二次函数中考压轴题精选

1、二次函数中考压轴题精选1. （2012浙江湖州3分）如图，已知点 A （4,0）,O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O,A）,过P、O两点的二次函数 yi和过P、A两点的二次函数 y2的图象开口均向下， 它们的顶点分别为 B、C,射线OB与AC相交于点D .当 OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【】A. 75B. 45C. 3D. 42 （2012浙江义乌3分）如图，已知抛物线 yi=-2x2+2,直线y2=2x+2 ,当x任取一彳1时，x对应的函数彳1分别为 yi、 y2.若yiw2,取yi、y2中的较小值记为 M；若yl=y2,记M=yi=y2.例如：当x=1时，

2、yl=0,y2=4, ylvy2,此时M=0 .下 列判断：当x>0时，yi>y2；当x<0时，x值越大，M值越小；使得M大于2的x值不存在；使得M=1的x值是-工或返.2 2其中正确的是【】A.B.C. D.【答案】D o【考点】二次函数的图象和性质。【分析】当x>0时，利用函数图象可以得出y2>y1。.此判断错误。,抛物线yi= - 2x2+2,直线y2=2x+2 ,当x任取一彳I时，x对应的函数彳I分别为 yi、y2,若yiwg,取yi、y2中的较小值记为 M。当x<0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。，此判断错误。抛物线yi=-2x2+2,

3、直线y2=2x+2 ,与y轴交点坐标为：（0, 2）,当x=0时，M=2 ,抛物线yi=-2x2+2,最大值为2,故M大于2的x值不存在；，此判断正确。二.使得M=1时，若 yi= 2x2+2=1 ,解得：xi= , x2=；221右 y2=2x+2=1 ,解得：x=- -。 2由图象可得出：当 x=-1>0,此时对应yi=M。抛物线yi=-2x2+2与x轴交点坐标为：（1, 0）, （-1, 0）,当-1vxv0,此时对应y2=M,2八 1M=1时，*=-或*=-3。此判断正确。因此正确的有：。故选 Do3. (2012浙江衢州12分)如图，把两个全等的RtAAOB和Rt COD分别置

4、于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上.已知点 A (1, 2),过A、C两点的直线分别交 x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx+c经过0、A、C三点.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)点P为线段0C上一个动点，过点 P作y轴的平行线交抛物线于点 M,交x轴于点N,问是否存在这样的点 P,使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若 AOB沿AC方向平移(点 A始终在线段AC上，且不与点 C重合)， AOB在平移过程中与 COD重叠部分面积记为S.试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1

5、)二.抛物线y=ax2+bx+c经过点0,"=0。3 a=2O7b= 一2又.抛物线 y=ax2+bx+c经过点A、C,a+b=2,解得4a+2b=1.抛物线解析式为y= 3x2 + 7x。22(2)设点 P 的横坐标为 t, PN/ CD, . OPNsOCD,可得 PN=上。. P (t, -)o22点M在抛物线上，M (t, 3t2 +，t)。22MG ±AB如图1,过M点作AG=y A - y M=2 一t BH=PN=-。2当AG=BH时，四边形 ABPM为等腰梯形,3 o 7t 3t2 7t+2=上，化简得 3t2-8t+4=0。222解得t1=2 (不合题意，

6、舍去)，t2=2,32 1.点P的坐标为(-)o3 33t2+7t 22于G,过P点作PH LAB于H,=|t22t+2图使得四边形ABPM为等腰梯形。(3)如图2, AOB沿AC方向平移至 A' O BA' B'于T,交OC于Q, A'或x轴于K,交OC于Ro由A、C的坐标可求得过 A、C的直线为yAC=-x+3设点A'的横坐标为a,则点A' (a, - a+3),易知OQTsocd,可得 QT=a。交x轴2.点Q的坐标为（a, 2）。3设AB与OC相交于点J,A' RQ AOJ,相似三角形对应高的比等于相似比，HT A QOBAJA

7、QHT= AJ3 a 1 a a a aOB=22 1 21=2 a。.KT= 1 A21 “、T= (3a), A Q=A yQ= ( a+3) 2=3 a。S 四边形 RKTQ=S/A KT S/A R(= - KTA' T_ 1 A QHT1 3 a仁 3223 laa+2= 1a2+3a 223+O81一 v 0, 2在线段AC上存在点A a,3）,能使重叠部分面积22S取到最大值,曲线上点的坐标与方程的关【考点】二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法,系，二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法。【分析】（1）抛物

8、线y=ax2+bx+c经过点O、A、C,利用待定系数法求抛物线的解析式。（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从2 1 而可解。结论：存在点 P （-,-使得四边形 ABPM为等腰梯形。3 3（3）求出得重叠部分面积 S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值。4. （2012浙江绍兴12分）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽 略不计）。（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2,那么剪掉

9、的正方形的边长为多少？折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明 理由。（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2,求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。【答案】解：（1）设剪掉的正方形的边长为 xcm。x2 9 。则（ 402x） 2=484,解得X1 31 （不合题意，舍去），剪掉的正方形的边长为 9cm。侧面积有最大值。设剪掉的正方形的边长为 xcm,盒子的侧面积为 ycm2,则 y

10、 与 x 的函数关系为：y 4(40 2x)x 8x2 160x8(x 10)2 800,，x=10 时，y 最大=800。即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。(2)在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。则 2(40 2x)(20 x) 2x(20 x) 2x(40 2x) 550 ,解得：xi 35 (不合题意，舍去)，x2 15。，剪掉的正方形的边长为 15cm。此时长方体盒子的长为15cm,宽为10cm,高为5cm。【分析】(1)假设剪掉的正方形的边长为xcm ,根据题意得出(402x) 2=484,求出即可【考点】二次函数的应用，一元

11、二次方程的应用假设剪掉的正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为 ycm2,则y与x的函数关系为：y=4 (40-2x) x,利用二次函数最值求出即可。(2)假设剪掉的正方形的边长为xcm,利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2,得出等式方程求出即可。25 (2012浙江绍兴14分)如图，矩形 OABC的两边在坐标轴上，连接 AC,抛物线y x 4x 2经过A, B两点。(1)求A点坐标及线段 AB的长；(2)若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿 AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度?&AO, OC, CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止

12、移动，点P的移动时间为t秒。当PQXAC时，求t的值；当PQ/AC时，对于抛物线对称轴上一点H, / HOQ>Z POQ,求点H的纵坐标的取值范围。【答案】解：(1)由抛物线y x2 4x 2知：当x=0时，y=- 2, z. A (0, -2)。四边形OABC是矩形，AB /x轴，即A、B的纵坐标相同。当 y= - 2 时， 2 x2 4x 2 ,解得 x1 0, x2 4。B (4, 2)。 . AB=4 o(2)由题意知：A点移动路程为AP=t, Q点移动路程为7 (t1) =7 t 7。当Q点在OA上时，即0如图1,若PQXAC,则有,QA AP 即 7t 7 =,即AB BC

13、4_ _97t 7 2, 1 t 9 时,7Rt QAP s RtA ABC o工,解得t -。25轴，垂足为791- 一，此时t值不合题意。5 7 9 当Q点在OC上时，即2 7t 7 6, 97如图 2,过 Q 点作 QDXAB o AD=OQ=7DP=t- ( 7t 9) =9 - 6t。若PQXAC,则有RtAQDPRtAABC ,QA二% 即 2AB BC 49 6t，解得t.9 4734 “人 一符合题意。3当Q点在BC上时，即6 7t 78,13如图3,若PQXAC ,过Q点作QG / AC,则 QGXPG,即/ GQP=90 。13 ,t 时,7(t1) 2=7t 9。竺时,7

14、丁./ QPB>90°,这与 QPB的内角和为180°矛盾，此时PQ不与AC垂直。4综上所述，当t 鼻时，有PQXACo当 PQ/AC 时，如图 4, BPQs BAC , 里=BQBA BC士解得 t=2。42即当 t=2 时，PQ / AC。此时 AP=2 , BQ=CQ=1。P (2, 2), Q (4, 1)。抛物线对称轴的解析式为x=2 ,当H1为对称轴与 OP的交点时，有/ H1OQ=/POQ,，当 yH< 2 时，/ HOQ >Z POQ。作P点关于OQ的对称点P',连接PP交OQ于点M,过P作P' N垂N,连接OP ,在 R

15、tAOCQ 中，: OC=4, CQ=1。OQ= <17 ,SaOPQ=S 四边形 ABCD SaAOP SaCOQ SaQBP=3= OQX PM2PM= 6 1717一 _ 12 17 . PP =2PM=17NPP =/ COQ RtACOQA RtANPP 。,CQ OQNP PP PN吗即1174,12=,斛得 p nPN 12 17 PN17B直于对称48PN 。1717P' ( 46,14)。直线 OP 的解析式为 y Xo17 1723 .OP与 NP 的交点 H2 (2, 14)。23、“14 . 当 yH 一时，/ HOP>Z POQ。2314 .综上所

16、述，当 yH2或yH 一时，/ HOQ>/POQ。23【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，对 称的性质。【分析】(1)已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标；由于四边形 OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同,代入该纵坐标可求出 B点坐标，则AB长可求。(2)Q点的位置可分：在 OA上、在OC上、在CB上三段来分析，若 PQXAC时，很显然前两种情况符 合要求，首先确定这三段上 t的取值范围，然后通过相似三角形(或构建相似三角形)，利用比例线段来求出 t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去。当PQ/AC时，

17、BPQsBAC,通过比例线段求出 t的值以及P、Q点的坐标，可判定 P点在抛物线的对 称轴上，若P、H1重合，此时有/ HQQ=/POQ。若作P点关于OQ的对称点P', OP'与NP的交点H2,亦可得到 /H2OQ=/POQ,而题目要求的是/ HOQ>/ POQ,那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的。6. (2012浙江台州12分)某汽车在刹车后行驶的距离 s (单位：米)与时间t (单位：秒)之间的关系得部分数据如 下表：时间t (秒)00.20.40.60.81.01.2行驶距离s (米)02.85.27.28.81010.8(1)根据这些数据在给出的坐标系

18、中画出相应的点；(2)选择适当的函数表示 s与t之间的关系，求出相应的函数解析式;(3)刹车后汽车行驶了多长距离才停止？当t分别为t1, t2 (t1<t2)时，对应S的值分别为S1 S2请比较 且与2的大小，并解释比较结果的实际意义. t1t2【答案】解：(1)描点图所示：(2)由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at2+bt + c,;抛物线经过点(0,0),： c=0o又由点(0.2, 2.8) , ( 1, 10)可得：0.04a+0.2b=2.8 a= 5,解传：。a+b=10b=15经检验，其余各点均在s=5t2+15t上。二次函数的解析式为：s5t2 1

19、5t o(3)汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。BC=2 ( m i)2 s 5t2 15t= 5 t - 竺，：当t=3时，滑行距离最大，为 竺2424因此，刹车后汽车行驶了二米才停止。4s5t2 15t, . s15tl2 15t1, s25t22 15t22.si _ 5ti2 15ti ti-ti15,2.S2 _ 5t22 15t2 t2 一t25t2 i5,ti<t2,sis2 = 5ti i5tit2其实际意义是刹车后到于对称轴对5t2 i5 =5 t2 力 > 0。.包> s2 tit2t2时间内的平均速到11时间内的度小于刹车后平均速度【考点】二

20、次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用【分析】(D描点作图即可。(2)首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。(3)将函数解析式表示成顶点式(或用公式求)，即可求得答案。(4)求出 包与 包，用差值法比较大小。tit227. (20i2浙江温州i4分)如图，经过原点的抛物线 y x2mx(m 0)与x轴的另一个交点为 A.过点P(i,m)作直线PM x轴于点M,交抛物线于点 B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C (B、C不重合).连2CB,CP。(i)当m 3时，求点A的坐标及BC的长；(2)当m i时，连结

21、CA,问m为何值时 CAXCP?(3)过点P作PEL PC且PE=PC,问是否存在 m,使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：(D当m=3时，y=-x2+6xo令 y=0 得x2+6x=0,解得，xi=0, x2=6 oA (6, 0)当 x=i 时，y=5。B ( i, 5)。.抛物线y= x2+6x的对称轴为直线 x=3,且B, C关于对称轴对称，BC=4(2)过点C作CHLx轴于点H (如图i)由已知得，/ ACP=/BCH=90 , . ACH= /PCB。又AHC= / PBC=90 , . AGH PCB。

22、,AH PB-oCH BC:抛物线y=x2+2mx的对称轴为直线 x=m ,其中m>i,且B, C关称,BP=m 1B (1, 2m1) , P (1, m),H (2m1, 0)又：A (2m, 0) , C (2m1, 2m1),12m 1m 1 ,解得m= 32 m 12PC=EP(3)存在。B, C 不重合，：mlo(I)当 m>1 时，BC=2 (m1) , PM=m , BP=m 1,(i)若点E在x轴上(如图1),/CPE=90 , . MPE+ / BPC= / MPE+/ MEP=90 ,A BPCA MEP , BC=PM ,即 2 （ m-1） =m ,解得

23、m=2。此时点E的坐标是（2,0）。（ii）若点E在y轴上（如图2）,过点P作PNLy轴于点N,易证 BPCA NPE,BP=NP=OM=1 ,即 m 1=1 ,解得，m=2。此时点E的坐标是（0,4）。（II）当 0Vm< 1 时，BC=2 （1-m） , PM=m , BP=1 m,（i）若点E在x轴上（如图3）,易证 BPCA MEP ,2BC=PM ,即 2 （1m） =m ,解得，m=。3此时点E的坐标是（4,0）。3（ii）若点E在y轴上（如图4）,过点P作PN±y轴于点N,易证 BPCA NPE ,BP=NP=OM=1，即 1 m=1 ,m=0 （舍去）。综上所述

24、，当 m=2时，点E的坐标是（0, 2）或（0, 4）,当m= 2时，点E的坐标是（3,0）。33【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定 和性质【分析】（1）把m=3,代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非 0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出 BC的长（2）过点C作CHLx轴于点H （如图1）由已知得/ ACP=/BCH=90 ,利用已知条件证明 AGH s匕PCB ,根据相似的性质得到:AH PBCH BC,再用含有 m的代数式表示出 BC, CH, BP,代入比例式即可求出的值。(3)存

25、在。本题要分当 m>1时,BC=2 ( m-1) , PM=mBP二m1 和当 0<m<1 时，BC=2 (1 m), PM=m , BP=1-m,两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标。8. (2012浙江义乌12分)如图1,已知直线y=kx与抛物线4 2y= x +2722、x父于点A (3, 6).3(1)求直线y=kx的解析式和线段 OA的长度;(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点 P作直线交x轴于点M (点M、O不重合)，交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定

26、值；如果不是，说明理由;(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重合)，点D (m, 0)是x轴正半轴上的动点,且满足/ BAE= / BED= / AOD .继续探究：m在什么范围时,符合条件的 E点的个数分别是1个、2个？【答案】解:(1)把点 A (3, 6)代入 y=kx 得；6=3k,即 k=2。y=2x。 OA<32 +62 =3-75 o(2)线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下:如图1,过点Q作QGy轴于点G, QHx轴于点H.当QH与QM重合时，显然QG与QN重合,此时QM QH QHQN QG OHtan AOM=2 。

27、当QH与QM不重合时,. QNXQM , QGXQH不妨设点H, G分别在x、半轴上, ./ MQH= /GQN。又 / QHM= / QGN=90 , /.A QHM AQGNo当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。(3)如图2,延长AB交x轴于点F,过点F作于点C,过点A作ARx轴于点Ro / AOD= / BAE , AF=OF。OC二AC二一OA二 一 v 5 °22 / ARO= / FCO=90 , / AOR= / FOC,QyH7图1,QM QN QM QNQHQGQHOHtan AOM=2。轴的正二2。却FCXOA0D RAORA FOC。,OF AO，点F(1520)。设点B(x,BKAKOC OR22x + x27315B 作 BK± AR 于点 K ,则A AKB ARF。FRAR64 x2+22x2737.5 3解得x1=6, x2=3 （舍去）。