数字特征与特征函数PPT课件

1、二、连续型随机变量的数学期望 设X为具有密度函数f(x)的连续型随机变量,若积分 绝对收敛 (即 ), 则称它为X的数学期望(或均值),记为E(X)或EX,即 例: 设随机变量X服从正态分布 试求E(X)。 解: X的分布密度为 ()( )E Xxf x dx2( ,),N a( )xf x dx( )x f x dx 22222222()2()()22221 ( )211()( )22 1 ()()22x ax ax attf xeE Xxf x dxxedxxedxxataE Xta edtedta令第1页/共27页例: 设随机变量X服从P型分布,求E(X) 。解: X的分布密度为0010

2、1001000)(100)(10)()()()()()()()()(,)()()()()()()(000aadtetadtetdtetatXEtaxdxeaxxdxxxfXEaxeaxxftttaxaax令第2页/共27页 例: 有5个相互独立的电子装置串联组成整机,它们每一个的寿命 服从同一指数分布,其概率密度为只要有一个电子装置损坏,整机就不能工作,求整机寿命Y的数学期望。 解: 先求Y的密度函数,显然,Y的取值应为5个装置中寿命最短的一个。因此有,Y =min(X1 , X2 , , X5 ), Y的分布函数为从而Y的密度函数为于是Y的数学期望为(1,2,3,4,5)kXk 0,( )0

3、0,xxef xx5501,( )1 1( ) 00, yYXyeFyFyy 05,( )00,yYyefyy01( )( )55yYE Yyfy dyyedy第3页/共27页 例: 随机变量X服从柯西分布,其分布密度为求E(X)。 解:所以X的数学期望不存在。21( ),(1)f xxx 22020112(1)(1)1 ln(1)xdxxdxxxx 第4页/共27页三、随机变量函数的数学期望 定理: 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是单值连续函数), 当X是离散型随机变量时,若 当X是连续型随机变量时,若 其中, f(x)是X的密度函数。 例: 对球的直径作近似测量,其值均匀分布在区

4、间a,b上,试求球的体积 的数学期望。 解: 设用X表示测量得的球直径,它是一个随机变量,其密度为 以Y表示球的体积,则 ,故1( )iiig x p绝对收敛，则1( )()( )iiiE YE g Xg x p(),1,2,iipP XxiX其中，是 的概率分布。( ) ( )g x f x dx绝对收敛，则( )( ) ( )E Yg x f x dx1,( )0,axbf xba其他36YX33221( )( )66 ()()24baE Yxf x dxxdxbaab ab第5页/共27页推广:X1 , X2 , , Xn为n元随机变量,联合密度为 ,则 例: 设服从二元正态分布,其密度

5、函数为试求随机变量 的数学期望。 解:12( ,)nf x xx12(,),nYg XXX121212( )( ,) ( ,)nnnE Yg x xxf x xx dx dxdx2221( , ),2xyf x yexy 22ZXY222222222222222220001( )21 2cos ,sin ,1( )22xyxyrrE Zxyedxdyxy edxdyxryrJrE Zr edrdr edr 令变化的雅可比，于是第6页/共27页四、数学期望的性质 E(c)=c E(cX)=cE(X) 推广: 设X与Y相互独立,则 推广: n个相互独立的随机变量 ()E XYE XE Y（ ） （

6、 ）, )( , )()() ( , )( , )( , ) ( )( )XYX Yf x yE XYxy f x y dxdyxf x y dxdyyf x y dxdyxfx dxyfy dy 设(的联合密度为证:11221122()()()()nnnnE c Xc Xc Xc E Xc E Xc E X()()( )E XYE XE Y(, )( , )()( , )( )( ) ( )( )()( ) XYXYX Yf x yE XYxyf x y dxdyxyfxfy dxdyxfx dxyfy dyE XE Y 设的联合密度证为:1212()()()()nnE XXXE XE XE

7、 X第7页/共27页 例: 一民航机场的送客班车载有20位旅客,自机场开出,沿途有10个车站,如到达一个车站没有旅客下车,就不停车,以X表示停车次数,求E(X)。(设每个旅客在各个车站下车是等可能的)。 解: 设10个车站依次为1,10,Xi表示在第i站停车次数。 1, 0, iiXi第 站有旅客下车，第 站没有旅客下车。1210XXXX则 1210()0.878 108.78E XE XXX（ ）10iXiP20)109(20)109(1202099()0()11()0.8781010iE X 第8页/共27页五、众数和中位数 众数:离散型随机变量:P(X=xi)达到最大时的xi。 连续型随

8、机变量:f(x)达到最大时的x。 中位数:满足 的x值。1( )2F x 第9页/共27页4 42 2 方差一、定义 设X为一离散型随机变量,若 存在,则称它为X的方差,记为 D(X)或DX。 称 为X的均方差。 离散型: 连续型: 例: 设随机变量X服从参数为p的(0-1)分布,试求X的方差D(X)。 解: 例: 设随机变量X服从正态分布,求X的方差。 解:2()E XE XDX21()()iiiD XxE Xp2()()( )D XxE Xf x dx222(),()() (1)(0) (1)E XpD XE XE Xppppqp已知则222222()22222222221()()2,()

9、2()2x attttD XxaedxxatD Xt edtt edtteedt 令其中由分部积分法,有第10页/共27页二、方差的性质 D(c)=0 D(cX)=c2D(X) 其中 若设X与Y相互独立,则 (a为任意实数) 例:设 ,试求D(X)。 解: 例:设随机变量X服从a,b均匀分布,求D(X)。 解:()()( )2(, )D XYD XD YCov X Y(, )()( )Cov X YEXE XYE Y()()( )D XYD XD Y22()() ()D XE XE X2() () D XE Xa( , )XB n p121212,(0,1)()()()()(),1,2, ()

10、nnniXXXXXXXpD XD XD XD XD Xpq inD Xnpq由于,其中相互独立,且都服从参数为 的分布,因此, 又 从而22222222221()()23() ()() ()()3212 baabbabaE XE XxdxbababaabbaD XE XE X已知,且于是第11页/共27页三、车贝雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E(X)和方差D(X),则对任意0 ,有 。 证明: 车贝雪夫不等式的另外一种形式 例如,对于 利用车贝雪夫不等式估算,有 而实际上由第二章可知,对正态分布,恒有 2()()D XP XE X（ ）22222()()( )( )11 ()( )()x

11、 EXx EXxE XP XE Xf x dxf x dxxE Xf x dxD X2()()1D XP XE X 228(3 )10.888999P Xa(3 )0.9973P Xa),(2aNX第12页/共27页四、标准化随机变量 设随机变量X的数学期望为E(X),均方差为,则称 为标准化随机变量。 上述这种形式又称标准化变换。()XE X ()0()1ED ，第13页/共27页4 43 3 离势系数、偏态系数、峰度系数、矩一、离势系数 方差或均方差刻画随机变量对其数学期望的离散程度,但由于变量 本身量级不同,只比较方差或均方差的大小不合适,因此引入下列指标:二、偏态系数 描述分布的不对称

12、程度:三、峰度系数 刻画分布密度曲线的峰形阔狭特征。 正态分布的CE恒为零。四、矩 称vk=E(Xk) k=1,2,为X的k阶原点矩。 称k=EX-E(X)k k=1,2,为X的k阶中心矩。 所以, E(X) = v1, D(X) = 2()vCE X33()E XE XCs44()3EE XE XC第14页/共27页4 44 4 多元随机变量的数字特征一、数学期望与条件期望 定义:设(X1, X2,Xn)为n元随机变量,则E(X1 ), E(X2 ),E(Xn)称为n元 随机变量(X1, X2, ,Xn)的数学期望。其中E(Xi )是分量Xi的边际数学期望。 定义:设(X,Y)为具有密度f(

13、x,y)的二元连续型随机变量,则下列积分 为X=x下Y的条件数学期望,简称条件期望,记为 显然m2 (x) 是x的函数。 称方程 为Y依X的回归方程。它在xoy平面内的图像称为Y依 X的回归曲线。 同理可定义Y=y 条件下X的条件期望。 注意:一般 与 不互为反函数,或者说两条回归曲线 一般不重合。1, ()( ),ijjjiXx pE Xxfx dx离散型连续型2()()( )E Y Xxyf y x dym x()()xE Y XxE Y xy或或2( )xym x1( )yxm y2( )xym x1(|)( | )( )E X Yyxf x y dy m y第15页/共27页 推广:

14、(X1, X2,Xn)为n元随机变量,Xi的条件密度为则 注意: 当随机变量相互独立时,条件期望等于边际期望。 是随机变量X的函数,它是随机变量,且 证明: 例:试求二元正态分布的数学期望和条件期望。 解: ()()( )()( ) ( , )( )( )XXYE E Y XE Y x fx dxyf y x dy fx dxyf x y dx dyyfy dyE Y 111(,)iiiinf x xxxx111111111(,)(,)iiiiinniiiiiniE X XxXxXxXxx f x xxxx dx()E Y X ()( )E E Y XE Y22122212()()221222

15、21222212211222212111 ( ) ( )2211( | )exp() 2(1)2111( | )exp() 2(1)21(, )x ay aXYYXfxefyefy xyaxafx yxaX yaX Y二元正态分布的边际分布及条件分布分别为则的121112222211(,)( )()( )()yxa aXYxm yayaYXym xaxa数学期望为。依 条件期望为依 条件期望为第16页/共27页二、均方线性回归 在实际问题中,(X,Y)的联合分布常常未知,所以,回归方程的函数形式一般很难求得。实际应用中,常用线性函数 作为回归方程的一种估计,并且按下述原则来确定未知参数和: 由

16、此得到的方程称为均方线性回归方程。三、协方差与相关系数 (一)、协方差与协方差矩阵 定义:设(X1, X2,Xn)为n元随机变量,则称D(X1 ), D(X2 ),D(Xn)为n元随机变量(X1, X2,Xn)的方差。 设X,Y为两个随机变量,则X与Y的协方差为 ( )xyL xx2()minE YX22(),()()( ),ijijjiiXxE XpD XxE Xfx dx离散型连续型(, )()( )()() ( )Cov X YEXE XYE YE XYE X E Y第17页/共27页协方差有下列性质: : 对称性 若(X1, X2,Xn)为n元随机变量,以ij表示Xi与Yj之间的协方差

17、,则称为n元随机变量的协方差矩阵或相关矩阵。1111(,)(,)nmnmiijjijijijijCovc Xd Yc d Cov X Y111212122212nnnnnnM(, )( ,)Cov X YCov Y X第18页/共27页 例:设(X,Y)的联合密度为求(X,Y)的数学期望及协方差矩阵。 解:02,02( , )80 xyxyf x y，其他22220003222222200027()( , )8467 ( )65()( , )8435 ()3()( , )8xyxxE Xxf x y dxdyxdxdydxE YxyxxE Xx f x y dxdyx dxdydxE YxyE

18、 XYxyf x y dxdydxxydy 同理同理22220002224()3435711()()( ()( )363611 ( )367741(, )()() ( )3663611136367 7(, )( , ),6 61113636xxdxD XE XE XD YCov X YE XYE X E YX Y 同理所以,的数学期望为协方差矩阵为第19页/共27页(二)、相关系数与相关系数矩阵 称 为随机变量Xi与Xj的相关系数。 称由n元随机变量的两两相关系数排成的矩阵 为相关系数矩阵。 相关系数的性质:若是随机变量X与Y的相关系数,则 ; 证明: 考虑X,Y的标准化变量,可得 由于标准化

19、变量的方差都是1,因此 从而 (,)()()ijijijijijiijjijCov XXD XD X 111212122211nnnnnn1(,)()Cov XYE X Y()()()2(,)2(1)0D XYD XD YCov XY1第20页/共27页 的充要条件是X与Y有线性函数关系,即存在常数a,b,使 。 证明: :必要性 设=1,得 ,由方差性质知, 只当 (其中c是常数)时, 的方差才为0, 因此有 解得 对= -1 可得同样的结果。 充分性 由 得 12(, )()( )()()()( )()1, 0(, )() 1, 0()()( )Cov X YEXE XYE YEXE Xa

20、XbaE XbaD XD YD aXba DXaCov X YaD XaaD XaaD XD Y于是()2(1)0D XY()1P XYcXY ()( )YYXXXYXE XcE YaXbYaXbYaXbcYEYXEXYX)()(第21页/共27页 若 ,则X与Y间为线性函数关系。 若=0,则称X与Y不相关。 注意: 若随机变量X与Y相互独立,则X与Y不相关,但若X与Y不相关,则其不一定独立,不过当(X,Y)为二元正态变量时,独立与不相关等价。 首先证明独立必不相关:事实上在讨论方差性质时已证明独立随机变量的协方差 ,因此由相关系数定义可知= 0。从而X与Y不相关。 下面用例子说明不相关不一定

21、独立,例如,若随机变量X的分布密度f(x)关于纵轴对称,令 Y=X2,由于f(x)关于y轴对称,显然有E(X)=0。而 所以=0 ,说明X与Y不相关,但Y=X2是X的二次函数,显然X与Y不独立。1(, )0Cov X Y 3(, )()( ) ( )()() ( ) ()() ( ) ()0Cov X YEXE XYE YE XYXE YYE XE X E YE XYE X E YE X第22页/共27页 例:已知随机变量X与Y相互独立,且都服从正态分布 。令 试求与的相关系数。 解:222222222222( )()( )() ( )()( )() ( , )(,) ()(, )( ,)( ) XYDD XD YDD XD YCovCovXYXYD XCov X YCov Y XD Y 因为 与 相互独立，则又222222222 ()( ) ()( , ) ( )( )D XD YCovDD 所以2(0,)N,XYXY第23页/共27页(三)、条件方差、剩余方差和回归方差 条件方差:二元随机变量: ,可记为 ; ,可记为 。 剩余方差: ,也称为Y对均方 回归直线L(X)的剩余方差。 ,也称为X对均方 回归直线L(Y)的剩余方差。 回归方差: 2()() D Y xE YE Y x2Y x2()() D X yEXE X y2X y2222()(1)