有限制条件排列、组合问题解法

1、有限制条件排列、组合问题解法有限制条件的排列、组合问题是排列、组合题目中 较难的一类。限制条件越多问题越复杂。在解这一类问题时, 应首先根据限制条件进行分类或分步，然后在每一类或每一 步中再进行分步，联合运用加法原理和乘法原理进行计算。例1：由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个无重复 数字的(1) 自然数？(2) 比213456大的自然数？(3) 首位数是2的四位数？(4) 是5的倍数的四位数？解：(1)可组成无重复数字的自然数为a16+a26+a36+a46+a56+a66=6+30+120+360+720+720=1956 (个)。(2) 方法一(直接法)，因为213456是首位数为

2、2的 六位数中最小的一个，故首位数可选2、3、4、5、6中的一 个，即有a15种，其余位数由剩余的5个数全排，但213456 不符合要求，故满足条件的自然数有：a15a55-1=599(个)。方法二(间接法)，所有的六位数有a66个，而不符合 条件的六位数是首位为1的六位数有a55个及213456本身, 故有：a66-a55-1=599 （个）。（3）首位数是2的四位数，因首位数确定后，其余三 个位置有a35种排法，故满足条件的四位数有a35=60 （个）。（4）是5的倍数的四位数，个位数巳确定，必须是5, 其余三位置有a35种排法，故满足条件的四位数有a35=60（个）。例2：有4名男生，3

3、名女生排成一行，按下列情况， 问各有多少种不同排法？（1）甲必须站在某一固定位置；（2）甲必须不站在两端；（3）甲必须站在中间，乙必须站在甲的旁边；（4）甲乙必须相邻；（5）男、女生各排在一起；（6）女生不能相邻排。解：（1）因甲只能站在某一固定位置，其余6人在剩下 的位置排列有a66种排法，故满足要求的不同排法有： a66=720 （种）。（2）方法一（元素分析法）；因甲不站在两端，故甲有 5个位置，有a15种不同排法，甲在某一位置站好后，其余 位置由其余6人排，有a66种排法，故满足要求的不同排法 有 a15 a66=3600 （种）。方法二（位置分析法）：甲不站在两端，故两端可由其 余6

4、人中选出两人站好，而余的位置可由包括甲在内的5人 排列，故满足条件的不同排列数为a26a55=3600 （种）。方法三（间接法）：先不考虑限制条件，7人全排有 a77种排法;考虑不符合限制条件的排法，即甲站在两端的排法有 a12a66种排法;因此，满足限制条件的排法有a77-a12 a66=3600（种）。注：一题多解是活跃思维、掌握多种解题技巧，检验 结果的重要手段。较复杂的排列、组合问题往往对选取的元素加以限 制，这类问题的解法是抓住题目的限制条件，以正反两方面 进行分析，运用不同的方法求解，有时间接解法比直接解法 简洁。（3）元素分析法：甲站在中间位置，乙必须站在甲的 旁边，则乙有两个位

5、置可站，有a12种站法，乙站好后，其 余5人有a55种站法，故满足条件的不同站法有a12 a55=240 （种）。位置分析法：甲站在中间位置，与中间位置相邻的两个 位置可由乙与其余5人中的1人去站，有a15a22 （种），相 邻两个位置站好后，余下的四个位置其余4人站有a44种站 法，故满足条件的不同站法有：a15 - a25 - a44=240 （种）。（4）方法一：甲乙相邻有a22种排法，甲乙作为一个 整体（新元素）再与其余5人排成一行，相当于6个元素排 列，有a66种站法，故满足条件的不同站法有a66 a22=1440 （种）。方法二（插空法）：先不管乙，将其余6人排好有a66 种排法，

6、然后将乙插入甲的左或右面的空间中，故共有a66 a12=1440 （种）。（5）男生连排在一起有a44种排法，女生连排在一起 有a33种排法，又男，女生作为两个整体有a22种排法，故 有a44 a33 a22=288种不同排法。（6）插空法：先将男生排成一行有a44种排法，再将 女生插入男生之间或两头有a35种排法，故满足条件的不同 站法有 a44 a35=1440 （种）。一般来说，插空法是先将一部分较多的元素排好，再将 另一部分较少元素按限制条件插入空间中。例3：平面上有9条直线，其中（1）有4条互相平行，其余的没有任何两条平行，也 没有任何三条共点，可构成多少个三角形？（2）有四条共点，

7、其余的没有任何三条共点，也没有 任何两条平行，可构成多少个三角形？解：（1）方法一（直接法）：从4条平行线中取一条， 从其余5条直线中取两条，可构成c14c25个三角形；从 其余五条中取三条，可构成c35个三角形，故共可构成三角 形 c14 c25+c35=50 （个）。方法二（间接法）：从9条直线中任取三条有c39种取 法，但其中不能构成三角形的是从互相平行的4条中取三条 有c34种取法和从4条平行线中取二条、从其余5条中取一 条有c24c15种取法，故可构成三角形有c39-c34-c24 c15=50 （个）。（2）方法一（直接法）：从四条共点的直线中取一条， 从其余5条中取2条构成c14

8、 c25个三角形，从4条共点 的直线中取2条，从其余的5条中取1条有c24 c15个三 角形，从其余5条中取3条有c35个三角形，故可构成三角 形 c14 c25+c24 c15+c35=80 （个）。方法二（间接解法）：从9条中任取3条有c39种取法, 但不能构成三角形的是从共点的4条中取3条有c34种，故 构成三角形有c39-c34=80 （个）。不难看出直接法是从满足题目里的限制条件出发来分 类，然后把每一类再分步，运用加法原理和乘法原理进行解 题的。应该指出的是在分类时要注意以下三点：第一、各类之间应当没有互相重复的情况；第二、每一类都必须满足题目的限制条件；第三、不能遗漏某些满足题目

9、条件的情况。间接法是从不考虑题目里的限制条件出发，即在没有限 制条件的情况下，找出所有的排列（或组合）的种数，而这 些种数包括满足限制条件的和不满足限制条件的两类。从所 有的排列（或组合）的种数里减去不满足限制条件的一类种 数，就得到满足限制条件的排列（或组合）的种数。例4：从1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，任 取两个作对数的底数和真数，可得多少个不同的对数值？解：分两步，第一步选底数，第二步选真数。因1不能 为底数，只能从余下的八个数字中任取一个为c18种，第二 步再选真数，只能从选底数余下的七个数字加上1共八个数 字中任选一个，故有c18种，共得c18c18=64个对数。而 这些对数中，1当真数时有8个，这时对数的值都为0,故 应扣去七个，另外还有2为底4为真数、3为底9为真数两 个值一样，2为底3为真数、4为底9为真数时对数值一样, 4为底2为