数学应用举例新人教必修PPT课件

1、正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理RCcBbAa2sinsinsin（R为三角形的外接圆半径）CabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos2222222222abcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos222222222ABCacb第1页/共31页例例1海上有海上有A、B两个小岛相距两个小岛相距10海里，从海里，从A岛望岛望C岛和岛和B岛成岛成60的视角，从的视角，从B岛望岛望C岛和岛和A岛成岛成75的视角，那么的视角，那么B岛和岛和C岛岛间的距离是间的距离是 。ACB10海里海里6075答：答：23.1265 海里海里解：应用正弦定理，解：应用正弦定理，C=45

2、BC/sin60=10/sin45BC=10sin60 /sin45知道它有多远吗？知道它有多远吗？第2页/共31页第3页/共31页例例2.为了开凿隧道为了开凿隧道,要测量隧道口要测量隧道口D,E间的距离间的距离,为为此在山的一侧选取适当的点此在山的一侧选取适当的点C(如图如图),测得测得CA=482m,CB=631.5m,ACB=56018,又测得又测得A,B两点到隧道口的距离两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上在一直线上).计算隧道计算隧道DE的长的长ABCDE 由余弦定理可解由余弦定理可解AB长。进而求长。进而求DE。析：析：思思1：能否

3、直接解三角形：能否直接解三角形ABC？2：能否保证：能否保证A、D、E、B在一直线上？在一直线上？知道它有多宽吗？知道它有多宽吗？第4页/共31页解斜三角形理论解斜三角形理论在实地测量中的应用在实地测量中的应用第5页/共31页ABCD知道它有多长吗？知道它有多长吗？第6页/共31页练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？北方向航行答：此船可以继续沿正向航行此船可以继续沿正北方则的

4、距离为到直线设点，由正弦定理得，中，解：在milenhmilenSBhhABSmilenABSBSSBAASB5.6)(06.765sin,)(787.745sin20sin1.1645sin20sin45115第7页/共31页练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为62020，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m0.01m） 0260 最大角度最大角度最大角度最大角度 已知ABC中AB1.95m，AC1.40m， 夹角CAB6620，求BC解：由余弦定理

5、，得571. 3 0266cos40. 195. 1240. 195. 1 cos2 22222AACABACABBC)(89. 1m BC答：顶杆BCBC约长1.89m。 CAB第8页/共31页 解斜三角形应用举例小结实际问题抽象概括示意图构造三角形演算解三角形实际问题的解还原说明注意合理性！第9页/共31页教室AB围墙试试看试试看！第10页/共31页。，试求云的高度的仰角为湖中的象），而湖中云之影（云在角为处，测得云的仰米的在离湖面高为HAhb ba a知道它有多高吗！知道它有多高吗！例例6第11页/共31页 如何在平地上如何在平地上测量位于山上的灯测量位于山上的灯塔顶部离地面的高塔顶部离

6、地面的高度？度？知道它有多高吗？知道它有多高吗？例例7：第12页/共31页例8 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。第13页/共31页)sin(sinbabaAChahAChAEAB)sin(sinsinsinbabaa解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是，

7、CD=a,测角仪器的高是h.那么，在ACD中，根据正弦定理可得例8 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法第14页/共31页例9 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角5440，在塔底C处测得A处的俯角501。已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m)分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长解：在ABC中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，)90sin()sin(bbaABBC第15页/共31页)(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(sinc

8、ossin,mBCBADABBDABDRtbaab得解CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度约为150米。)sin(cos)sin()90sin(babbabBCBCAB所以，第16页/共31页例10 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度CD.分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。第17页/共31页例10 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东

9、偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度CD.解：在ABC中，A=15, C=25-15=10.根据正弦定理，CABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度约为1047米。第18页/共31页例7 一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距离精

10、确到0.01n mile）?解：在ABC中，ABC1807532137，根据余弦定理，15.113137cos0 .545 .6720 .545 .67cos22222ABCBCABBCABAC第19页/共31页,3255. 015.113137sin0 .54sinsinsinsinACABCBCCABABCACCABBC根据正弦定理，所以，CAB=19.0,75CAB=56.0.答：此船应该沿北偏东56.0的方向航行，需要航行113.15n mile.第20页/共31页例8 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.1cm)(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=14

11、8.5;)(9 .905 .148sin8 .145 .2321,sin21) 1 (2cmSBcaS得应用解：第21页/共31页(2)已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;).(0 . 47 .62sin5 .51sin8 .65sin16. 321,5 .51)8 .657 .62(180)(180,sinsinsin21sin21,sinsin,sinsin)2(222cmSCBABACbAbcSBCbcCcBb根据正弦定理，第22页/共31页（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.).(4 .5116384. 04 .417 .3821

12、,sin216384. 07697. 01cos1sin7679. 04 .417 .3823 .274 .417 .382cos3222222222cmSBcaSBBcabacB得应用，得）根据余弦定理的推论（第23页/共31页例9 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m，这个区域的面积是多少（精确到0.1cm）?解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，.38.2840).(38.28406578. 06812721,sin21.6578. 07532. 01sin,7532. 068127288681272cos222222222mmSBcaSBcabacB答：这个区域的面积是得应用第24页/共31页).coscoscos(22sinsinsin114222222222CabBcaAbccbaCBAcbaABC）（；）（中，求证：在例第25页/共31页第26页/共31页第27页/共31页 练习3 3 任一 中