矩阵最大线性无关向量组

1、一、最大线性无关向量组定义1设有向量组A,如果在A中能选出/个向量ax,a2< - ,ar,满足（1）向量组Ao :- ,ar线性无关;（2）向量组A中任意r + 1个向量（如果 A中有r + 1个向量的话）都线性相 关，那末称向量组 俎是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数/称为向量自的秩只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.二、矩阵与向量组秩的关系定理1矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩 证 设A =(宀,，a”)，R(A) = r,并设尸阶子式Dr工0根据4.2定理2由。工0知所在的r列线性无 关;又由A中所有r

2、 + 1阶子式均为零，知 A中任意r + 1个列向量都线性相关 因此所在的厂列是A的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩等于九类似可证A的行向量组的秩也等于R(A).向量组勺卫2,，仏的秩也记作 尺(幻皿2,皿汝)结论若D是矩阵4的一个最高阶非零子式，则Dr所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，D所在的行即是行向量组的一个最大无关组大曇做畧毅修部上C页 下c页 返回大曇做畧毅修部上C页 下c页 返回说明(1) 最大无关组不唯一;关组是等价的(2) 向量组与它的最大无例1全体维向量构成的向量组记作/r,求/r的 一个最大无关组及疋的秩.解因为维单位坐标向量构成的向量组是线性无关的，又根据4

3、.2定理3的结论（3）知中的任意n + 1个向量都线性相关，因此向量组E 是/T的一个最大无关组，且 /T的秩等于n例2 设矩阵1 1 一 2A =4- 62,36- 9求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵初等行变换知 R(A) = 3,11-214| 01- 110|0001-3,00000丿故列向量组的最大无关而三个非零行的非零首组含3个向量元在1、2、4三列,故勺2，_，为列向量组的一个最大无关组大曇做畧毅修部上C页 下c页 返回事实上（幻宀宀）=1 114初等行变换知 7?（。1<2山4）= 3,要

4、把。3<5用。1卫2<4线性表示，必须将1 n1 Xl0 10 0?A再变成行最简形矩阵大曇做畧毅修部上C页 下c页 返回| 0A 初等行变换| 0、0大曇做畧毅修部大曇做畧毅修部即得大曇做畧毅修部上C页 下c页 返回三、向量组秩的重要结论定理2设向量组B能由向量组A线性表示，则向 量组的秩不大于向量组 A的秩证 设向量组的一个最大无关组为 氏：久，向量组A的一个最大无关组为Ao :勺，化，要证r < s.因。组能由B组线性表示， 组能由A组线性 表示，A组能由组线性表示故组能由组线性表示即存在系数矩阵 Ksr =（心），使得|%1 （.0） = （%，心）:如果，则方程组J

5、?L°宀丿（简记为Kx = 0）有非零解（因R（K）< s <小，从而方程组L k x（%心）Kx = 0有非零解，即3,，乞）兀=0有非零解，这与。组 线性无关矛盾，因此 r > s不能成立，所以 r <推论1等价的向量组的秩相等证 设向量组A与向量组的秩依次为 S和F. 因两个向量组等价，即两个向量组能相互线性表示，故S < r与同时成立，所以s = r.推论2 设 Cmxii=AinxBsxnf 则R(C)< R(A),R(C)< R(B).证 设矩阵C和A用其列向量表示为C = (c，)，A =而=(方“)，由(c19 - ycn )

6、 = (<?，<£)bsn )知矩阵C的列向量组能由 A的列向量组线性表示, 因此 R(C)< R(A).因C，= BTAr,由上段证明知R(Cr)< R(Br),即R(C)< R(B).思考定理2与推论2有什么异同? 大曇做畧毅修部上C页 下c页 返回推论3设向量组B是向量组A的部分组，若向量 组线性无关，且向量组 A能由向量组B线性表示, 则向量组是向量组A的一个最大无关组 证 设向量组B含厂个向量，则它的秩为 r, 因A组能由B组线性表示，故 A组的秩 r, 从而A组中任意厂+ 1个向量线性相关， 所以向量组满足定义1所规定的最大无关组的 条件.例

7、3设向量组能由向量组A线性表示，且它们的秩相等，证明向量组 4与向量组等价 证只要证明向量组 A能由向量组线性表示设两个向量组的秩都为r,并设A组和组的最大无关组依次为 Ao :a”，和 ° : b“b 因组能由A组线性表示，故组能由A。组线性 表示，即有厂阶方阵 使（久，0） = （a”心）因。组线性无关，故 R(叭，b= r.根据定理2推论2,有RgXR®,.,但R(Kr)<rt 因此 R(Kr) = r.于是矩阵可逆，并有(«!， ,ar)=(片，心)K,即A。组能由。组线性表示从而A组能由B组线性表示证二设向量组A和的秩都为r.因组能由A组线性表示，

8、故A组和B组合并而 成的向量组（A,）能由A组线性表示而A组是（A,J5）组的部分组，故A组总能由（4）组线性表示所以（4）组与4组等价，因此（A.B）组的秩也为r.又因组的秩为 小故B组的最大无关组 血含/个向量，因此。组也是（A，）组的最大无关组，从而（£）组与B。组等价大曇做畧毅修部上C页 下c页 返回由A组与（A）组等价，（A）与等价，推知A组 与组等价注意本例把证明两向量组 A与B等价，转换为证明它 们的最大无关组与等价证法一证明。用线性表示的系数矩阵可逆；证法二实质上是证明与都是向量组（A）的最大无关组例4 已知r 23 一 54 I 0- 2 II 6- 4 I| _1

9、 |%錢）=|_53 I、3-1?、9_ 5丿证明向量组（勺,。2）与（"，2）等价证明要证存在2阶方阵X，使（久上2）=（勺2）%，（们2）= （“#2）丫 先求x类似于线性方程组求解 的方法，对增广矩li阵（勺皿2 #1 #2 ）施行初等行变换变为行最简形矩阵:0卫2#1#2)=大曇做畧毅修部上C页 下c页 返回'2I 0（。1<2，久#2）=13rl>r3I 0-2L 3-大曇做畧毅修部上3-54-26一4|1-53一 19_ 5>1-5-26-4|3一 5419_ 5>顶 下页 返回r3 + 2尸1|0r4 + 3乙 0,0大曇做畧毅修部一 1

10、5一 4|一纠10大曇做畧毅修部ri o GG + 2rl4 +大曇做畧毅修部01- 53-264I5-15102-64 >1一 531-325-15102_ 6大曇做畧毅修部0r2 （一2）1-531 - 32|5-15102 一 641- 531- 32 |0 0 00 0 0>大曇做畧毅修部0大曇做畧毅修部上*02r2000001°ri -(-!)0000大曇做畧毅修部上*一 5一 300 0丿 2 一132|0000顶 下页 返回初等行变换1°00即得00000000丿77： J上C页 下c页 返回上C页 下c页 返回因X=1hO,知X可逆，取Y = X1,即为所求因此向量组叭2与乞#2等价最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性.矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩=矩阵列向量组的秩=矩阵行向量组的秩关于向量组秩的一些结论：个定理、三个推论|=求向量组的囁以及最大无关组的方法： 熔向量组中甬由畫作另方侗量箱底一个矩 阵，然后进行初等行变换.上C页 下c页 返回思考题比较教材例7的证法一、