人教版八年级数学上《等腰三角形》拔高练习

1、等腰三角形拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1 . （5分）O为等边 ABC所在平面内一点，若A OAB、AOBC> OAC都为等腰三角形,则这样的点O 一共有（）A. 4B . 5C. 6D. 102. (5分)如图，在 ABC中, 当 AB= 10, / B = 30° 时，A . 12B . 13. (5分)如图，在 ABC中, E作MN / BC分别交AB、/ACB = 90° , BC的垂直平分线交 AB于点D,垂足为E, ACD的周长为（）4C. 15D. 16AB = 6, AC = 4, / ABC和/ ACB的平分线交十点 E,过点A

2、C于M、N,则 AMN的周长为（）A. 12B . 10C. 84. （5分）将等边三角形如图放置，all b, Z 1 = 35° ,A. 20°B , 25°C. 305. （5分）如图，在 ABC中，点D是BC边上一点，于巳若 ADE是等腰三角形，则下列判断中正确的是D.不确定则/2=()°D. 35°AD= AC,过点 D 作 DE，BC 交 AB( )第5页（共18页）AA. /B=/CADB. Z BED = Z CAD C. / ADB = / AED D. Z BED = Z ADC、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6.

3、（5 分）如图，在 RtABC 中，/ ACB=90°，点 D, E 在斜边 AB 上，AE=AC, BD =7. （5分）如图，在平面直角坐标系中，点A （2, 2）,连接AO,点P在x轴上，使 AOP为等腰三角形的点 P的个数有 个.8. （5分）一个等腰三角形一边长为3cm,另一边长为7cm,那么这个等腰三角形的周长是cm.9. （5 分）如图所示， AB=BC=CD=DE = EF=FG, / 1 = 125° ,则/ A =度.10. （5分）如图，在 ABC中，AB = AC=4, CD = 1, AB的垂直平分线 MN交AC于点D,则 BD=.11. （10分

4、）如图，在 ABC中，AB = AC, DE是边AB的垂直平分线，交 AB于E、交AC于D,连接BD.（1）若/ A = 40° ,求/ DBC的度数；（2）若/ BCD的周长为16cm, ABC的周长为26cm,求BC的长.12. (10分)如图，已知在四边形 ABCD中，AB=10cm, / A= / C= 90° ,点E、点F分别在边 AB、CD 上，且 EF / BC , / DEF = / FBC .(1)求证：/ AED = Z EBF;(2)当/ EBF = Z FBC 时，EF =cm.13. （10分）等腰 ABC中，AB = AC, / BAC = 40

5、° ,点 D是线段 CB延长线上的一点,且满足BD = BA,连结AD ,过B作BE / AD交AC于点E,求/ ABE度数.14. （10 分）如图，在 ABC 中，AB = AC, CD 平分/ ACB 交 AB 于点 D, AE/ DC 交 BC的延长线于点 E,已知/ E=38° ,求/ BAC的度数.15. （10分）小明遇到这样一个问题如图 1, 4ABC 中，ZACB = 90°，点 D 在 AB 上，且 BD = BC,求证：/ABC=2/ACD.小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法:方法2:如图2,彳BEXCD,垂足为点E.

6、方法3:如图3,彳CFXAB,垂足为点F.根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明/ABC=2/ACD.等腰三角形拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（ 本大题共 5 小题，共 25.0 分）1. （5分）O为等边 ABC所在平面内一点，若A OAB、AOBC> OAC都为等腰三角形，则这样的点 O 一共有（ ）A 4B 5C 6D 10【分析】 本题利用了等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线【解答】解：在等边 ABC中，三条边上的高交于点O,由于等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线，点 O到三个顶点的距离相等， ADB,

7、BOC, 4AOC是等腰三角形，则点O是满足题中要求的点，高与顶角的两条边成的锐角为 30 °，以点 A 为圆心， AB 为半径，做圆，延长AO 交圆于点 E，由于点E在对称轴 AE上，有EC = EB, AE=AC=AB, ECB, AEC , ABE都是等腰三角形，点 E 也是满足题中要求的点，作AD LAE交圆于点D,则有AC=AD, AD=AB,即 DAB, AADC是等腰三角形，点D也是满足题中要求的点，同理，作 AFLAE交圆于点F,则点F也是满足题中要求的点； ；同理，以点 B 为圆心， AB 为半径，做圆，以点 C 为圆心， AB 为半径，做圆，都可以分别得到同样性质

8、的三个点满足题中要求，于是共有 10 个点能使点与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形故选： D 【点评】此题考查等边三角形的性质，本题容易找出三条边上的高交于点O,是满足题中要求的点，其它点容易漏掉，这样的点不一定是等腰三角形的顶角所在的点，也可以是底角所在的点，明白这点后，就要做圆来找到所要求的点.2. （5分）如图，在 ABC中，/ ACB = 90° , BC的垂直平分线交 AB于点D,垂足为 E,当AB=10, / B = 30°时， ACD的周长为（C.15D. 16【分析】根据线段垂直平分线的性质知CD=BD,则 ACD的周长等于 AC+AB.第

9、7页（共18页）【解答】 解：: DE是线段BC的垂直平分线，/ ACB=90° ,.CD = BD, AD = BD.又.在 ABC 中，/ ACB=90° , / B=30° ,ac=jLab2.ACD 的周长=AC+AB =AB= 152【点评】本题考查了含30度角直角三角形的性质. 直角三角形中30。的锐角所对的直角边等于斜边的一半.3. （5分）如图，在 ABC中，AB = 6, AC = 4, / ABC和/ ACB的平分线交于点 E,过点E作MN / BC分别交 AB、AC于M、N,则 AMN的周长为（）A . 12B. 10C. 8D.不确定【分析

10、】根据角平分线的定义可得/ ABE=Z CBE, /ACE = / BCE,再根据两直线平行，内错角相等可得/ CBE=/BEM, /BCE=/CEN,然后求出/ ABE=/BEM, Z ACE = /CEN,根据等角对等边可得 BM = ME, CN=NE,然后求出 AMN的周长=AB+AC.【解答】解：.一/ ABC和/ ACB的平分线交于点 E, ./ABE=/CBE, /ACE=/BCE, MN / BC, ./ CBE=Z BEM, / BCE = Z CEN, ./ABE=/BEM , /ACE = /CEN,BM =ME, CN=NE, .AMN 的周长=AM + ME+AN+

11、NE = AB+AC,AB= AC = 4,AMN 的周长=6+4 = 10.故选：B.【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键.4. （5分）将等边三角形如图放置，all b, / 1 = 35° ,则/ 2=（） . 20°B, 25°C. 30°D, 35°【分析】过点A作AD / a,如图，根据平行线的性质可得/BAD = / 1,根据平行线的传递性可得AD/b,从而得到/ DAC = /2.再根据等边 ABC可得到/ BAC=60° ,就可 求出/ DAC,从而解决问题.【解答】解：过点

12、A作AD/a,如图，第7页（共18页）则 AD / b, ./ BAD = Z 1 = 35°- a / b,AD b b, . / DAC = Z 2,.ABC是等边三角形， ./ BAC=60° ,.Z 2=Z DAC = Z BAC-Z DAB = 60° 35° =25°故选：B.第11页（共18页）【点评】本题主要考查了平行线的性质、平行线的传递性、等边三角形的性质等知识, 当然也可延长BA与b交于点 巳运用平行线的性质及三角形外角的性质解决问题.5. （5分）如图，在 ABC中，点D是BC边上一点，AD=AC,过点D作DE，BC交A

13、B于巳若 ADE是等腰三角形，则下列判断中正确的是（）D. / BED = / ADCA . /B=/CADB. Z BED = Z CAD C. / ADB = / AED【分析】 作AH, BC于H,首先证明/ EAD = Z EDA = / DAH = / CAH ,由/ BED = ZEAD+/EDA, /DAC = 2/DAH,可得结论.【解答】解：作AHBC于H. DEL BC,DE / AH, ./ ADE = Z DAH , . AD= AC, AH LCD ./ DAH = Z CAH ED= EA,EDA=Z EAD, ./ EAD = Z EDA=Z DAH = Z CA

14、H , . / BED = / EAD+/EDA, /DAC = 2/DAH, ./ BED = Z DAC.故选：B.【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6. （5 分）如图，在 RtABC 中，/ ACB=90°，点 D, E 在斜边 AB 上，AE=AC, BD =【分析】利用等边对等角找到/ CDE、/ CED和/ ECD之间的关系，再利用/ ACB=90和三角形内角和可得到关于/ECD的方程，求得即可.【解答】 解：BD=BC, AE=AC

15、, ./ BCD = / BDC, /AEC=/ACE,即/ BCE+/DCE = / BDC, / ACD+/DCE = / DCE , . Z DCE+Z BDC+Z AEC=180° , ./ BCE+/DCE + /ACD + /DCE+/DCE = 180° ,又/ ACB=90° , ./ BCE+/DCE + /ACD = 90° , .2/DCE = 180° - 90° , ./ DCE = 45° ,故答案为：45° .【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形

16、 内角和这一隐含条件的应用.7.(5分)如图，在平面直角坐标系中，点A (2, 2),连接AO,点P在x轴上，使 AOP为等腰三角形的点 P的个数有 4个.【分析】本题应先求出OA的长，再分别讨论即可得出答案.【解答】解：如图，4OA=OP、AP=OA、AP=OP 的各种情况,OA=q22 + 2F班;若 OA = AP,贝U点 P (4, 0), P (-2/2, 0);若 OA=OP,则点 P' (2, 0), P ( 2J1, 0);故答案为：4.【点评】本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形性质，难度适中，关键是掌握 AOP为等腰三角形时，那么任意一对邻边可为等腰三角形，注意分

17、情况讨论.8. (5分)一个等腰三角形一边长为3cm,另一边长为7cm,那么这个等腰三角形的周长是17_cm.【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和7cm,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.【解答】解：分两种情况：当腰为3时，3+3V7,所以不能构成三角形；当腰为7时，3+7> 7,所以能构成三角形，周长是：3+7+7=17.故答案为：17.【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的 题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解 答，这点非常重要，也是解题的关键

18、.9. （5 分）如图所示， AB=BC=CD=DE = EF=FG, / 1 = 125° ,则/ A= 11 度.【分析】设/ A=x.根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得/CDB = /CBD= 2x, / DEC = / DCE = 3x, Z DFE = Z EDF = 4x, / FCE = / FEC = 5x,贝U 180° - 5x= 130° ,即可求解.【解答】解：设/ A=x.AB=BC=CD = DE= ef=fg,根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得/CDB = / CBD=2x, /DEC = / DCE = 3x,

19、/ DFE = / EDF =4x, /FGE=/ FEG=5x,则 180° - 5x= 125° ,解，得 x=11° .故答案为：11.【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角的性质的运用；发现并利用/ CBD是 ABC的外角是正确解答本题的关键.10. （5分）如图，在 ABC中，AB = AC=4, CD = 1, AB的垂直平分线 MN交AC于点D, 则 BD= 3 .【分析】AB的垂直平分线 MN交AB于点E,交AC于点D,可得AD=BD,继而求得答案；【解答】 解：: MN是AB的垂直平分线，AD= BD,. AC=4, CD = 1,.A

20、D= AC-CD = 3,故答案为：3.【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11. （10分）如图，在 ABC中，AB = AC, DE是边AB的垂直平分线，交 AB于E、交AC于D,连接BD.（1）若/ A = 40° ,求/ DBC的度数；（2）若 BCD的周长为16cm, ABC的周长为26cm,求BC的长.【分析】（1）首先计算出/ ABC的度数，再根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得 AD = BD,进而可得/ ABD = ZA=4

21、0° ,然后可得答案；（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD = DB, AE=BE,然后再计算出 AC+BC的长,再利用 ABC的周长为26cm可得AB长，进而可得答案.【解答】解：（1） AB = AC, ./ ABC=Z C, / A=40° ,. /ABC=12_14=70° , 2DE是边AB的垂直平分线，DA= DB, ./ DBA=Z A=40° , .Z DBC = Z ABC-Z DBA = 70 ° -40° =30° ;(2) , BCD 的周长为 16cm,BC+CD+BD = 16,BC+CD+AD

22、 = 16,BC+CA= 16,.ABC的周长为26cm,AB=26 - BC - CA = 26 - 16= 10,-.AC= AB=10,BC= 26-AB - AC = 26- 10- 10= 6cm.【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.12. (10分)如图，已知在四边形 ABCD中，AB=10cm, / A= / C= 90° ,点E、点F分 别在边 AB、CD 上，且 EF / BC , / DEF = / FBC .(1)求证：/ AED = Z EBF;(2)当/ EBF = Z FBC 时，EF =

23、 5 cm.【分析】(1)根据平行线的判定和性质即可得到结论；(2)根据平行线的性质得到/ DFE = Z C=Z A = 90° , Z DEF = Z EFB,推出/ AED = Z DEF ,根据全等三角形的性质得到AE = EF ,于是得到结论.【解答】解：(1) EF / BC, ./ EFB = Z FBC , / DEF = Z FBC, ./ DEF = Z EFB,ED / BF, ./ AED = Z EBF;(2) EF / BC, Z A=Z C = 90 , ./ DFE = Z C=Z A= 90 , DE / BF, ./ DEF = Z EFB, /

24、DEF = Z FBC, ./ EFB = Z FBC , / AED = Z FBC, ./ AED = Z DEF, rZA=ZDFE在 AED 与 fed 中，/AED=/FED, t DE=DE AEDA FED (AAS),，AE=EF,EFB = Z EBF ，BE=EF, . AE= BE = 1AB = 5,2EF=5.故答案为：5.【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判 定和性质，正确的识别图形是解题的关键.13（10分）等腰 ABC中，AB = AC, / BAC = 40° ,点D是线段CB延长线上的一点, 且满足BD =

25、BA,连结AD ,过B作BE / AD交AC于点E,求/ ABE度数.第20页（共18页）【分析】根据等腰三角形的性质得到/ ABC=L （180。-Z BAC） =_X140。= 70。， 回2根据三角形的外角的性质得到/ABC= / D+ / BAD ,根据平行线的性质即可得到结论.【解答】 解：AB = AC, /BAC = 40° ,./ABC= （ 180° -/BAC） =-lx 140° =70° , 22 .AB=BD, ./ D=Z BAD, . / ABC=Z D+ Z BAD , ./ BAD = 35 ° , BE /

26、AD, ./ ABE=Z BAD = 35° .【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键.14（10 分）如图，在 ABC 中，AB = AC, CD 平分/ ACB 交 AB 于点 D, AE/ DC 交 BC的延长线于点 E,已知/ E=38° ,求/ BAC的度数.【分析】依据角平分线的定义即可得到/BCD =X / ACB ,再根据平行线的性质，即可2得到/ BCD=/E=38° ,最后根据三角形内角和定理，即可得到/BAC的度数.【解答】解：: CD平分/ ACB, AE/ DC, ./ BCD = Z E= 38° , ./ ACB=2X 38° = 76 AB= AC, ./ B=Z ACB=76° ,，/BAC=180° - Z B - Z ACB = 28° .【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，解题 时注意：等腰三角形的两个底角相等