, ,Xn依次为与 之对应的特征向量，X1,X2，Xn线性无关。定理4 :把A的m个互不相同的特征值所对应的 m组各自线性无关的特征向 量并在一起任是线性无关的。定理5 :特征值入的代数重数(对应特征方程解的重数)不小于其

30、几何重数(对 应特征向量个数)。再讨论相似矩阵：相似矩阵概念：设A,B为n阶矩阵，若存在n阶可逆方阵P，使PAP =B则称A相似于B，记作AB。对A进行上述运算称为对A进行相似 变换，可逆矩阵P称为把A变到B的相似变换矩阵。相似矩阵有如下性质：(1) 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。(2) 若 n 阶矩阵 A B，有:R(A)二R(B);|A|=|B|;tr(A)二tr(B); A， B'kA kB,k为任意常数；Am Bm ,m为任意非负整数；若f(x) 是任意多项式，则f(A) f(B).利用以上工具就可以讨论矩阵对角化的问题了。下面是矩阵可对角化的定义：如果n阶方

31、阵A相似于对角矩阵以，则称A可对角化。判断对角化有如下定理及推论：(1)n阶方阵可对角化的充要条件是有 n个线性无关的特征向量。如果n阶矩阵有n个互不相同的特征值，则 A必可对角化。(3) n阶方阵可对角化的充要条件是 A的每个r重特征值恰有r个线性 无关的特征向量。根据以上知识，判断一个矩阵是否可对角化就十分容易了。下面就是具体步骤：首先求出一个方阵的特征向量和特征值，根据判断是否可对角化的充 要条件判断是否可对角化，若可对角化，对应的B即为几个特征值为对角线上元素的对角矩阵，P为对应每个特征值得特征向量， 这样 就解出了对角化问题。一个简单的例子利用性质求可对角化矩阵的n次方。方法如下：PAP =B, B为对角矩阵A=PBP，An =PBP°PBp4 PBPypBnP =V= ! _*n个由于B为对角阵，很简单就可求出 A的n次方了。利用矩阵可对角性质，可以大大简化很多计算，实际中应用十分广泛。十、化二次型为标准型由于二次型f与对称矩阵A之间一一对应关系，因此化二次型为标 准型，既可以从二次型出发，也可以从二次型的矩阵出发。下面介 在此处键入公式。绍三种化二次型为标准型的方法。1. 正交变换法定义：设Q是n阶正交矩阵，则称线性变换x=Qy为正交变换。正交变换具有以下性质：（1）正交变换保