2020-2021学年高三数学(理科)九校联考模拟试题及答案解析

1、若要功夫深，铁杵磨成针!最新高考数学一模试卷（理科）&知识就是力量&.选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z=则z - |z|对应的点所在的象限为（A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.兀cos (，且 | 4 |<,则 tan(j)为(iA.二 B:B-C.3.卜列命题中，真命题是（A.? X0C R,*nw0 B. ? xC R, I-r2x>x2C. a+b=0的充要条件是=-1 D.a>1, b>1是ab>1的充分条件4.在如图所示的正方形

2、中随机投掷/7卬）卬川10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N （ - 1, 1）的密度曲线）的点的个数的估计值（附“若XN （科，a2）,则P ( -(T< XW w +b) =0.6826.p (厂 2 b VX" +2b) =0.9544.5.若圆 C: x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线A. 1193 B. 1359 C. 2718 D, 34132ax+by+6=0对称，则由点（a, b）所作的切线长的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 66.如图，正方体 ABCD- ARG）的棱长为1, E, F是线段BQ上的两个动点，且 EF迎，则下列2结论中错

3、误的是（D3则m、n对应的值为A分8.函数 f (x) =Asin ( w x+ 4 )C.0,9.已知集合A- 1,2, 3, 4,5, 6, 7, 8,9),在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数， 记这个三位数为a,现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a）,按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如 a=219,则 I (a) =129, D (a) =921),阅A. ACL BFB.三棱锥A- BEF的体积为定值C. EFT面 ABCDD.面直线AE、BF所成的角为定值 7.如图，在4ABC中，设AB = a,AC=bi,AP的中点为Q,BQ

4、的中点为R,CR的中点为P，若下二皿3+nb，B.冗，一|（HF）的图象如图所不，则 f （0）等于（D.a,则输出b的值为（）读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个rw/输入口/修=如)/&=6|A. 792 B. 693 C. 594 D. 49510 .如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有（C-A. 11 B. 12 C. 20 D. 2111 .正方体 ABCD- A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点 A, E, C1的平面截去该正方体的AOB对于曲线C上的任意两个不同点A、B恒成立，则称。为曲线 C相对于。的“界角”，并称最小的“界角”为曲

5、线 C寸 1+9?，MO相对于。的“确界角”，已知曲线 M: y= ,（其中e为自然对数的底数）， OLlixe s k>0为坐标原点，则曲线 M相对于。的“确界角”为（）A三bC.空D.里3434二.填空题：(本大题共 4小题，每小题5分,满分20分)K - 1,13.若函数 f(x)=尸 Xc，g (x) = f(x)+ax, xC -2,2为偶函数，贝 U 实数 a=.1 1,一白& x U14 .已知抛物线y=2x2上两点A (xi, yi) , B (x, v2关于直线y=x+m对称，且xix2=,那么m的值为.f yQ15 .若x, y满足卜一93口 ，且z=2x+y

6、的最大值为4,则k的值为 kx - y+3016 .已知P, Q是圆心在坐标原点 O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且 P点的纵坐标为45'Q点的横坐标为513'贝U cos/ POQ=三.解答题：(本大题共 5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 .已知数列an的前 n 项和为 Sn, 1=1, 3nW0, %an+1=4Sn1 (nCN)(1)证明：an+2 an=4.(2)求数列an的通项公式.18 .如图所示，四棱锥 PABCD中，底面ABCD是矩形，PA，底面ABCD, PA=AB=1, AD=/5 ,点F是PB的中点，点E在B

7、C上移动.(I)当E为BC的中点时，试判断 EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(II)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45° ?19 .小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图(如图)及相应的消耗能量数据表(如表).健步走步数(千卡)16171819消耗能量(卡路里)400 440 480 520(I )求小王这8天“健步走”步数的平均数;(II)从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选 2天，设小王这2天通过健步走消耗的 “能量和”为X,求X的分布列.20.已知椭圆在椭圆C上.C：与01 Q&g

8、t;b>0)的离心率为卓，点A (La b上上(I)求椭圆C的方程;(n)设动直线1与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点。为圆心的圆，满足此圆与 1相交两点P1，P2 (两点均不在坐标轴上)，且使得直线or, OB的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.21 .已知函数 f (x) =ax+x2 xlna (a>0, aw 1).(I)求函数f (x)单调区间；(n)若存在x1, x2C -1,1,使得|f (x1)- f (x2)|>e- 1 (e是自然对数的底数)，求实数 a的 取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做

9、，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.选彳4 1:几何证明选讲22 .如图，P是。外一点，PA是切线，A为切点，割线 PBC与。相交于点B, C, PC=2PA, D为PC的中点，AD的延长线交。于点E,证明：(I ) BE=EC(n) AD?DE=2P比选彳4-4 :坐标系与参数方程23.以直角坐标系的原点 。为极点，x轴的正半轴为极轴， 并在两种坐标系中取相同的单位长度.设7T圆C:9为参数)上的点到直线l: c cos (0 1)=/lik 的距离为 d.当k=3时，求d的最大值；若直线l与圆C相交，试求k的取值范围.选彳4- 4-5 :不等式选讲24.已知实数 m, n满足：关于x

10、的不等式|x2+mx+n|< |3x2- 6x- 9|的解集为R(1)求m, n的值；(2)若 a, b, cC R+,且 a+b+c=m-n,求证： 小 +AJ+/.参考答案与试题解析.选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z三怜二，则z-|z|对应的点所在的象限为（）1 _ 1A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【专题】数系的扩充和复数.【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.（1 丁,所在的象限为第二象【解答】解：:复数z金=C%+；）=Hi

11、, z - |z|=|十I j - J 七）"告 之=1 g+gi对应的点故选：B.【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题.兀.、3 一冗-2 . cos () T，且 I 4 I<F，贝U tan。为()上3ZA 4。4c3c 3A一飞B-3C-4D- N【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值.【专题】三角函数的求值.【分析】利用诱导公式化简已知表达式，通过同角三角函数的基本关系式求解即可.、3r. .五解：cos (f)飞，且 | (f) |<,所以 sin（）=-2-F，0)sin$ 一 8故选：C.【点评】本题考查诱导公式的应用，同角三角

12、函数的基本关系式的应用，考查计算能力.3 .下列命题中，真命题是（）A. ? XoCR,已QW0 B. ? xCR, 2x>x2C. a+b=0的充要条件是-j=- 1 D. a> 1, b>1是ab>1的充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用.【专题】计算题.【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断 C、D的正误；【解答】解：因为 y=ex>0, xCR恒成立，所以 A不正确；因为 x=-5 时 25< （-5） 2,所以？ xC R, 2x>

13、x2不成立.a=b=0时a+b=0,但是曰没有意义，所以 C不正确；a> 1, b> 1是ab> 1的充分条件，显然正确.故选D.【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断 与应用，考查基本知识的理解与应用.4.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线 C为正态分布N （- 1, 1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若XN （科，a2）,则P （科-b v XW 科 +b） =0.6826.p （厂 2 bX" +2（r） =0.9544.A. 1193 B. 1359 C. 2718 D,

14、3413【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计.【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是 X在（0, 1）的概率.【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N （ - 1, 1）则在（0, 1）的概率如上图阴影部分，其概率为斗P （厂 2（tVX"+2（t） - P （厂（TVXWp + b） =|x （0.9544- 0.6826） =0.1359;即阴影部分的面积为 0.1359;所以点落入图中阴影部分的概率为p=0.1359;投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000X0.1359=1359.故选

15、B.【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量科和b的应用，考查曲线的对称性，属于基础题.5.若圆C: x2+y2+2x- 4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a, b）所作的切线长的最小值是（ ）A. 2 B. 3 C. 4D. 6【考点】直线与圆的位置关系.【专题】直线与圆.【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a, b的关系，利用（a, b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值.【解答】解：将圆 C: x2+y2+2x- 4y+3=0化为标准方程得：（x+1） 2+ （y-2） 2=2, 圆心C （ 1, 2）,半径r

16、=此，.圆C关于直线2ax+by+6=0对称， 直线2ax+by+6=0过圆心，将x=- 1, y=2代入直线方程得：- 2a+2b+6=0,即a=b+3, 点(a, b)与圆心的距离 d可(0)?+ (b - 2 ) A 点(a, b)向圆C所作切线长l= ,：-=一一二二二=J (b+4) 2+ (b-z) 2-2=彼(b+1)6 >4,当且仅当b=-1时弦长最小，最小值为 4.故选C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，勾股定理，以及圆的切线方程的应用，其中得出 a与b的关系式是本题的突破点.6.如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1

17、的棱长为1, E, F是线段BiDi上的两个动点，且 EF=j ,则下列 结论中错误的是()A. AC± BFB.三棱锥A- BEF的体积为定值C. EF/平面 ABCDD.面直线AE、BF所成的角为定值【考点】异面直线及其所成的角.【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角.【分析】在 A中，由AC± BD, AC± BBi,得AC,平面 BDDiBi,从而 AC± BF;在B中，A到平面 BEF的距离不变， BEF的面积不变，从而三棱锥 A- BEF的体积为定值；在 C中，由EF/ BD,得EF/ 平面ABCD;在D中，异面直线 AE、BF所成的角不为

18、定值.【解答】解：在A中，二,正方体ABCD- A1B1CD1的棱长为1, E, F是线段BDi上的两个动点，且EF孝，AC± BD, AC± BB1, . BDnBB=B, . AC平面 BDD1B1, BF?平面 BDDBi,，AC，BF,故 A 正确；在B中，,AC，平面 BDD1B1,，A到平面BEF的距离不变，EF= 乙, B到EF的距离为1,. BEF的面积不变， 2三棱锥A-BEF的体积为定值，故 B正确；在 C 中， EF/ BD, BD?平面 ABCD EF?平面 ABCD, . EF/平面 ABCD,故 C正确；在D中，异面直线 AE、BF所成的角不为定

19、值，由图知，当 F与B1重合时，令上底面顶点为O,则此时两异面直线所成的角是/AiAO,当E与Di重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBG,此二角不相等，故异面直线 AE、BF所成的角不为定值.故 D错误.【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.7.如图，在4ABC中，设标二力,正二,AP的中点为Q, BQ的中点为R, CR的中点为P，若下二1n3十匕，C.一 一D.【考点】向量的线性运算性质及几何意义.【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用.【分析】根据向量减法及数乘的几何意义可以得出前二段-1）a,这样便可以求出量的数乘运

20、算便得到(E工)；42 a=（一4一） W+（-）E,由平面向量基本定理即 34£ o可建立关于 m, n的二元一次方程组，从而可以解出m, n.【解答】解：根据条件,T二至不户” 一 一 一与C.«i一二二二一 B：-二一直 一 丁 十仁二二'二一" " - -i= - -而二一蜷G）一半或o 4Z CRQ+QPhRP;（画一' £42 3国一二-二428鱼二一卫2 XJ5-1) 二十(1-22) t8 4'&2 3 b解得2 ITRY4 n=rY故选：A.【点评】考查向量的加法、减法,及数乘的几何意义，以及向

21、量的数乘运算，平面向量基本定理.三角函数的图像与性质.【专题】712）的图象如图所示，则 f （0）等于（）【分析】由函数图象可得A, T,由周期公式可得3,一 7T ，一又(一;丁，0)点在函数图象上,可得：sin ( +J、一冗r- 、()=0,又| 4 | V-77,从而可得4,即可求得f (0)的值.【解答】解：由函数图象可得:A=1, T=4 (-)=兀，由周期公式可得：w27r 2n二2,71又(一，0)点在函数图象上，可得：sin (+() =0,解得：()=kjt2K一一 冗kC Z,又 |4 |<,从而可得：()故有：f(0)=si故选：A.【点评】本题主要考查了由y二

22、Asin ( 3 x+()的部分图象确定其解析式，三角函数的图象和性质,属于基本知识的考查.9.已知集合A- 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8,9),在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数,记这个三位数为a,现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I (a),按从大到小排成的三位数记为D (a)(仞如 a=219,则 I (a) =129, D (a) =921),阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a,则输出b的值为()/物.人修/A. 792 B. 693 C. 594 D. 495【考点】程序框图.【专题】计算题；转化思想；试验

23、法；算法和程序框图.【分析】利用验证法判断求解即可.【解答】解：A,如果输出b的值为792,则a=792,I (a) =279, D (a) =972, b=D (a) - I (a) =972- 279=693,不满足题意.B,如果输出b的值为693,则a=693,I (a) =369, D (a) =963, b=D (a) - I (a) =963- 369=594,不满足题意.C,如果输出b的值为594,则a=594,I (a) =459, D (a) =954, b=D (a) - I (a) =954- 459=495,不满足题意.D,如果输出 b的值为495,则a=495,I (

24、a) =459, D (a) =954, b=D (a) - I (a) =954- 459=495,满足题意.故选：D./输出力/【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，用验证法求解是解题的关键，属于基础题.io.如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有（）A. 11 B. 12C. 20D. 21【考点】计数原理的应用.【专题】计算题；分类讨论；分析法；排列组合.【分析】设5个开关依次为1、2、3、4、5,由电路知识分析可得电路接通，则开关 1、2与3、4、5中至少有1个接通，依次分析开关 1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目，由分步计数原 理，计算可得答案.【解答】解：根据

25、题意，设 5个开关依次为1、2、3、4、5,若电路接通，则开关 1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2,共有2凌=4种情况，其中全部断开的有 1种情况，则其至少有1个接通的有4-1=3 种情况，对于开关3、4、5,共有2X2>2=8种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有 1个接通的8-1=7种情况，则电路接通的情况有 3 X7=21种；【点评】本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分 析出电路解题的条件.11 .正方体 ABCD- AiBiCiDi中E为棱BBi的中点（如图），用过点 A, E, Ci的平面截去该正方体的【考点】简单

26、空间图形的三视图.【专题】规律型.【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图.【解答】解：过点 A, E, Ci的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图:则该几何体的左视图为 C.故选：C.【点评】本题主要考查空间三视图的识别，利用空间几何体的直观图是解决本题的关键.比较基础.12 .对于曲线C所在平面内的点 O,若存在以。为顶点的角使得AOB对于曲线C上的任意两个不同点A、B恒成立，则称。为曲线 C相对于。的“界角”，并称最小的“界角”为曲线相对于。的“确界角”，已知曲线 M: y=pJl+9 MO,(其中e为自然对数的底数)，为坐标原点，则曲线 M相对于。的“确界角”为

27、()7T 712贝 3打A司 BN C,亏 D, -V【考点】函数的最值及其几何意义.【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用.【分析】画出函数f(x)的图象，过点。作出两条直线与曲线无限接近，当XW0时，曲线y=h+0r与直线y=kix无限接近，考虑渐近线，求出ki=-3;当x>0时，设出切点，求出切线的斜率，列出方程，求出切点(1,2),即得k2=2,再由两直线的夹角公式即可得到所求的“确界角”.【解答】解：画出函数 f (x)的图象，过点 。作出两条直线与曲线无限接近，设它们的方程分别为 y=kix, y=k2x,当xw。时，曲线y=Jl+9 J与直线y=kix无限接近，

28、即为双曲线的渐近线，故k1=-3；当 x>0 时，v' =ex 1+xex 1,设切点为(m, n),则 n=k?m,n=mem 1+1, k2=em 1+mem 1,即有 m2em 1=1,由x2ex 1 (x>0)为增函数，且 x=1成立，故m=1, k2=2,2- C - 3) 1由两直线的夹角公式得，tan0 =1+2乂-3) 1=1，故曲线C相对于点。的“确界角”为 .故选：B.【点评】本题考查新定义“确界角”及应用，考查导数的应用：求切线，双曲线的性质：渐近线, 属于中档题.二.填空题：(本大题共 4小题，每小题5分，满分20分)13.若函数f (x)=-1,

29、0<«<21-2<z<0,g (x) =f (x) +ax, xC - 2, 2为偶函数，贝U实数 a= J【考点】分段函数的应用；函数奇偶性的性质.【专题】计算题;函数思想；方程思想；函数的性质及应用.【分析】依题意,可求得 g (x)=3量11s,-(1+a) I _ 1 ?。其2,依题意，g ( - 1) =g (1)即可求得实数a的值.【解答】解：f (x) =1- g (x)=f (x)+ax=ax - 1, -Cl+a)。<冥<2 'g (x)3L L - 口(1+a)其 一 1, 0父<2为偶函数,1. g (- 1)

30、=g (1),即-a- 1=1+a- 1=a, .2a= - 1,a=一1:故答案为:【点评】本题考查函数奇偶性的性质，求得 g (x)的解析式后，利用特值法 g ( - 1) =g (1)是解决问题的关键，属于中档题.14.已知抛物线y=2x2上两点A (xi, yi) , B (X2, v2关于直线y=x+m对称，且xiX2=-那么m的值为上 .【考点】直线与圆锥曲线的关系.【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】先假设出直线 AB的方程为y=-x+b,然后代入到抛物线方程中消去y得到两根之和、两根之积，再由x1x2=-得可求出b的值从而确定直线 AB的方程，再设 AB的中点坐

31、标 M,根据A, B, M 坐标之间的关系可得 M的坐标，然后代入到直线 y=x+m求出m的值.【解答】解：设直线 AB的方程为y=-x+b,代入y=2x2得2x2+x-b=0,IT+x2=一豆12,b=1,即 AB 的方程为 y= - x+1.设AB的中点为M (xc，y0),则代入 yc=- xc+1,在y=x+m上,【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系问题，解决该题的关键是充分利用对称条件.属中档题15.若 x,y 满足k及- y+3Q,且z=2x+y的最大值为4,则k的值为【考点】简单线性规划.【专题】综合题；数形结合；综合法；不等式的解法及应用.【分析】根据已知的约束条件画出满

32、足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求出求出直线2x+y=4与y=0相交于B (2, 0),即可求解 k值.【解答】解：先作出不等式组对应的平面区域，如图示：直线kx-y+3=0过定点(0, 3),z=2x+y的最大值为 4, 作出直线 2x+y=4,由图象知直线2x+y=4与y=0相交于B (2, 0),同时B也在直线kx-y+3=0上，代入直线得2k+3=0,即k= -1,故答案为：【点评】本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数 的最值.16.已知P, Q是圆心在坐标原点 O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且 P点的4533纵坐

33、标为,Q点的横坐标为 ,则cosZ POQ=.51365-【考点】任意角的三角函数的定义.【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用.【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin/xOP和cos/xOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得 cos/xOP和sin/xOQ,再利用两角和的余弦公式求得cos/POQ=cos(Z xOP+ZxOQ )的值. _ 4，- 3【解答】解：由题息可得，sin/xOP=,，cos/xOP下；一 5 .12再根据 cos/xOQ=73 可得 sin/xOQ=f三.qc412 . cos/POQ=cos (/ xOP+/ xOQ) =cos/xOP

34、?cos/xOQ sin /xOPain/ xOQ=-X 一X-=-51351336g故答案为：-二.65【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题.三.解答题：(本大题共 5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知数列an的前 n 项和为 Sn, ai=1, %w0, %an+i=4Sn-1 (nCN)(1)证明：an+2 an=4.(2)求数列an的通项公式.【考点】数列递推式.【专题】等差数列与等比数列.【分析】(1)由 anan+i=4Sn- 1 ,可得当 n>2 时，an ian=4Sn 1

35、- 1 , 4W0,两式相减可得 an+1 an1=4；(2)由(1)可得数列an的奇数项与偶数项分别为等差数列，进而得出数列an的通项公式.【解答】(1)证明：:anan+1=4Sn 1 ,当n>2 时，an - 1 an=4Sn - 1- 1 ,anan+1 an- 1an+1=4an, an*0, . an+1-an 1=4,(2)解：当 n=1 时，a1a2=4a1 1,''' a1二1,解得 a2=3,由an+1-an-1=4,可知数列an的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差为4,首项分别为1, 3. .当 n=2k- 1 (kC N )时，4=a2k

36、1=1+4 (k 1) =4k- 3=2n- 1;当 n=2k (k C N )时，an=a2k=3+4 (k 1) =2n 1. an=2n 1.【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18.如图所示，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA，底面ABCD, PA=AB=1, AD=/jj ,点F是PB的中点，点E在BC上移动.(I)当E为BC的中点时，试判断 EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(II)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45° ?I)*【考点】直线与平面所成的角.【专题】空间位置关系

37、与距离.【分析】(I)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.由线面平行的判定定理可以证出结论.用线面平行的判定定理证明时要注意把条件写全.(II)建立空间坐标系设点E (x, 1, 0),求出用E的坐标表示的平面 PDE的法向量，由线面角的向量表示公式建立方程求出E的坐标.【解答】解：(I)当点 E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.在 PBC中，E、F分别为BC、PB的中点， EF/ PC.又EF?平面PAC,而PC?平面PAC,.EF/平面 PAC.(II)建立如图所示空间直角坐标系，则 P (0, 0, 1) , B (0, 1, 0) , D (遮，0, 0), 设 BE=x

38、(0<x< V3)，贝U E (x, 1,0),设平面PDE的法向量为r= (p, q, 1),m*PD = O m*DE=O令 p=1,则;=（1, Q -x,y）.而恭（0, 0, 1）,依题意PA与平面PDE所成角为45所以 sin45。/ Map I 二V32 | ia | | AP | 71+（V3 一 *）"+3解得 BE=x=/3 一 乃或 BE=x=/3-h/2>/3 （舍） 故BE省一&时，PA与平面PDE所成角为45【点评】考查用向量证明立体几何中的问题，此类题的做题步骤一般是先建立坐标系，设出坐标, 用线的方向向量的内积为 0证线线垂直

39、，线面垂直，用线的方向向量与面的法向量的垂直证面面平行，两者的共线证明线面垂直.此处为一规律性较强的题，要注意梳理清楚思路.19 .小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）.健步走步数（千卡）16171819消耗能量（卡路里）400 440 480 520（I ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（II）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选 2天，设小王这2天通过健步走消耗的 “能 量和”为X,求X的分布列.【考点】离散型随机变量及其分布列；散点图.【专题】计算题；转化思想；综合法；

40、概率与统计.【分析】（I）由已知能求出小王这 8天“健步走”步数的平均数.（II） X的各种取值可能为 800, 840, 880, 920,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列.【解答】（本小题满分 13分）解：（I）小王这8天“健步走”步数的平均数为:=17.25 （千步）.一点A（L ）在椭圆C上.9202元【点评】本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真 审题，注意排列组合知识的合理运用.2220.已知椭圆C： 2节（a>b>0）的离心率为（I）求椭圆C的方程;（n）设动直线1与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点。为圆心的

41、圆，满足此圆与 1相交两点Pi, P2 （两点均不在坐标轴上），且使得直线OPi, OR的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】（I）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出 a, b然后求出椭圆的方程.（n）当直线l的斜率不存在时，验证直线 OPi, OP2的斜率之积.C有且只有一个公共y9,结合韦达定理,当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线 l与椭圆 点，推出m2=4k2+1,通过直线与圆的方程的方程组，设 Pi （x

42、i, yi） , P2（X2,求解直线的斜率乘积，推出 ki?k2为定值即可.【解答】（本小题满分 14分）（I）解：由题意，得 三3, a2=b2+c2, a 2又因为点k （L零）在椭圆C上，解得 a=2, b=1, c=V3,所以椭圆C的方程为二1 .4（n）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5.证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=r2 （r>0）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m.产由方程组 * 赞？ 中 得（4k2+1） x2+8kmx+4m2 4=0, T+y =1因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，所以（gkm） 2-4

43、（4”-4）-0 ,即 m2=4k2+1.由方程组 a n 。得（k2+1） x2+2kmx+m2-r2=0,则 以y（21nn ） 2-4 f J+l） （- L） >、一 、一1设 Pi(xi,yi),P2(x2,v2,贝U工 1+工厂+ l '叼 k 2H 芦设直线OPi, OR的斜率分别为ki, k2,所以22耳一匚二1-2km 2k , n3斗卬 7 n n小+1 m - r L二 m j2，k2+l将 m2=4k2+1 代入上式，得 ki -k r>=7_-C.12 4k2+ (1- r2)4 - 1 2 i要使得kik2为定值，则=,即r2=5,验证符合题意.

44、41-/所以当圆的方程为 x2+y2=5时，圆与l的交点Pi, P2满足kR为定值一: 当直线l的斜率不存在时，由题意知 l的方程为x=及，此时，圆x2+y2=5与l的交点Pi, P2也满足kk之二一二.综上，当圆的方程为 x2+y2=5时，圆与l的交点Pi, P2满足斜率之积kik2为定值-；【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及21.已知函数 f (x) =ax+x2- xlna (a>0, aw 1).(I)求函数f (x)单调区间；(n)若存在xi, x2C -1,1,使得|f (xi) - f (x2)|>e- 1 (e是自

45、然对数的底数)，求实数 a的 取值范围.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性.【专题】综合题；导数的综合应用.【分析】(I)求导数，利用导数的正负，可求函数f (x)单调区间；(n) f(x)的最大值减去f(x)的最小值大于或等于e- 1,由单调性知，f(x)的最大值是f(1)或f ( - 1),最小值f (0) =1,由f (1) - f (T)的单调性，判断f (1)与f (T)的大小关系， 再由f (x)的最大值减去最小值 f (0)大于或等于e- 1求出a的取值范围.【解答】解：(I)函数 f (x)的定义域为 R, f (x) =axlna+2x- ln

46、a=2x+ (ax1) lna.令 h (x) =f (x) =2x+ (ax1) lna, h' (x) =2+axln2a,当a>0, awi时，h' (x) >0,所以h (x)在R上是增函数，又 h （0） =f （0） =0,所以，f （x） >0 的解集为（0, +8）, f （x） v 0 的解集为（-8,故函数f（X）的单调增区间为（0, +8）,单调减区间为（-8,0）（n ）因为存在 Xi, X2 - 1, 1,使得 |f （Xi） - f（X2）| >e- 1 成立，而当 xC - 1 , 1时 f（Xi） f（X2）|w f （x

47、） maX f（X）min,所以只要 f（X）max- f（X）min>e-1又因为X, f（X）, f（X）的变化情况如下表所示：X （ - 8, 0） 0（0, +oo）f （x） -0+f（X）减函数 极小值增函数所以f（X）在-1, 0上是减函数，在0, 1上是增函数，所以当xC T, 1时，f（x）的最小值f（x） m产f （0） =1, f（X）的最大值f（X）max为f （ - 1）和f （1）中的最大值.因为 f (1) 一 f ( - I)=(a+1 - Ina) 一 (-4-1+lna) -a_ 21 na , aa令g (目)F-21na ,因为屋 Q)二 1 +

48、2 一与(1 V)“A。, a母v a 日所以S (已)=0一工一21目在aC (0, +8)上是增函数.而 g (1) =0,故当 a> 1 时，g (a) >0,即 f (1) > f ( 1)；当 0Va<1 时，g (a) < 0,即 f (1) vf ( 1)所以，当 a>1 时，f (1) f(0) > e- 1,即 a lna> e- 1,而函数y=a-Ina在aC （1, +8）上是增函数，解得a>e;当 0V a<1 时，f ( 1)f (0) >e- 1,即发 1门已>匕1函数na 在 aC (0, 1

49、)上是减函数，解得 （x«上巳综上可知，所求a的取值范围为0, .U 已+8） e【点评】本题考查了基本函数导数公式，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值.属于难题.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.选彳4 1:几何证明选讲22.如图，P是。外一点，PA是切线，A为切点，割线 PBC与。相交于点B, C, PC=2PA, D为PC的中点，AD的延长线交。于点E,证明：(I ) BE=EC(n) AD?DE=2P比上【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定.【专题】选作题；立体几何.【分析】(I)连接 OE, OA,证明OE，BC,可得E是前的中点，从而BE=EC(n)利用切割线定理证明PD=2PB, PB=BD,结合相交弦定理可得 AD?DE=2PB【解答】证明：(I)连接 OE, OA,则/ OAE=Z OEA / OAP=90° ,PC=2PA D 为 PC 的中点,PA=PD,/ PAD=Z PDA, / PDA=Z CDE, / OEA+/ CDE=Z OAE+/ PAD=90° ,OE± BC, .E是箴的中点，BE=EC(n) PA